Obr_eksp_rez

2

3

I. Вступ

Багатовікова практика вимірювань показує, що вони ніколи не бувають безпомилковими. Будь-яке вимірювання (незалежно від ретельності проведення і точності приладів) завжди дає результати більш-менш відхилені від істинного значення вимірюваної величини, яке в більшості випадків залишається невідомим. Тому на практиці вимірювання проводять таким чином, щоб похибка була якнайменшою, тобто точність вимірювань – найбільшою.

Точність вимірювань визначається здебільшого такими факторами:

–точністю приладів;

–методом вимірювань;

–зовнішніми умовами;

–суб'єктивним фактором.

В природі немає жодного фізичного явища, в якому не були б присутні в тій чи іншій мірі елементи випадковості. Випадковість – об'єктивна і завжди причинно обумовлена. Тобто як би не були враховані умови в процесі вимірювань, завжди матиме місце вплив випадкових факторів і практично неможливо отримати такі ж самі результати при повторному вимірюванні.

Фактори, що викликають появу похибок, впливають на результат вимірювання здебільшого незалежно один від одного, внаслідок чого остаточне значення величини матиме похибку, яка є результатом сумарного впливу всіх джерел, що мали місце під час вимірювання. А тому про точність вимірювань можна говорити лише як про відповідну ймовірнісну характеристику можливих відхилень отриманих результатів від їх істинних значень.

4

II. Основи теорії похибок вимірювань

2.1. Класифікація вимірювань

Під вимірюванням деякої фізичної величини розуміють порівняння її з іншою фізичною величиною такого ж типу, що прийнята за одиницю порівняння. Результат вимірювання виражається числом, яке показує, скільки прийнятих одиниць (чи її частин) міститься у величині, що вимірюється. Одиниці вимірювань вибирають, виходячи з практичних міркувань, однак зараз найчастіше використовується міжнародна система одиниць CI [1], а тому кінцевий результат вимірювань необхідно виражати в одиницях системи

CI.

За фізичним виконанням вимірювання поділяють на прямі (безпосередні) та непрямі (опосередковані). До прямих відносять такі вимірювання, коли дві фізичні величини – вимірювану та одиницю порівняння – можна співставити безпосередньо: визначення довжини лінійкою чи мікрометром, вимірювання сили струму амперметром і т.д. Якщо вимірюють одну або декілька фізичних величин, а шукану величину отримують як функцію від виміряних, то говорять про опосередковані вимірювання. Прикладом непрямих вимірювань може бути визначення швидкості рівномірного руху: для цього потрібно виміряти пройдений шлях та час руху.

Під час вимірювань часто доводиться аналізувати умови, в яких їх проводять: об'єкт вимірювання, суб'єктивний фактор, вимірювальний прилад, метод вимірювань, зовнішнє середовище. При однакових умовах вимірювання вважають рівноточними, в противному разі – нерівноточними. Якщо вимірювання виконуються в різних умовах (вимірюються два фізично різних об'єкти, різними виконавцями, різними вимірювальними приладами та методами і в різних зовнішніх умовах), то такі вимірювання будуть незалежними, позаяк немає підстав вважати вплив умов на процес вимірювань одинаковим.

2.2. Класифікація похибок вимірювань

На результати вимірювань впливають різні фактори. Ці впливи проявляються як похибки, що накладаються на істинні значення вимірюваної величини. Під істинним значенням фізичної величини розуміють таке її значення, яке ідеальним чином відобразило б в якісному та кількісному відношеннях відповідну властивість об'єкта вимірювань.

Похибки вимірювань за своїм походженням поділяють на: інструментальні, заокруглення, особисті, зовнішнього середовища; а по характеру впливу на результати вимірювань − на: систематичні, випадкові, грубі (промахи).

Інструментальні похибки обумовлені:

– недосконалістю виготовлення окремих частин інструмента, похибкою шкал вимірювальних приладів, похибкою ходу мікрометричних гвинтів і т.п.;

5

–недостатньо точним юстуванням інструменту;

–зміною властивостей приладу з часом.

За своїм впливом ці похибки мають переважно систематичний характер. Ретельна перевірка приладу, а також застосування певної методики вимірювань дозволяють зменшити згадані похибки.

Похибки заокруглення виникають при обчисленнях, але можуть виникати і при вимірюваннях, коли виконавець, наприклад, робить відліки по мірній шкалі і заокруглює десяті частини поділок шкали до найближчого цілого значення.

Суб'єктивні похибки викликані обмеженою чутливістю органів чуття, недостатньою досвідченістю і станом спостерігача; ці похибки носять випадковий характер.

Похибки зовнішнього середовища обумовлені зміною зовнішніх умов та несприятливим їх впливом на вимірювання; сюди належать впливи температури, атмосферного тиску, вологості і т.д. Для врахування або послаблення таких похибок вводять в результати вимірювань поправки, що враховують зміну зовнішніх умов. Повністю виключити такі похибки неможливо, вони випадкові за своїм характером.

Похибки вимірювань, які залежать певним чином від факторів, що їх породжують, називаються систематичними. Вони можуть бути постійними та змінними. Постійні похибки систематичного характеру від одного виміру до другого не змінюються ні за величиною, ні за значенням, оскільки викликані незмінними діючими факторами: неточний нульовий відлік шкали приладу, недосконала методика проведення досліду і т.д. Для визначення постійної систематичної похибки треба проводити спеціальні додаткові дослідження. Класичним прикладом може служити дослід Міллікена по визначенню заряду електрона e. В цьому експерименті треба знати в'язкість повітря. Міллікен використав дещо занижене значення в'язкості і отримав значення: e = (1.591±0.002) 10-19 Кл. Зараз прийнято: e = (1.60210±0.00002) 10-19 Кл. Майже до 1930 р. значення атомних констант таких як стала Планка, число Авогадро (вони визначались через елементарний заряд) мали похибку більшу 0.5%.

Змінні систематичні похибки − це такі, що змінюють свою величину і знак за законом, аналітична форма якого щораз інша. Такі похибки до теперішнього часу не вивчались, оскільки неможливо встановити загальні правила виявлення та виключення їх з результатів вимірювань.

Випадкові похибки − це похибки, які в процесі вимірювань змінюють свою величину та знак без будь-якої закономірності. Випадкова похибка являє собою сумарний ефект впливу багатьох відомих та невідомих причин, кожна з яких незалежно від інших вносить до результату вимірювання свою невелику елементарну похибку. Поняття "випадкова похибка" підкреслює лише той факт, що або ми не спостерігаємо безпосередньо того зв'язку, який існує між самим процесом вимірювання та причинами, які обумовили

6

виникнення випадкової похибки, або такий зв'язок настільки складний, що про нього нічого не можна сказати, а тільки констатувати сам факт появи випадкової похибки.

Грубі похибки трапляються, головним чином, в результаті неуважності та недбайливості вимірювача або обчислювача. Це похибки, які не можна допустити при даних умовах вимірювань. Для їх виявлення проводять повторні контрольні вимірювання та обчислення, а також використовують

зупинки секундоміра, похибка відліку − викликають розкид результатів по обидві сторони від істинного значення періоду (одні результати завищені, другі − занижені). Але, якщо секундомір відстає, то виміри будуть занижені. Це вже систематична похибка.

У зв'язку з наявністю випадкових похибок xi неодинакові, а тому в якості

найкращого значення шуканої величини беруть середнє арифметичне значення x :

При великій кількості вимірювань випадкової похибки, різні за знаками і однакові за модулем, зустрічаються однаково часто. Тому при n →∞ середнє арифметичне наближається до істинного значення фізичної величини. В реальній практиці число вимірювань n є величиною скінченною.

8

Квадратний корінь із середнього значення квадрата похибки ∆ = x − X називають середньоквадратичним відхиленням або середньоквадратичною похибкою:

Величину σ 2 називають дисперсією.

Середньоквадратичне відхилення характеризує розкид результатів вимірювання. При точних вимірюваннях f (x) має вузький максимум при

x = X , а σ − мале; при грубих − буде великий розкид результатів відносно X , а σ − велике.

причому число таких серій досить велике. Вся сукупність виміряних значень характеризується відповідним розподілом із середньоквадратичним відхиленням σ . В кожній серії є своє власне середнє значення і сукупність всіх таких середніх характеризується своїм розподілом із

середньоквадратичним відхиленням σcp. − середньоквадратичною похибкою

середнього значення. В реальному експерименті ми маємо тільки одну серію із n вимірів з одним середнім значенням. Однак, ця серія представляє собою випадкову вибірку із повної сукупності вимірів, а середнє значення є лише одне значення із повної сукупності середніх.

Розпишемо вираз для похибки середнього:

вимірювання.

Піднесемо ∆ до квадрату. Отримаємо:

9

∆2 = n12 ∑i ∆2i + n12 ∑∑i≠ j ∆i ∆j ,

де: 1 ≤ j ≤ n ; xj − результат j -го вимірювання.

Усереднимо цей вираз за всіма серіями вимірювань. Значення величини

n разів менша середньоквадратичної похибки окремого вимірювання. Зазначимо, що σ залежить від точності окремих вимірювань і не

залежить від їх числа, тоді як величину σcp. можна зменшити, збільшивши n .

Величину s називають вибірковим середньоквадратичним відхиленням. Враховуючи те, що ∆i = xi − X , а ∆= x − X , маємо:

xi − x = ∆i −∆= di .

А тому