Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

E

1

1

= w0(y0) +

~ω n +

+ w1(y0)

N

N

2

1

(w2(y0) −

[w (y0)]2

+

N 2

2mω2

1

w1′′(y0)

w1′ (y0)w0′′′(y0)

+ ~ω" n +

−

2

2mω2

2m2ω4

+ O N 3 ,

äå + 6β4 n2 + n + 2

− 30β32

n2 + n + 30 #)

1

11

w0′′′(y0)

~

3/2

β3 =

,

w(IV )(y0)

~

2

0

Якщо взяти до уваги явнi вирази

äëÿ óíêöié

β4 =

24~ω

2mω

.

остаточно

òî÷íiñòþ

w1(y), w2(y), òî

1/N 2 знаходимо:

En,l

~ω

1

+ p0(l − 1)

= w0(y0) +

n +

~ω

p0

appro

+

"

(2l

− 1)(2l

− 3) − 4p03(l − 1)2

N 2

4

3Вищi наближення

1

2

3/2

àðаметром

β3)

+ 6

nçà+ï

2 (l − 1)(p0 + 4 0

412Noexpansion.1,46 54in quantum(2002).

me hani s. High-order1/N äèâ.ximationsI.O.Vakar//Jhuk.Phys.The.Stud1/N. 6-,

Φ(x) = −

e2

óíêöiÿ

,

x

i також простi розрахунки

1

e2

−N √N y

U (y) =

дають:

~2

√

2me4

8me4

y0 =

N N , w0(y0) = −

, ω =

4me2

~2N 3

~3N 3

Тепер енерp0iÿ= 1,

β3 = −

1

,

β4 =

3

.

2

4

En,l

~ω

~ω

1

3~ω

àáî

=

−

+

n + l −

−

(2n + 2l

− 1)2 + . . . ,

N

4

N

2

4N 2

En,l = ~2N 2

−4

+

2N

−

− 4N 2

(2n ÷ëåíiâ+ 2l − 1)

+ O N 3

.

пенямиЦей в ðàç ¹ âiäòворенням першиõ òðüîõ

розкладу

çà

ñòå-

1/N точно¨ ормули

нiвсько¨якуЦiкавомиотримализадапор

2me4

,

En,l = −~2(2n + 2l

1 + N )2

чiвняти,тривимiрномуŸ44що. д ють першiвипадкучлени

розкладу для куло-

−

стану (

N = 3. Для основного

n = 0, l = 0) наше наближення да¹

E0,0 = −

тобто з точнiстю

,

2~2

9

Пiсля ц ¹¨ усп шно¨11%перевiркивiдтворю¹ точний результат.

414делях дослiдимо iншi задачi.

1/N -розкладу на еталонних мо-

~ω = √

~2α2

1/3

3

2

,

mN

1

637820,

5

Енер iя основного

стану

− 1! + 3N 2 √3 −

Ä N

=

mN

1/3

" 4 +

N

√

3 # .

E0,0

2~2α2

3

1

3

5

ëÿ îäíîâèìiðíîãî

ипадкó

ратних

ужках

iâíþ¹ 0.

N = 1,ачисловийточнийрезульЯкоеiцi¹нтат(дивуквад.Ÿ24:

1/3

-

ìó âèïàсправдiзкутаблицiмирозкладдеðуважимо,малимдужпараметром)добреда¹0узгодження,.641799.потенцiалiв,бачимо,хочазновуць

ε0

/4

,

ε0

= 1.018793

раметромж Насааки кiнецьнеза¹

що для степеневих.

1/N

y

s

, íàø 1/N -

U

дiйсно виявився чистим розк адом за па

лонiвську 1задачу/N , оскiлькиабо залежнiсть вiд N множник

U (äèâ. êó

-

спiльнийк спiльноготiлахмнож-

мумножниканиксередŸдляозглянемо48. всiхвищiЕвжективнапоправок.Цезадачуможеможей|xмасапро.не|-бути,Дляосцилятор)бутирухдомiшокiншихнаприклад,домiшкових.потенцiалiвзбира¹тьсяу конденсованихрухатомiвонденсованомуатомауакого

тинки,

q

3He

рiдкому

розв'яжрух електронаемозавданнязадачуйпронномурухкристалiчастинкиеективну.

òi

4лi,HeякМиабосклада¹ться

416

N атомiв (йонiв) об'¹мi V з координатами

. . . , RN

R

дляовiдкенер. Нашеèстовуючинаведемоiйосновногонаступнiормулианучленизнайтицихстацiонарно¨морозкладуелей:дляквадтеорi¨ангармонiчногомасуатнихзбуреньако¨дужкахосци.часу--

ляторавираз4Длях викор

4

доданок, пропорцiйний до 1/N

3,

3; äëÿ

îðiâíþ¹ 17

287

2

/N

x

27 −

432

3

-осцилятора вiн дорiвню¹ 337 √

3 (див. виноску на стор. 412).

3 − 8 /9N

|x|

72

амiльтонiан задачi

ïîр тенцiальнузгляда¹моH′ якенерзбуренiю вза¹модi¨

V

2m

деульсу,m початкова або гола маса

pˆ оператор ¨¨ iм-

ˆ

ãàìiëüòî

iàí

середовища,

оператор

атомамиго зв'язку),середовища:ˆ якийопису¹ми

íя (наближеннячастинкислабкз

N

X

äå

ˆ

U (|r − Rj |),

V =

j=1

р довищеr озрахукоординат¹мовiд операторапоправкичстинкидозбурення.енерi¨

системи частинка плюс се

âà¹

основному станi з енер i¹ю

ˆ

V , коли середовище перебу-

частинк

ма¹ iмпульс

E′

i хвильовою ункцi¹ю 0),

0 2

k

2

|

√

~k, åíåð iþ ~

/2m i хвильову ункцiю

|ki

ikr

/

V

. Отже, повна

iя системи

= e

де нульове наближення

(0)

(1)

(2)

+ . . . ,

Ek = Ek

+ Ek

+ Ek

(0)

~2k2

Перша поправка за означеннямE =

äîðiâíþ¹:+ E′ .

k

2m

0

äå õâè üîâà

(1)

наближеннi

системи в нульовомуˆ

óíêöiÿ Ek

= hk, 0|V

|k, 0i,

|ki|0). çðà

|k, 0i =

¹мо недiагональний матричний елемент опе тора

V íà ïëîñêèõ хвилях, який в користа¹мо i для друго¨ попðàâêè:

hk′|Vˆ |ki

=

Z

e−ik′r

N

eikr

√V

j=1 U (|r − Rj |) √V dr

X

1

N

Z

e−i(k′−k)R U (R) dR, 417

27 I. О. Вакарчук

=

V j=1 e−i(k′−k)Rj

X

диницi). Оскiльки iнте

R = r−Rj

æèòü(ÿêîáiàíâiäïåðiíäåхксуду дорiвню¹

ðàë íå çàëå-

j, òî

√N

1

N

hk′|Vˆ |ki =

X

óe−iqRj

V ρqνq , ρq = √N

j=1

кое iцi¹нтомФур'¹ ëþêтуацi¨ густини àòîìiâ

серед вищi, а

νq

¹ ê

Ôóð'¹ åíåð i¨ âçà¹ìîäi¨ äîìiøêè ç àòîìîì:

де хвильовий вектор νq

= Z

e−iqR U (R) dR,

q = k′ − k. Тепер ма¹мо:

äå

E(1)

= ρν0,

k

Зробимо

друго¨ед вищапоправки:.

ρ = N/V тепергустинарозрàтомiвхуноксе

суперпозицi¨, ункцiю

| i|

X X

|

E(2) =

|hk′, q′|Vˆ |k, 0i|2

k

q′6=0 k′6=k

Ek(0) − Ek(0)′,q′

енеренерiя промiжногоiязбудженнястанусередовища,E середовища= ~2kхвиль′2/2mîâà+ E′ +óíêöiÿE(q′), äå E(q′)