Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

Uîñíî= m

Ax

+ √6A

x

.

âíîго стану цi¹¨ моделi

# ,

3

1

A1/4x2 −

√A x4

A1/16

∞

2

4

à åíåð iÿ

C =

√

, I0 = Z0

e−√6z

−z

dz,

~2

3

1/4

Якщо тепер додати й вiд

ÿòè

â

ãàìiльтонiанi моделi

E0

= m r 2 A .

öiàë

ченняì,

x4 потен-

U , то пiсля усереднення енер iя

E = E0 + V

тутде усередненийуведеносереднi,операторзгiдно4 çáóðåз ознання6

√

à3/ñàìå,4

2~2

4

V = αx − m (Ax + 6A

x )

∞

I1

x4 = Z

x4ψ2(x) dx =

I0√

,

A

−∞

∞

I2

402

x6 = Z

x6ψ2(x) dx =

,

I0A3/4

П рiвнюючи цi чисельнi значення зi знайденими вище

основi

моделi гармонiчного осцилятора, бачимо, що ця друг опорна мо

äåëü ¹ óñïiø iøîþ, îñêiëüêè ÷èñë âi

жники енер i¨ ¹ ближ

рачимитеорi¨Запропдо

до знахмно.дельдженнявимiрногомалогопарамет

точногозбуреньосциляторану¹мо.значеннящеДлядинцьогопiдхiд0.667986введемо. . .

монiчного

з гамiльтонiано

N -

àíã -

pˆ2

α

де вект координати

H =

+

|x|4,

2m

N

E = E(0) + E(1),

E(0) = N

~ω

,

2

армонiчн

X

попереднi

E(1)

=

h0|N |x|4 −

2 |x|2|0i = N

h0|xi4|0i

i=1

≤X

N

2

2

mω2

X

2

α

де хвильова

+

2 N

овногоh0|x

xj |0i −

2

h0|x

|0i,

óíêöiÿ îñ

стану

1 i<j≤N

= |0

i=1

зтльових

ψ0

N

-

óльтатитсереднiункцiйзодзовимiрно¨аченнядновимiрнихзнахмоделiдимо,(диввик.Прористовуючикладх ¹1добуткŸ45):ом.Потрiбнiхвире

h0|xi2|0i

=

~

,

~

2

404

h0|xi2xj2|0i

=

,

i 6= j,

2mω

h0|xi |0i = 3 í2åmω

.

Цi середнi значення,4очевидно,

~çàлежать вiд

правка

òà j, òîìó ïî-

ω знаходимо з умови ìiíiìуму повно¨ енер i¨

~

2

~

2

~ω

E(1)

= 3α

2mω

+ (N

− 1) α

2mω

− N

4

часто= 2

mω

+

4

"α mω

− ~ω# .

α

~

2

N

~

2

Íåâiäîìó

òó

dE/dω = 0:

~ω = 2α m2

1 + N

Тепер

1/3

.

~4

2

Ïðè

E = 8 N 2α m2

1/3

1 + N

1/3

.

3

~4

степенями

N розрахунку→ ∞, оли можна здiйснити розклад енер i¨ за

1/N

2α m2

один ступень

раметр.Виявля¹ться,ТакимчинN =

1/3

8 +

4N + . . . .

E

~4

3

1

шлиен çðîçêíi÷îãîëàду щецеточдинточниймалийрезульнабли

îìщо, обчисмипершийзнаëþâàòè

íiââ'ÿç ê, ùîλ дозволя¹= 1/N . Тобто для

λ поправки,= 0 задачапропма¹рцiйнiточнийдостепероз

ено, дорiвню¹.Зокрема, кое iцi¹нт бiля

1/N

ÿêèé ìè

тримали

æ 1/N

p

− 1

1/4

незначно вiдрiзня¹тьс вiд

ого значення

= 0.224745

(1/N )2, точне значення якого

ний член розкладу, пропорцiйний.Запрошу¹модо чит ча вiдшукати наступ-

25/36 − p

= −0.122052.

2/3

405

Öåé

андарний пiдхiд у

збурен

оли малий па а

вносинесться з-поза меж вихiдного г мiлüòîíiàíà, ìî

äî

пов ти цiкавим прикладом iз теорi¨

перех дiвжнат кри

è÷íèõ

явищ. Точний

задачi розразовихунку асимп

4-вимiрному просторi. К. Вiльс новi

с ормулюваòотики

метрермод намiчних ункцiй

лi критично¨ точки ¹ можливим у

ðiþ

2

еличина вiдхилення вимiр-

де малим параметром ¹

збуреностiзбурень,простору(такзванийD âiä

чотирьрозв'язокх,ε = 4 − D

виявилдалось. Отриманi ряди теорi¨

ивеложат асимптотичнихасимптотичнимдiйнiезульати, дляма

ви¨хнiiрностiпершi члени даютьε-розклад)пiдсумовуваннязмогудер

-

теоретдицьогомалийзвтеорi¨канiчно¨хiбазнанняхйно¨параметрдозбурень.Йоста,щорозвитктеорi¨теорi¨дозвеласьдамоякийзбурень:жливiцецiлоговислiвдоiронiчнойрядiвсправрудилишеПiдпо.вi

квантовомехпiдхпiдхiдзадачi.Д-це

математичних

Миобмежгочногобачимо,iзикшвйцарськногобухг-теîпрямкущоалтерськийретиккласувпливом.андартнiКрiмзнайтиогоявищтого,iзик

тематеморалiзуючимлямистецтво,

пiдкреслю¹

D = 3

треба

ментарного вол дiння латинським

грецьким ал авiтами .

параметромвеличиндесистемирозг¨х,здляне.,валосьТеперобернена.параграŸричномурух47би,ми. нема¹до1частинкиiзвинемомикiлькостi-.розкладвiдшукувалиОднимпослiдовнуступенiвiзакихмалiвiльностiтепаррiюàраметриметрiвзбуреньдослiвив

заджувано¨явиласьдачах,цимОтже,Упопередньому

/N

силовогоŸ44

центразпозначеннями:.Запозичимо ра-

альне рiвнян, деí

âiäñò

ьерадо iз

√

Шредин-

N U (x/ N )

x

~2 d2

~2

x

Нобелiв4062Çà розробкуñüêîþ ïðåìi¹теорi¨ю.критичних явищ К. Вiльсон у 1982 ðîöi

нагороджений

−

2m dx2 +

8mx2

(N + 2l − 1)(N + 2l − 3) + N U √N χ = Eχ.

обимо замiну змiнних

√

i отриму¹мо таке рiвняння:

y = x/

N

~2

d2

E

äå

ективна

ìàñà

+ w(y) χ = N χ, 0 ≤ y < ∞,

å

−

2m dy2

m = N 2m, а е ективний потенцiал

ßêùî w(y) =

~2

(N + 2l − 1)(N + 2l − 3)

+ U (y).

8my2

N 2

доенер

iÿ

частинкиN

дорiвню¹,тоеективнанулевi,масае m

→ ∞

→ ∞

на ективномудинступiw0(y) =

~2

8my2 + U (y).

Åíåð iÿ

ь вiльностi

iал,зрозумiло,якточцiвиплива¹щобззабезпечирiвняння,-

тидорiвню¹стiйкiсть, ми повиннiпотенцiаловi,взятиE/N

мiнiмальне значення:

y = y0, äå âií ìà¹

E

координату

= w0

(y0),

N

y0 знаходимо з рiвняння

çà óìî è, ùî

w′(y0) = 0

èìiðiâ

w′′(y0) > 0

âiльностiийЦейкрок

äëÿквадратичногоишеовогоенерармонiчнимднецентра,i¨скiлишеенне¨¨нульовимзначенняповнаенернаближенням.iя датиí один. Наступступiнь

y = y0 виразiдм си¹розглянути

÷àñò

цi рухатись

околi точки

N

можливiсть

степенямиезному

рiвняннячл

першогогол

âiäïîâiäà¹. Трозкладукийоливнийврахуваннюпотенцiалурух¹

-

èнаближаючогоеннi

y0

кiв Перейдiмдонульвiдхилення

w(y)

Поверта¹мось до вихiдного

з потенцiал. Зручномвчинити так.

w0(y0)

w(y),

ÿêèé407

кi етично¨ енер i¨, це буде гамiльz =òîíiàíy − y¯ëÿäà¹ìîàêèì:á'¹äíó¹ìî

збуренняа решту,.Урезультоб атiвсiнашеанг рiвняння ста¹розг

ˆ

дляяк

нульов ¨ задачi,

H0

(Hˆ0 + V )χ =

E

äå

− w(¯y) χ,

N

ˆ

~2

d2

m ω¯2

2

H0

= −

+

z

,

z = y − y¯, частота

2m

dz2

2

а точку мiнiмуму потенцiалуω¯ = r

,

m

ω′′(¯y)

w(y) знаходимо з рiвняння

причому величина

w′(¯y) = 0,

рення

z змiню¹ться в межах [−y,¯ ∞). Оператор збу-

X

βk z

k≥3

¯

изначенi

βk =

k!

âàãè

k-тою похiдною е ективного потенцiалувiд точцi рiвно-

E

− w(¯y) = ~ω¯ n +

1

+ E(1) + E(2) + . . . ,

~2

1/4

~

ξ = z,r

= z,

m ω¯

m w′′(¯y)

мiню¹тьспоправокямежах

~2

1/4

= z√N ,

mw′′(¯y)

√

~2 1/4

, i îòæå, ïðè

[ y¯

N

(mw′′(¯y)/ )

∞

)

N

→

−

ìåíòiâëçвичайногообластьикатиму¨¨дновимiрзмiнивищхть напîгорядкiвценижнiйосциляторвспридiйснамежiрозрахунках.iнвiсьруванняматричнихпiдвеличиничасякобчисiеледля

∞

(−∞, ∞)

Правда,

2

2

Îäíà

цi величинивiд множникпорiвняно зi сòåпеневимихвильовихпправкдаютьуни

¯

mw

(¯y)/~]

exp( ξ /2)

-

exp[−N yk p

′′

−

ïðè(1/N ) k = 1, 2, . . ., обчислення яких ¹ нашою метою,

областi

змiниористову¹мозникаючийвеличининеберучизичайнунесокдоуваги

ангяармонiч. Тмежiому-

íогоад лi

N

→ ∞

длятеорiюбудьскiнчзбурень-якогоннiстьзначендлянижньо¨k

осциляòîðà,

ки вПершнасманiжштабрухатисьдовжинидалi,z.

зробимо ще одне зауваження. Оскiль

розклад за ñтепеня

= (~/N )1/2

[mw′′(¯y)]1/4, òî

ÿìè

1/N ¹ еквiвалент им

розкладовi за ст пе

.

p

~. Ми зупинимосьармонiзмирозрахунку енер i¨ E/N у наближåííi

розрахункуий i четвертий. У¨хньогозв'язкуангвнескуцим нам достатньопростоскористврахуватиатись резульлишекубiчатом

(~/N )2

-

Таким чином, енер iя на

дин2 ступiньПрикладувiльностi2доŸ45.

~

E

= w(¯y) + ~ω¯ n +

1

~

2

1

409

n2 + n +

+ 6β¯4

N

2

2m ω¯

2