Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

(N 1)/2

рiвняння злiва на

Отже, пiсля множенняR(всьогоx) = x−

−

χ(x).

x(N −1)/2, ìà¹ìî:

~2

d

d

−

x(N −1)/2x−N +1

xN −1

x−(N −1)/2χ(x)

2m

dx

dx

~2

Або, обчислюючи

похiднi, отриму¹мо:

+ 2mx2

l(l + N −

2)χ(x) + U (x)χ(x) = Eχ(x).

h −

~2

d2

~2

(N − 1)(N − 3)

+

2m

dx2

8mx2

~2

çàóâàæó¹ìî, ùî

Êðiì òîãî,

+

2mx2

l(l + N − 2) + U (x)iχ(x) = Eχ(x).

(N − 1)(N − 3)

+ l(l + N

−

2) =

(N + 2l − 3)(N + 2l − 1)

4

4

=

N + 2l

−

3

N + 2l

−

3

+ 1 = l (l + 1)

2

2

де величину

l =

N + 2l − 3

= l +

N − 3

чназива¹мослом.Теперузагальненимпросторi:аточноаборадiальне2е ективнимрiвнянняорбiта2 äëьнимя квантовим

тривимiрномуб ра¹ вигляду, який ормально збiга¹тьс з

òèì,

ùîN -вимiрiвмималинау-

~2

d2

~2

спектрЦiкаво,

ùî

öÿ

àíàëîãiÿ

дозволя¹ знаходити енер етич ий

h − 2m dx2 +

2mx2 l (l

+ 1) + U (x) χ(x) = Eχ(x).

овогоезультатiосцилятора-

моделейормулатрьохшдлявихрiвнiвомiрiв.енерНаприклад,i¨ продовждляпростоення-

382

N âимiрнихдляпростору

En,l = ~ω(2n + l +

аналiтичного

3âîãî/2) замiноюосцилятораl

l переходить в енер iю N -вимiрного просторо-

→

вiдповiдно хвильоваE ó=êöiÿ~ω (2n + l + N/2) ,

En =

Ÿ41,

n,l

x−

(N

−

1)/2

Rn,l(r) дорiвнюватиперехдить в Rn,l (x) =

χn,l

(x)

N = 1

âiäöåí

ðîâà

åíåð iÿ

осцилятора.Длядíовимiрного випадку

l (l + 1) = (l − 1)l повинна

нулевi, òîáòî

lпривимiрного= армонiчного0 àáî l = . Ïðè l = 0 цейчерезпарнимирозв'язокхвильiдтворю¹овимèстаниункцiями,лiнiйно

Аналогiчноl = 1 з непз рнимиормули. Бора для енер i¨

En

водню з

писано¨

ç

радiальне квантовеелектронаисло,рiвнiато

−me /2~ (nr + l + 1)

l → l

åíåð

N

4

2

2

äà¹

атома водню:, замiна

етичнi

-

де, як звичайно,

En = −

2me4

,

~2(2n + N − 3)2

вимiрнйшлЧитатомîñятiчапросторувiдте,можливогощо, головнекулонiвськийнепорозумiнквантовезакчислоíя.вза¹модi¨У.виносцi¹

íàслiдкомсторЗастерiга¹.370

n = nr + l + 1

ïðî

U 1/xN −2. Тут ми говоримо

ього законом

N -вимiрному просторi з природним для

í iсну¹ зв'язанихU

1/x

N

−

2

N

≥

4

анiв. ,Зазначимо,коли,якужщозазначдля лося, для

кулонiвськи потенцiалом ¹

N = 1 природнiм

U = αx, α > 0 (íàãàäà¹ìî, ùî òóò

¨¨ кiнетичнó

2

ñòинкипозначення ,

енер(dr)iю, (тутдалi длязнахрадiально¨

оординатишвидкостiвжива¹моча

v = dr/dt

çàìiñòü

r

x),

mv2

mr˙2

mr2 NX−2 ˙2

jY−1

2

mr2

2

NY−2

2

2

=

+

θj

sin

θk +

ϕ˙

sin

θk ,

383

j=1

k=1

k=1

˙

âiä ÿêî¨ çà r˙, ϕ˙ , θj , j = 1, . . . , N −2 дають нам вiдповiднi узагальненi iмпульси:

2

NY−2

˙

jY−1

2

2

2

полiузагальненiде крапкамиpiмпульсиrпозначено= mr,˙ i знаходимоpïîõiäíiϕ = mrçàϕ˙ класичнучасомsin. Запису¹моθk , óíêöiþpj =кiнетичнуmrамiльтонаθj åíåðsinчастинкиθkiþ, черезв

k=1

k=1

U :

!

pr2

pϕ2

NY−2

1

NX−2

pj2

jY−1

1

Використа¹H =

ìî тепер+

рiвняннÿ àìiльтона+

. Îòæå,

+ U.

sin2

2m

2mr2

k=1

sin2 θk

j=1

2mr2

θk

k=1

Äàëi,

p˙ϕ = −

∂H

= 0, çâiäñè pϕ = const.

∂ϕ

а з iншого боку,p˙N −2 = −

∂H

=

−

∂

pϕ2

NY−2

1

,

∂θN −2

∂θN −2

2mr2

k=1 sin2 θk

!

N −2

NY−3

p˙N −2

=

∂θN

θN −2

=

∂θN

2 mr2

sin2 θ

−

NY−3

−

! k=1

k

∂

p2

1

Прирiвнюючи цi два вирàçè, äëÿ

N −2

.

=

∂θN −2

2mr2

k=1 sin2 θk

p˙

знаходимо, що

1

NY−3

1

d

2

pϕ2

Çâiäñè ìà¹ìî iíòå ðàë ðóõó

p

N −2

+

= 0.

2mr2

k=1

sin2 θ

k

−

2

N −2

2

pϕ2

2

LN −2 ≥ 0

з урахуванням якого óíêöiÿ амiльтона

pN −2 + sin2

θN −2

= LN

−2

= const,

p2

L2

NY−3

1

NX−3

pj2

jY−1

1

384

H =

r

+

N −2

+

+ U.

sin2 θk

sin2

2m

2mr2

k=1

j=1

2mr2

θk

k=1

Завдяки iнте

àëîâi

óõó

LN −2

ми виключили з ун цi¨ амiльто а кутову

оорди ату

Äàëi âèêθN −2

(N − 3)

θj

îòПовторюючиимали задачу вжпроцедуруз -ìà кутов ми змiнними

.

ористову¹мо наступне рiвняння амiльтона для

ñâié iíòå ðàë ðóõó.

öþ

p˙N −3, ÿêå äà¹

Lj2+1

(N −2) ðàçè, отриму¹мо, що

2

2

= const, j = 1, 2, . . . , N − 2,

причому

pj

+

= Lj

pr2

L2

Отже, акт чно ми виконалиE =ðîçäiлення+

çìiííèõ+ U.потрiбнозвели нашу задачу до

2m 2mr2

ельда. адiальна умова

димоих заурäà÷îõó.ванняммовкванстало¨уваннявеличиниБораЗомме

квантуванняодновимiрПерехозамiнити

N

i¨ (äèâ. Ïð

êëàä 3 äî Ÿ30,

якому замiсть νr = 1/2 да¹ намавитиакiрiвнi енер-

pϕ

ïiäñò

величину

L nr

íà (nr + 1/2)):

äå

E = −

,

2[L + ~(nr + 1/2)]2

åìà,

óìîânr квантування:= 0, 1, 2, . . . радiальне квантове число. Величину L знайдемо з кутових

Z2π

I

pϕ dϕ = 2π~nϕ,

pj dθj = 2π~ (nj + 1/2) ,

j = 1, 2, . . . N − 2,

nϕ

0

nj

= 0, 1, 2, . пр. . вiйшировеличильно¨с

= 0, 1, 2, . . .

умовикутовi квантовiту ченнядлячислаазимутальне.Цiмiркуваннямирiвнянквантпветребуютьчисло; пояснень. У

òèíi

pϕ

äî êâàçíà¹ìîтов го числа

nϕ

àäà¹ìîñò ëî¨

äîäà¹ìî

νϕ

I q

I q

нашому

вiдповiднiнае ¨¨знзалежнiсцiальнаграничнiко¨,вiдякумовиазимутально¨хвильовузŸ30,змiндикту¹ункцiю¨характер.Зок потенцi

випадкуенер ,i¨точ

широтнихгра чнi умови i,

òæå,

ϕ

íàê

ïåðiîäè÷

êöi¹þ

êóòiâ

νϕ = 0. Щодо залежностi хвиëüîâî¨ óíêöi¨ âiä

бачимо, що потеθj , òî

óò

ситуацiя iнша. З виразiв для

íòå ðàëiâ ðóõó

Lj

нер iя , тобто величи

2

чисельнихiтому,

1/ sin

θj

-

ùîäî

згiднозначеньтимивеличин

й висновками, якi ìè,

нагладкоюдили Ÿ30ун

j = 1Çâ, 2,жаючи. . . , N −íà2.òå, ùî

νj

вони дорiвнюють 1/2 для сiх значень

pϕ = const, з умови квантування ма¹мо pϕ = ~nϕ.

Iíòå ðàëè çà

I

θj в рештi умов квантування так ж беремо нескладно:

pj dθj

=

Lj2

− Lj2+1/ sin2

θj dθj = Lj+1

a2 − 1/ sin2 θj dθj

Z

π/2 q

25

I. О. Вакарчук= 4Lj+1

a2 − 1/ sin2 θj dθj ,

385

äå

повороту),рал:кут

виразуa = L(точкаj /Lj+1

ïîòðiáíèé iíòåZ p

sin θmin Z= Lj+1/Lj . Далi без коментарiв обчислю¹м

p

p

2

2

Z

a2 sin2 θ − 1

dθ =

apsin

θ − 1

dθ

sin θ

sin θ

a2 sin2 θ − 1

p a2 sin θ

Z

dθ

=

dθ −

sin θ

a2 sin2 θ − 1

a2 sin2 θ − 1

Тепер пiсля=пiдстановки−a arcsin a cosìåæI θ/iíòåa2 рування− 1 + arctgзнаходимо,cos θ/ ùîa2 sin2 θ − 1 .

Ïi ñóìó¹ìî

÷àñòLj −íèLjöü+1 ãî= ~ (nðàçój + 1çà/2) .

останнiй додаíок iз друго¨

торiяМинуль

îðáiòè ,

nϕ = 0

äå

N

2−

2

l = nϕ +

NX−2

L = квантовеl +

nj ,

ми ввели орбiтальне ~

число

j=1

Тепер, маючи величину

l = 0, 1, 2, . . . .

386

νr = 1/2, νθ

= 1/жливим,2 якi при nr = nϕ = nθ = 0

точно знаходимо:

L, поверта¹мось до ормули для енер i¨ й оста-

E = −

me4

n = Îòænr +å,l +вазiкласич1 = 1, 2, . . . квантуванняголовнеквантове число.

íå

i¨ електрона

класичнимиатомiоли-вимiрномуводню.Зробимовипаду зада¹уважпроблемиточííÿèé

стосовнорезульелектронатдлязврiвнiвно¨проблемамаятниково¨

N

ðîхзгляду,удитьиразiоскiлькирiзьдляядро,енерзащоi¨при¹немо

(дивявленнями.iПрикладуниклитак3 дотра¹кŸ30).

ли ¨¨никуп

знаме

вилуч

братирiвнюватидоувагинулевi,йсталi âеличинину

. Наспр вдi,

-

знаменникуnr = 0зника¹

ìà ïînϕсобi,мо якщодо

å åêòó

L, приводитьраломвтрати чисто квàöi¨íòîâ ãî

Х ча оператор ˆ

îäî-

ðзначпонентиухiвнюютьньлектрона,ν(çàíåθ =улевiвинятк1/2.

L

ому.уютьЦе означа¹,нульових),мiжактично,собоющоквазiкласичний¨хнiнелюктую¹акмосереньжжуть¹iнтеоквадратиматиплощина,рухдно¹руху,÷вжнiасноеякiйлюктупевнихднактрьовiдбува¹тьсяйоговимiрахласнихнек

стереьквiдомустрьграчастиполiерично¨ерахакт,чно¨кутiв.дляЯкщокипов'язанийчасти.проекцi¨,ункцi¨зробитиПричостки--

словами,залежераичайно.кулонiвзвано¨длямiрно¨тьШрединцiкавийвiльн

â

Шрединьснii,длязякаадзкирiвняннямтакчотирив

äèí

îòöåÂiäльсномуð),вореннярiима¹мознаступрiвняннняннячимо.лишепррiвнязображенрiвняннязазбiга¹рухщевелектронаправиломплощнiчасти

(муiмпутоперецiонаiзr, θ,задачеюϕ

θ = π/2

êó

ському полi. I шими

ÿ, ùî ðiâíÿ íÿ

Шредин ера

àò

воднювиявля¹тьсеквiвалентним кутовiй

уведе

будь-як го силового поля i, узагалi, будь-яких iзичних

части

для Лапласа

4-вимiрн му iмпульсному просторi без

конста

. Ñàìå

кулонiвський

потенцi

виявля¹ додатк

симетрiю, що п

томуджу¹ додатковий iнте рàë

óõó, i ÿê íàñëiäîê

ма¹ лонiвипадкове виродження енер етичних

ðiвнiв електронаову

атомi водню за орбiтальним квантовим числом.

æíà

Îòæå, ðóõ

в кулонiвському полi

ðóõ âiëüíî¨

в'язями, тобто як рух по с трактуватиерi 4-ви

ëèâ ñòü

об'¹днаонцепцi¨ня в цьому дусi всiх ундаментвза¹мо ьних вза¹мо й

якема,

просторi.частинкиТак геометризацiя

лонiвсько¨

äi¨

çàã

iй теорi¨ вiдносностi Айнштай

а iльбертвза¹мо. Мож-

мiрномуп люстрував

1921 роцi Т. Калуца. На дставi

гiпотези про

iä๠ê

геометризацi¨ будь-яких

äié, ÿê öå ¹, çî

ãî ïîëÿ

з альну теорiю

вiдносностi

òåîðiю електром гнi но

. Одне з яснень неспостережуваностi

ï'ÿòîãî

об'¹днавiру, йогосвеллао п кти iкацiя

àëi

àáè (ïî-

те, що наш Свiт це викривле ий 5-вимi ний простiр-час, вiдн

èìи масштабаìè, ùî ìè

à¹ìî

àòîìномум)

ядерному387з

ò25*

3 1/2

10−

33

рядку план

(~G/c )

масштпорiвняннi

Макiвсько¨ д вжиниспостерiгнадзвичайно

ðiâíÿõ.

îñòi

стору

íà àòè óíäà

Концепцiя баг

K

0

ìåç íà

(äèâ.

4 äî Ÿ3) ¹ íàòÿм .iнверсi¨ i

êîì íà áà-

î змiступ'ятудозволя¹.,Якщобратиза однудiюзамкненим,ункцi¹юоор

éíÿдиме атальнiйундаментакомупростiалiйатовимiр~осторгеометричног, наприклад

то хвильоваи,що ункцiяпо цiй оординатi ¹ пологiчно

S ïðè-

дичноюжнити зi стал ю.

отото

S

ПланкЦей

альнийψ ïерiоовинна бутиможнаперiо

Можливо,~.

що п рушення

живучого

CP -iнварiантностiурахуваннрозпадах дов

проблемаз

знiметься

п остору,цятобто

ãатовимiрнiстьомпакти iкованихнашîвимiрностейго

ê

L