Obr_eksp_rez
.pdf
20
Обчислення похибок вимірювань також не слід проводити з великою точністю, оскільки згідно вимог ГОСТ 8.011-72 [2] абсолютна похибка вимірювань визначається числом з кількістю значущих цифр не більшою двох (дві − тільки для дуже точних вимірювань).
Якщо абсолютна похибка становить одиниці останньої значущої цифри кінцевого результату, то остання цифра в цьому значенні є сумнівною, але її треба записати. Коли похибка становить дві значущі цифри результату вимірювань, то в цьому випадку останню цифру результату заокруглюють. Наведемо приклади кінцевих записів результатів вимірювань.
Неправильно |
Правильно |
284.6±1 |
285±1 |
242±12 |
240±12 |
53.74±0.006 |
53.740±0.006 |
4.75±0.3 |
4.8±0.3 |
0.001±0.00033 |
0.0010±0.0003 |
На практиці спочатку |
заокруглюють похибку, а потім, враховуючи |
похибку, заокруглюють результат вимірювання.
Для прикладу розглянемо вимірювання діаметру дроту штангенциркулем і мікрометром, точність вимірювання якими 0.1 мм і 0.01 мм відповідно.
Результати вимірювань штангенциркулем ( d1 ) та мікрометром ( d2 ) на 10 різних ділянках представлені в таблиці.
|
1 |
2 |
|
|
3 |
4 |
5 |
|
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d1 (мм) |
0.4 |
0.4 |
|
|
0.4 |
0.4 |
0.4 |
|
|
0.4 |
0.4 |
0.4 |
0.4 |
0.4 |
d2 (мм) |
0.36 |
0.36 |
|
|
0.37 |
0.36 |
0.37 |
|
0.37 |
0.36 |
0.35 |
0.36 |
0.37 |
|
|
|
|
|
|
= 0.4 мм |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
d1 |
d |
2 |
= 0.363мм |
|
|
|
||||||
При вимірюванні діаметру штангенциркулем випадкова похибка вимірювань відсутня. Отже, точність результату визначається тільки точністю штангенциркуля: d1 =(0.4 ±0.1)мм.
Вимірювання за допомогою мікрометра мають як випадкову, так і похибку інструмента:
∆np. = 0.01мм; σ = |
1 |
|
∑n |
(di |
− |
|
)2 = |
1 |
4.1 10−4 ≈ 0.2 10−2 мм. |
|
|
d |
|||||||||
n −1 |
9 |
|||||||||
|
i =1 |
|
|
|
|
|
||||
Оскільки ∆p << ∆np. , то похибка вимірювання визначається тільки σnp. :
21
d2 =d2 ±∆пр. =(0.36 ±0.01)мм.
Визначимо площу поперечного перерізу:
S = πd22 = 3.14 (0.36)2 ≈ 0.103 мм2. 4 4
Величину похибки σS знайдемо за формулою:
σS =2 d∆ S = 20.036.01 0.103 ≈ 6 10−3 мм2.
Отже, S =(0.103 ±0.006)мм2. Площа визначена з точністю E = 6 %.
22
III. Оформлення результатів вимірювань
У звітах з лабораторного практикуму вказують тему і мету роботи, основні теоретичні відомості і співвідношення, необхідні для виведення робочої формули, робочу формулу, вихідні дані, опис приладів, установок, порядок виконання роботи, результати вимірювань (включаючи похибки) та висновок.
Результати вимірювань краще заносити в таблиці, причому числові значення однієї величини записують в стовбець. Поряд із стовбцем для xi
записують стовбці для величин xi − x та (xi − x)2 . Числові значення
розміщують таким чином, щоб знаки, що розділяють цілі числа від десяткових знаків, були на одній вертикалі. Дуже великі і малі числа краще представляти так: в таблицю записують тільки їх значущі цифри, а множник у вигляді 10 у відповідній степені виносять у заголовок стовбця. Наприклад, замість 8.6 10−10 в таблицю вносять 8.6, а у заголовку таблиці до позначення стовбця дописують множник ( a 10−10 ). При такій формі запису відпадає необхідність кожний раз писати один і той самий множник.
При обробці експериментальних результатів для наглядного представлення залежності однієї величини від іншої будують графіки. Для побудови графіків використовують міліметровий напір. Перед побудовою графіків необхідно раціонально вибрати масштаб по осі абсцис OX і ординат OY , виходячи з тих меж, в яких знаходяться всі значення аргумента і функції. Ці масштаби вибирають довільно, незалежно один від одного, але так, щоб графік не був дуже малим чи розтягнутим по одній із осей. Іноді інтервал, в якому знаходяться значення аргумента (функції), лежить далеко від нуля. У цьому випадку наносять поділки на відповідних осях не з нуля, а з деякого значення, трохи меншого від мінімального. При такій побудові графіків криві будуть займати практично все поле. За одиниці масштабу доцільно брати 5, 10, 50, 100 мм. Масштабні поділки наносять на осі, а цифрові проставляються тільки для великих одиниць. Слід звернути увагу на написи, що стосуються координатних осей і одиниць вимірювань. Експериментальні точки наносять на основі даних таблиць у вигляді кілець невеликого радіуса, точок, квадратиків і т.п. Якщо можна визначити абсолютні похибки вимірювань ∆x та ∆y , то їх відкладають по обидві сторони від точки у вигляді хреста так,
щоб точка була в центрі. Проводити перпендикуляри від точок до осей не варто, бо це ускладнює візуальне сприйняття графічної інформації.
Як правило, фізичні залежності − це плавні лінії. В той же час експериментальні точки через похибки не лягають точно на криву фізичної залежності. Тому між точками проводять пряму чи плавну криву лінію, що проходить через інтервали абсолютних похибок так, щоб якнайбільше точок лягло на цю лінію, а решта рівномірно розподілились вище та нижче неї. Чим менша похибка, тим точки краще будуть лягати на криву. При цьому легко
23
виявити окремі грубі похибки, оскільки відповідні точки лежать далеко від кривої. Якщо на одному графіку є декілька кривих, то кожній кривій присвоюється номер. Бажано, щоб різні криві зображались лініями різної структури (суцільні, пунктирні і т.п.).
24
IV. Метод найменших квадратів
4.1. Математичні основи методу
Під час досліджень часто міряють пари величин x і y , причому одна є функцією другої − y = y(x). Знайдені значення відкладають на графіку і намагаються знайти криву, що відповідає алгебричній функції y = y(x), яка
проходила б якнайближче до експериментальних точок. Якщо залежність між x і y відома, то задача зводиться до пошуку параметрів функції y = y(x).
Розглянемо спочатку залежність: y = ax +b , два параметри якої потрібно
знайти.
Лінійна залежність широко поширена у фізиці. Навіть коли залежність нелінійна, часто будують графік так, щоб отримати пряму лінію. Наприклад,
залежність |
струму розрядки |
конденсатора від |
часу |
має |
вигляд |
|||||||||||||||
I (t)= I0 exp(−t /τ) , де τ |
− час релаксації, невідомий параметр. Легко бачити, |
|||||||||||||||||||
що залежність ln I від t |
− лінійна, а τ визначається нахилом цієї прямої. |
|||||||||||||||||||
Знайти найкращі, тобто найбільш ймовірні, параметри залежності |
||||||||||||||||||||
дозволяє один з методів статистики − метод найменших квадратів [5, 13]. |
||||||||||||||||||||
Припустимо, що маємо n пар виміряних значень (x1; y1 )(, x2 ; y2 ),..., (xn ; yn ) |
||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(мал. 5). Будемо вважати, що лише |
|||||
|
|
( yi – a· xi – b ) |
|
|
|
величина |
y |
має випадкові похибки (в |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
іншому |
випадку |
аналіз |
суттєво |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ускладнюється). В такому разі відхилення |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лінії від його виміру становить: |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆i = yi − y(xi |
)= yi −(axi +b). |
|
(30) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значення a і b вибираються так, щоб |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сума S = ∑∆2i |
= ∑(yi −axi −b)2 |
(31) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||
Мал. 5. Метод найменших |
|
i |
i |
|
|
|
||||||||||||||
була мінімальною; звідси назва: метод |
||||||||||||||||||||
квадратів. Для прямої, що |
найменших квадратів. |
|
|
|||||||||||||||||
найкраще |
проходить |
|
через |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
точки, |
сума ∑(yi −axi −b)2 |
Згідно умови (31), шукана залежність |
||||||||||||||||||
мінімальна. |
|
|
i |
|
|
|
повинна |
проходити |
якнайближче |
до всіх |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точок |
експериментальної |
залежності; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можливі й інші критерії - мінімум |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найбільшого відхилення, наприклад. |
|||||
Запишемо для (31) умову мінімуму: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂S |
|
= ∑[− 2xi (yi − axi −b)]= 0 , |
|
(32) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∂a |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∂S |
|
= ∑[− 2(yi − axi −b)]= 0 . |
|
|
(33) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
∂b |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
25
Таким чином, шукані параметри a і b можна отримати, розв'язавши систему рівнянь:
|
|
a∑xi2 + b∑xi = ∑xi yi , (34) |
|||||
|
|
|
i |
|
i |
i |
|
|
|
a∑xi + b n = ∑yi . |
(35) |
||||
|
|
|
i |
|
|
i |
|
Друге рівняння (35) показує, що найкраща пряма проходить через точку з |
|||||||
|
1 |
∑xi , y = |
1 |
|
|
через центр тяжіння всіх |
|
координатами: x = |
n |
n |
∑yi , тобто |
||||
|
i |
|
i |
|
|
||
експериментальних точок. Розв'язуючи систему рівнянь (34) та (35), маємо: |
||||||||
|
∑(xi − x)(yi − y) |
|
n ∑xi yi −∑xi ∑yi |
|
|
− x y |
|
|
a = |
= |
= |
xy |
, |
(36) |
|||
∑(xi − x )2 |
n ∑xi2 −(∑xi )2 |
|
σx2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
b = y −ax . |
|
|
|
|
|
|
(37) |
|
Якщо залежність y = f (x) параболічна, |
то |
задача |
зводиться до |
|||||
знаходження трійки параметрів. Справді, в цьому випадку: y = ax2 +bx +c .
Отже, сума квадратів відхилень рівна: |
|
||||
S(a,b,c)= ∑(yi −axi2 −bxi |
−c)2 . |
|
(38) |
||
i |
|
|
|
|
|
Диференціюючи (38) по a,b,c , отримаємо систему рівнянь для |
|||||
знаходження найбільш ймовірних параметрів: |
|
||||
a∑xi2 + b∑xi + c n = ∑yi ; |
|
||||
|
i |
i |
|
i |
|
|
|
|
|
= ∑xi yi ; |
(39) |
a∑xi3 + b∑xi2 + c∑xi |
|||||
|
i |
i |
i |
i |
|
a∑xi4 + b∑xi3 + c∑xi2 = ∑xi2 yi . |
|
||||
|
i |
i |
i |
i |
|
Ми отримали робочі співвідношення для апроксимації експериментальної залежності поліномами першого та другого степеня. Аналогічно можна отримати формули для знаходження оптимальної кривої (в сенсі найменших квадратів) для довільної фізично обумовленої залежності.
Для прикладу розглянемо визначення параметрів лінійної залежності a і b вольтамперної характеристики лінійного елементу.
Оскільки елемент лінійний, то вольтамперна характеристика матиме вигляд:
U = aI +b .
Отримані експериментальні дані наведені в таблиці.
I, мA |
U, B |
|
|
12.1 |
2.7 |
21.8 |
3.2 |
I, мA |
U, B |
|
|
82.4 |
7.2 |
90.1 |
7.5 |
29.8 |
3.5 |
38.3 |
4.0 |
46.6 |
5.1 |
61.1 |
5.8 |
70.3 |
5.9 |
26
97.0 |
7.7 |
107.3 |
8.7 |
115.2 |
9.0 |
126.6 |
9.5 |
140.0 |
10.2 |
|
За допомогою калькулятора знаходимо (I ≡ x,U ≡ y) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≈ 7.92 10−2 А; |
y ≈ 6.73 В |
|
|
|
|
|
|||||
∑xi |
yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
= |
xy |
≈ 0.632 В А; |
|
|
x2 ≈ 7.95 10−3 А2; |
|
|
|
y2 ≈51.2 В2 |
|||||||
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
σx2 =1.68 10−3 А2; |
σy2 =5.95 В2. |
|
|
|
|||||||
|
Використовуючи формули (36), (37), знаходимо: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
a = |
|
xy |
− x y |
= |
0.632 −7.92 10−2 6.73 |
≈ |
59.2 |
B |
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
σx2 |
|
A |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.68 10−3 |
|
|
|
|
||||||
b = y −a x = 6.73 −59.2 7.92 10−2 = 2.04 В. Отже, U = 59.2 I + 2.04 .
|
|
|
|
|
Додаток |
|
|
|
|
|
|
27 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
z2 |
|
|
|
|
z |
− |
t 2 |
|
Таблиця 1. Розподіл Гауса: |
f (z)= |
1 |
|
|
2 |
; |
F(z)= |
2 |
2 dt |
||||||||
|
e |
∫e |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
π |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
f(z) |
|
F(z) |
|
|
|
|
|
z |
|
|
f(z) |
|
|
F(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.0 |
0.399 |
|
0.0 |
|
|
|
|
|
1.6 |
|
0.111 |
|
|
0.890 |
|
||
|
0.2 |
0.391 |
|
0.159 |
|
|
|
|
|
1.8 |
|
0.079 |
|
|
0.928 |
|
|
|
0.4 |
0.368 |
|
0.311 |
|
|
|
|
|
2.0 |
|
0.054 |
|
|
0.954 |
|
|
|
0.6 |
0.333 |
|
0.451 |
|
|
|
|
|
2.2 |
|
0.035 |
|
|
0.972 |
|
|
|
0.8 |
0.290 |
|
0.576 |
|
|
|
|
|
2.4 |
|
0.022 |
|
|
0.984 |
|
|
|
1.0 |
0.242 |
|
0.683 |
|
|
|
|
|
2.6 |
|
0.014 |
|
|
0.991 |
|
|
|
1.2 |
0.194 |
|
0.770 |
|
|
|
|
|
2.8 |
|
0.008 |
|
|
0.995 |
|
|
|
1.4 |
0.150 |
|
0.833 |
|
|
|
|
|
3.0 |
|
0.0044 |
|
0.9973 |
|
||
Таблиця 2. Коефіцієнти Стьюдента tp,k.
|
k |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
0.90 |
|
0.95 |
0.98 |
0.99 |
0.999 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2.132 |
|
2.776 |
3.747 |
4.604 |
8.610 |
|
||
|
5 |
2.015 |
|
2.571 |
3.365 |
4.032 |
6.859 |
|
|
|
6 |
1.943 |
|
2.447 |
3.143 |
3.707 |
5.959 |
|
|
|
7 |
1.895 |
|
2.365 |
2.998 |
3.499 |
5.405 |
|
|
|
8 |
1.860 |
|
2.306 |
2.896 |
3.355 |
5.041 |
|
|
|
9 |
1.833 |
|
2.262 |
2.821 |
3.250 |
4.781 |
|
|
|
10 |
1.812 |
|
2.228 |
2.764 |
3.169 |
4.587 |
|
|
|
11 |
1.796 |
|
2.201 |
2.718 |
3.106 |
4.487 |
|
|
|
12 |
1.782 |
|
2.179 |
2.681 |
3.055 |
4.318 |
|
|
|
13 |
1.771 |
|
2.160 |
2.650 |
3.012 |
4.221 |
|
|
|
14 |
1.761 |
|
2.145 |
2.624 |
2.977 |
4.140 |
|
|
|
15 |
1.753 |
|
2.131 |
2.602 |
2.947 |
4.073 |
|
|
|
16 |
1.746 |
|
2.120 |
2.583 |
2.921 |
4.015 |
|
|
|
18 |
1.734 |
|
2.103 |
2.552 |
2.878 |
3.922 |
|
|
Таблиця 3. Коефіцієнти tp. |
|
|
|||||||
|
|
P |
|
|
|
tp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.52 |
|
|
|
0.7 |
|
|
|
|
|
0.68 |
|
|
|
1.0 |
|
|
|
|
|
0.83 |
|
|
|
1.3 |
|
|
|
|
|
0.89 |
|
|
|
1.6 |
|
|
|
|
|
0.95 |
|
|
|
2.0 |
|
|
|
P
k 0.90 0.95 0.98 0.99 0.999
20 1.725 2.086 2.528 2.845 3.850
25 1.708 2.060 2.485 2.787 3.725
30 1.697 2.042 2.457 2.750 3.646
35 1.689 2.030 2.437 2.724 3.591
40 1.684 2.021 2.423 2.704 3.551
45 1.679 2.014 2.412 2.689 3.522
50 1.676 2.008 2.403 2.677 3.497
60 1.671 2.000 2.390 2.660 3.460
70 1.667 1.995 2.381 2.648 3.436
80 1.664 1.990 2.374 2.639 3.416
90 1.662 1.987 2.368 2.632 3.401
100 1.660 1.984 2.364 2.626 3.391
∞ 1.645 1.960 2.326 2.576 3.291
P |
tp |
0.97 |
|
2.2 |
|
0.98 |
2.4 |
0.991 |
2.6 |
0.995 |
2.8 |
0.997 |
3.0 |
28
Література
1.ГОСТ 8.417-81/СТ СЭВ 1052-78/. Единицы физических величин.
2.ГОСТ 8.11-72 ГСИ. Показатели точности измерений и формулы представления результатов измерения.
3. ГОСТ 8.207-76 ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения.
4.Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.:
Наука, 1979.- 496с.
5.Сквайрс Дж. Практическая физика. М.: Мир, 1971. 246с.
6. Деденко Л.Г., Кершенцев В.В. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента. М.: Изд. Моск. ун-та, 1977.- 112с.
7.Зайдель А.Н. Элементарные оценки ошибок измерений.- Ленинград:
Наука, 1968.- 96с.
8.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные мотоды.- М.:
Наука, 1987.- 600с.
9.Орлов А. И. Прикладная статистика. Учебник. - М.: Экзамен, 2006. -
671с.
10.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 1. (2-е изд.). - М.: Мир, 1964 - 511c.
11.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 2. -
М.: Мир, 1967 - 765c.
12.Володарський Є.Т., Кошева Л.О. Статистична обробка даних. Навчальний посібник. – К.: “НАУ друк”, 2008. - 308с.
13.Баховець Б.О., Ковальчук Д.М. Практикум з метрології і основ вимірювань. – Рівне: НУВГП, 2004. – 131с.