Механіка

Стоділка М.І.

Сила тиску в нижньому перерізі напрямлена проти зміщення, тому робота буде взаємною. Отже, для роботи матимемо вираз:

A = p1S1l1 − p2S2l2 = p1∆V − p2∆V ;

Оскільки перерізи були вибрані довільно, то ця рівність справджується для всіх перерізів:

тут p - статичний тиск;

ρu2 - динамічний тиск;

2

ρgh - гідростатичний тиск.

Це важливе рівняння гідродинаміки вивів Д. Бернуллі (1738 р.). Воно є окремим вираженням закону збереження і перетворення енергії.

Для горизонтального потоку

або

ρ2u2 + p = const

§5.4. Прилади, дія яких пояснюється рівнянням Бернуллі.

1.Горизонтальний потік

Як вказувалось вище, для горизонтального потоку рівняння Бернуллі має вигляд

Звідси видно, що там, де швидкість потоку більша, тиск менший і навпаки. Коли рідина переходить з широкої частини в вужчу, збільшення швидкості супроводжується зменшенням тиску:

ρ2 (u22 −u12 )= p1 − p2 .

Ця різниця тисків визначає прискорюючу силу, що діє на одиницю площі потоку рідини.

Рис. 5.3 Значне зниження тиску в швидких струминах рідин або газів використовують для побудови водострумних, ртутних або масляних насосів, інжекторів, пульверизаторів.

2. Водоструминний насос. (рис.5.3)

Стоділка М.І.

Вода з водопроводу потрапляє в трубку, яка звужується до кінця, внаслідок чого швидкість води на виході дуже збільшується, а тиск – зменшується. У цю область низького тиску засмоктується повітря з резервуара, а потім виноситься струменем назовні. Такими насосами досягають розрідження 104 Па.

3.Трубка Піто –Прандтля (рис.5.4) прилад для вимірювання швидкості потоку рідин або газів. Прилад має дві трубки – одну з отвором проти потоку і другу з отвором, паралельним потоку. Трубки з'єднані з диференціальним манометром.

4. Формула Торрічеллі.

Рівняння Бернуллі використовується для визначення швидкості витікання рідини через отвір у стінці або дні посудини. Розглянем о циліндричну посудину з рідиною, у боковій стінці якої зроблено невеликий отвір (рис.5.5)

Тиски p1 і p2 на рівні обох перерізів

З рівняння неперервності випливає, що

u1 = S1 u2 S2

де S1 і S2 - площі поперечного перерізу посудини і отвору.

u2 = 2gh

Стоділка М.І.

Цей вираз називається формулою Торрічелі. 5. В’язкість (внутрішнє тертя)

Всім реальним рідинам властива в’язкість або внутрішнє тертя – це властивість реальних рідин створювати опір переміщенню одної частинки рідини відносно іншої. При переміщенні одних шарів рідини відносно інших виникають сили внутрішнього тертя, напрямлені по дотичній до поверхні шарів.

З боку шару, що рухається швидше діє прискорююча сила, а з боку шару, який рухається повільніше – гальмуюча. Модуль сили внутрішнього тертя

η - динамічна в’язкість. [η]= Па с.; S – площа поверхні шару.

Величина ∆∆ux показує як міняється швидкість при переході від одного

шару до іншого в напрямку x (рис.5.6), перпендикулярно до напрямку руху шарів і називається градієнтом швидкості .

В’язкість залежить від температури в рідинах зменшується, в газах збільшується.

Існує два режими течії рідини Ламінарна течія – якщо вздовж потоку кожен шар не перемішується з

іншим.

Турбулентне – коли є перемішування і утворюються завихрення. Англійський вчений О. Рейнольдс (1842 – 1912) в 1883 р. встановив,

що характер течіння залежить від безрозмірної величини, числа Рейнольдса:

d - характерний лінійний розмір, наприклад, діаметр труби.

При малих значеннях числа Рейнольдса ( Re ≤1000 - ламінарне течіння, при 1000 ≤ Re ≤ 2000 - перехід від ламінарного до турбулентного, при Re = 2300 (для гладких труб) течіння турбулентне.

§ 5.5. Методи визначення в’язкості

Метод Стокса (англ. 1819 – 1903)

Базується на вимірюванні швидкості сферичних тіл, які повільно рухаються в рідині.

На кульку, що падає в рідині діють три сили: сила тяжіння, сила Архімеда і сила опору, яка емпірично встановлена Стоксом.

Стоділка М.І.

F = 6πηru

При рівномірному русі кульки

mg = FA + F ,

Вимірявши швидкість, можна визначити η.

Метод Пуазейля (фр. 1799 – 1868)

Базується на ламінарному течінні рідини в тонкому капілярі. Розглянемо капіляр радіусом R і довжиною l . В рідині мислено виділимо циліндричний шар радіусом r і товщиною dr (рис.5.7). Сила внутрішнього тертя, яка

діє на бічну поверхню цього шару:

F = −η ddru dS = −η2πrl ddru ,

де: dS - бічна поверхня циліндричного шару; “-“ означає, що при зростанні

Рис.5.7 радіуса швидкість зменшується.

Для течії, що встановилася, сила внутрішнього тертя, яка діє на бічну поверхню врівноважується силою тиску, яка діє на його основу:

−η2πrl ddru = ∆pπr2 , du = −2∆ηpl r dr .

Після інтегрування, приймаючи, що є прилипання рідини, тобто біля стінки на віддалі R від осі швидкість дорівнює 0:

u = 4∆ηpl (R2 −r2 ).

Звідси видно, що швидкості вздовж перерізу розподіляються по параболічному закону.

За час t з труби витече рідина, об’єм якої:

η = πR4 ∆pt 8Vl

Стоділка М.І.

6. Спеціальна теорія відносності

Як згадувалося раніше, основні рівняння механіки однаково правильні у всіх інерціальних системах.

Із принципу відносності Галілея випливає, що в рамках механіки поняття швидкості не може мати абсолютного сенсу. Фізичну суть має лише поняття відносної швидкості.

Тут постає питання: чи можливо придати абсолютний сенс швидкості. З другого боку, теорія електромагнітного випромінювання, основи якої були закладені в другій половині XIX ст., здавалось вимагала деякої абсолютної системи відліку для правильного опису електромагнітних явищ. Тоді модно було вважати, що простір заповнений ефіром, з яким і мала би бути зв’язана вибрана система відліку, в якій швидкість

матеріальної точки була б абсолютною швидкістю.

Якщо так, то повинні існувати способи вимірювання цієї абсолютної швидкості, або як було прийнято говорити виявлення "ефірного вітру".

Пошуки "ефірного вітру" і вивчення всіх зв’язаних з цим питанням проблем відіграли величезну роль в розвитку фізики. Негативний результат цих пошуків привів до корінного перегляду поняття простору і часу реалізованого Ейнштейном у спеціальній теорії відносності (СТВ).

Якщо припустити, що світло поширюється в ефірі, то при переміщенні джерела, спостерігача, або прозорого тіла сигнал відносно до них буде розповсюджуватись інакше ніж відносно нерухомих тіл. Вимірюючи шляхи і часи розповсюдження сигналів в рухомих середовищах, можна було б визначити абсолютну їх швидкість відносно ефіру.

Дослід Фізо, який заключався у визначенні швидкості світла в рухомому середовищі, дав негативний результат.

§ 6.1. Дослід Майкельсона (1881-1887)

Як відомо, Земля рухається у світовому просторі з швидкістю 30 км/с. Майкельсон з допомогою винайденого ним інтерферометра зробив спробу виявити абсолютний рух Землі, вимірюючи швидкість поширення світла в двох взаємно перпендикулярних системах. Іншими словами він хотів виявити рух Землі відносно ефіру (ефірний вітер). Це йому не вдалося. Дослідження показували, що швидкості світла в двох системах які рухаються одна відносно іншої однакові.

Це суперечило правилу додавання швидкостей класичної механіки. Іншими словами світовий ефір виявився невловимий.

Перший крок до розв’язання суперечностей в зв’язку з негативним результатом досліду Майкельсона зробив Лоренц.

Він припустив, що рухомі тіла стискаються в напрямку руху, причому саме так, що дослід Майкельсона повинен дати негативний результат. Якщо розміри тіла в стані спокою L0 а рухомого тіла L , то за Лоренцом-

Фітджеральдом:

Стоділка М.І.

L = L0 1 − β 2

де β = uc ;

Ця гіпотеза рятувала ефір і пояснювала негативний результат експериментів Майкельсона.

А. Ейнштейн (1879-1955) у праці "До електродинаміки рухомих тіл" (1905 р.) висунув принципіально нову ідею і висунув 2 постулати:

1.Всі явища протікають однаково у всіх інерціальних системах і закони фізики інваріантні відносно вибору інерціальної системи..

2.Швидкість світла (в пустоті) однакова для будь-якого спостерігача, який знаходиться в інерціальній системі відліку і не залежить від відносного руху джерела світла і спостерігача.

Теорія, яка базується на цих постулатах і примінима до всіх систем, які рухаються без прискорення, називається спеціальною теорією відносності.

Як не дивно, але теорія, яка заставила переглянути поняття про простір і час і вплинула на інтерпретацію атомних, ядерних і астрофізичних явищ, побудована всього на двох простих постулатах.

§ 6.2. Елементи релятивістської динаміки

Ейнштейном на основі постулатів та законів спеціальної теорії відносності було встановлено, що маса, як міра інертності тіла змінюється в залежності від швидкості за законом

Сутність зміни маси при зростанні швидкості слід інтерпретувати слідуючим чином: чим більша швидкість тіла тим більшу силу необхідно прикласти до нього, щоб змінити його швидкість на одиницю. Т.т якщо тіло масою 1 кг рухається із швидкістю, яка набагато менша , ніж швидкість світла , то для то щоб змінити його швидкість на одиницю ( надати прискорення 1 м/с2), не суть важливо чи має це тіло швидкість 1м/с чи 1000 м/с, але в обох випадках необхідно прикласти силу 1Н. Однак при релятивістських швидкостях ( швидкостях близьких до швидкості світла) закон не справджується. Будь яке тіло, маса спокою якого відмінна від нуля, при цих швидкостях при прикладанні сили поводить себе як тіло безмежно великої маси. При цьому масу слід розуміти як міру інертності. Об”єм і густина тіла залишаються незмінними. Як наслідок - ніяке тіло, яке має масу спокою відмінну від нуля не може рухатись із швидкістю світла. Кванти світла , які мають енергію, володіють певним імпульсом і рухаються із швидкістю с, можуть так рухатись за рахунок того, що їх маса спокою рівна нулевіпри їх реєстрації вони як фізичний об”єкт зникають, перетворюючись в інший вид матерії.

Застосовуючи класичні поняття про взаємозв”язок імпульсу та сили .

Стоділка М.І.

1 − u2 c2

pr -релятивістський імпульс тіла масою m.

При u << c цей вираз переходить в T = m2u2

Ейнштейн узагальнив: довільна зміна маси ∆m супроводжується

зміною повної енергії ∆E = c2∆m .

Звідси Ейнштейн прийшов до універсальної залежності між повною енергією E тіла і його масою:

E = mc2 = m0c2 .

1 −β2

Це і є закон взаємозв’язку маси і енергії. З приведених формул одержуємо:

E 2 = m2c4 = m02c4 + p2c2 ;

E = m02c4 + p2c2 .