Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

яке задовольня¹ться

En − En′

δn′n = 0,

ïðè(0)

(0)

Прирiвню¹мо тепер

ïðè

.

êîån =iöi¹íòèn′ ïðè n = n′

6

λ у першому степенi:

Нехай

En(0) − En(0)′

Cn(1)′n + En(1)δn′n = Vn′n.

n′ = n, òîäi

(1)

ово¨операторадоенерзадачii¨, збу.якаПðиення,дорiвню¹розрахдiагональованого-

íМиаомухвильовихзнайшлиматричномупершуункцiяхелементовiпоправкунульE

= Vnn.

n

n′ = n держу¹мо

6

(1)

Vn′n

Нам залишил сь розрахуватинормуванняC = цьому

наближеннi.

ще величину

n′n

En(0) − En(0)′

Cnn(1)

. Знайдемî ¨¨ умови

хвильово¨ ункцi¨. Ма¹мо

X

X

ψn = Cmnψm

= Cnnψn +

Cmnψm

або в першому наближеннi

m

m6=n

Тепер з умовиψn = h1 + λCnn(1)i

X

ψn(0) + λ m6=n Cmn(1) ψm(0).

знаходимо (з точнiстю до Z

|ψn

| dq = 1

2

першого наближення)

392

1 + λCnn(1) 2 = 1.

Будемо вважати величину

(1)

гляда¹ться, отр

ìó¹ìî

Cnn дiйсною, i в наближеннi, що ро-

(1)

Отже, в першому наближеннiC ïðè= 0.

nn

λ = 1 знаходимо

En

= E(0)

+ Vnn,

n

(0)

Vmn

(0)

êîå iöi¹í-

ти приПереходимо доψnдругого= ψ +наближення. Прèðiâíþ¹ìîψ .

n

En(0)

−

Em(0)

m

m6=n

X

λ2:

(0)

(0)

(2)

(1)

(1)

(2)

(1)

Çâiäñè ïðè

− En′

Cn′n + En Cn′n

+ En

δn′n

= m CmnVn′m.

En

n = n′ ìà¹ìî

X

(2)

(1)

або з урахуванням явногоE виразу= CäëÿVnm,

n

m

mn

X

Cmn(1)

åíåð iÿ

Узявши до ув ги

(2)

Vmn

äëÿ

оператора

збурення

óì âè åðìiтовостi

En = m6=n En(0)

− Em(0) Vnm.

X

Vmn = Vnm, îñòàточно îтриму¹мо:

(2)

Vmn

2

Таким чином, повна енерE

=iÿ ïðè

|

|

.

n

m6=n En(0) − Em(0)

X

λ = 1

ßêùî

En = E(0)

+ E(1)

+ E(2).

n

n

n

n = 0, тобто для основного стану, друга поправка

E(2)

=

|Vm0|2

.

393

0

E(0)

−

Em(0)

m6=0

0

X

n = n′, i ç

рiвняння держу¹мо

−

6

X

−

−

(2)

VnnVn′n

VmnVn′m

ç

Cn′n

=

−

(0)

E

(0)

2

+

E(0)

E(0)

E(0)

E(0) .

En

n′

m=n

n

m

n

n′

6

умови

2

(2)

(0)

X

(1)

(0)

X

(2)

(0)

2

Теперψnç= 1 + λ

Cnn

ψn

+ λ m6=n Cmnψm

+ λ

m6=n Cmnψm .

äî

Z

2

ç òî÷íiñòþ

|ψn| dq = 1

другого наближення знаходимо

2

(2)

2

X X

(1)

ìà¹ìî

1 =

1 + λ

Cnn

+ λ

m=n m′=n Cmn Cm′nδm′m

Cnn(2)

величиною дiйсною,

або в цьому ж наближеннi, приймаючи

6

6

X

Звiдси остаточно

2Cnn(2) +

Cmn(1) Cmn(1)

= 0.

m6=n

(2)

1

Vmn

2

нiправкаприрiвню¹моЗвернiмосьдовласногодокоеCтретьогозначенiцi¹нти= íнаближенняприенея ð i¨. |В нашому. Íàñ| цiкавитиме.основномулишерiвнянпо-

nn

−2 m6=n En(0)

Em(0)

2

X

−

λ3:

(0)

(0)

(3)

(1)

(2)

(2)

(1)

(3)

(2)

394

Cn′n + En Cn′n + En δn′n = CmnVn′m.

(En − En′ )Cn′n + En

n′

= n

в правiй частинi цi¹¨

(1)

(1)

= Vnn

Cnn = 0 En

Покладемовидiляючи з урахуванням того, що частини,

òàê æ

рiвнос i члензнах

який скорочу¹тьс

з другим доданком з лiв ¨

mодимо:= n,

Пiдставляючи

(3)

X

(2)

сюди явнийE =

виглядC êîåV iöi¹íòà.

n

mn

nm

m

(m6=n)

(2)

одержу¹мо третю поправку до власного значенняCåíåðmn, остаточноi¨:

X X

−

k

−

n

m

k

(En(0)

E(0))(En(0)

Em(0))

(m6=n) (k6=n)

−

X

2

повиннiти зУмовисамихбутизастосостосовностiV

Vmn

.

|

|

óìîвиок. Поправктеорi¨ избуреньдо хвильдимоово¨жна побачиукцi¨-

виразiвм лимидля. Зпопрарозглянуто¨

E(0))2

−

nn

m

(E(0)

n

m

(m6=n)

(1)

глядi умову

En

òåîði¨|Cmnзбурень| 1 знахо

ÿâíîìó

Em

àáî

V

1

(0)

mn

(0)

.

енерсумовуваннямитиТакимвипадкумалиминульi¨.чином,Томуово¨вироджйдепорiвдляматричзадачiза|Vmn| En

− Em

(0)

(0)

-

ìè

åíèõвироiндекя.Кнiджено¨ðiелементисамивнiвзвiдстаннютого,.станiв,Справдi,задацяоператоратеорiярiзниммiжнеузнайдезаенерзбуреньрiзнистанамтичниминняихнезастосовнавиразахповиннiiнченняексарiвняпiдбу

Нагад ¹мо, що матричнi елементи кâàä ата координати гармонiч

îñöè-

ляторà ми вже розрахóâàëè ó Ÿ22. Âèêîðистовуючи ¨х тут, зразу зíогоах димо

p

2 Xnp

o

np

2

p

o

En(1)

= α

~

n′(n′ − 1) δ

n,n′−2

2mω

n

′

2

+

(

n′ + 1)(n′ + 2)δn,n′+2 + (2n′ + 1)δn,n′

×

n(n − 1)δn′,n−2 +

(n + 1)(n + 2)δn′,n+2 + (2n + 1)δn,n′

~

(n + 1)(n + 2) + n(n − 1) + (1 + 2n)

2

Отже, остаточно

ìà¹ìî

.

=

α

2mω

(1)

~

2

1

Бачимо, що при

великих

En

=значен6α íÿõ êâà òîân +ãîn +÷èñëà.

2mω

âiä x3

2

то, використовуючи вèðàç äëÿ

4

äîðiâíþ¹

нулевi (див. Ÿ22),

í ëüî ¨

задачi ця поправкнакладемоможе

бути бiльшою за рiзницю мiж рiвнямипоправку

n

орiярикладзбуреньдiагональн2.працю¹Наармонiлишенийдляосциляторнижнiхстанiмаси

(0)

En

2

â.

. Таким чином,

рення

m i частоти ω

çáó-

äî

V = β3x3 + β4x4. Îá÷ислити

äî åíåð i¨ n-ãî ðiâíÿ ç òî÷íiñòþ

Перша.

поправк

~2

(1)

3

4

|n ,

à îñêiëüêè

En

й=матричнийhn|V |ni = βелемент3hn|x |n + β4hn|x

2 ~

3 X∞

hn|x |ni з попереднього прикладу, ма¹мо

~

p

Внесок

En(1) = 3β4

2mω

(2n2 + 2n + 1).

операторi

2 да¹ також другий порядок теорi¨ збурень вiд кубiчного члена в

~

V :

En(2) = β32

X∞

|hn′|x3|ni|2

n′′=0

En(0) − En(0)′

(n

6=n)

β3

1

~ω

2mω

n′=0 (n − n′)