Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

1

(rr)

Циклiчно переставляючи(rA) =âåêò(îðèr [pLâ ])ìiøàí+ α îìó.добутку, отрима¹мо

m

r

rA cos ϕ =

L2

äå êóò

+ αr,

m

çберiга¹ться й напрям вектора

A. Пiз iше Й. Бернуллi показав, що

372

A.

тобто

A2 =

2m

2m + r

+ α2,

A2 =

2L2

äå

H + α2,

Тепер рiвняння тра¹кторi¨A = r

äëÿ 2

ìi:

α < 0 запишемо в канонiчнiй ор-

äå ïàð ìåòð

r =

p

,

2

онаннядетПерейдемольнодопомiжнормул,розписуватитеперможливо,хдовправк асiантовомех.спонука¹ексц

ǫ = p1 + 2L

E/mα .

викладмо

p = L /m|α|

еннящочавiдповiда¹доопакèсамостiйногосу.верлiбровийМивеличинiне буде

Оператор,

чизнахпiвсуму:димо,симетр зуючи доданок iз

добутком

áåðóA-,

1

векториˆ

r

Нагзмiню¹моа¹мо,що,знакмiняючи.ˆÂåëè÷èмiсцямина ˆ

ó âåкторному добутку,

ìè

A =

2m [pˆ L]

−

[ Lpˆ] + α r .

випадку

A ¹ iнте ралом руху i квантовому

ˆ ˆ

ˆ ˆ

такi= 0. операторнi рiвностi:

Неважко переконатись, щоAHiснують− HA

Aˆ2 = α2 +

2

Lˆ2 + ~2 Hˆ ,

ˆ ˆ

2i~

ˆ ˆ

[AA] = −

m

LH,

373

ˆ ˆ

ˆ ˆ

Отже, оскiльки оператор(A L) = ( LA) = 0.

на компонентальнимвектора

ˆ

A комуту¹ з гамiльтонiаном, то кож

цiй. Однак

ˆ

ˆ

омпонентиAвема¹торазH спiльну систему власних ун-

äàòêомпонентамиˆ не випадкмутуютьвектра мiж собою, не

омутують вони ак дозволя¹жорбiт

A

ломвироджŸ17,.Цещоознаенняiснуча¹,вˆ

кувиродженнязгiдно iз загому.Цеполi¹ завердженням,альнимове,абоквстàíтовленимвимове,чи

йшлоснiвськ

L

собливiстюднево¨новогозадачiсаме.iнте,Бачимпрокуралакеî-

рухунiвськогщо цеядодатковеŸ41поля,приякевиробг

дженнявореннi iснуваннярозв'язкузумовлене ÿêiñíî

l

ÓâåäiìîA.

до розгляду оператор

для якого ма¹мо

Mˆ = −m Hˆ

Aˆ ,

2

−1/2

Н гадаймо так ж, що

ˆ

ˆ

ˆ

[MM] = i~ L.

îïåðàòîðiâ

ˆ

Далi введiмо такi оператори:[ L L] =

L.

ˆ

1

ˆ

ˆ

J =

2

( L

+ M),

1

¹ˆ

акими:моментуˆ

перестмаю авнiьвластиспiвâостiiдношенняˆ

кiлькостi руху, тобто

¨õíiÂîíè

S =

2

( L

− M).

ˆ ˆ

ˆ

[JJ] = i~ J,

Êðiì òîãî,

ˆ ˆ

ˆ

[SS] = i~ S.

374

ˆ ˆ

ˆ ˆ

( LM) = (M L) = 0,

ому компоненти оператора ˆ

ˆ

òóþòü. Äàëi

J з компонентами оператора S êîìó-

i перша операторна рiвнiстьˆ

2

ð ì่ ˆвигляд

2

2

A =òåïå−m M

H

або з урахуванням того, що

ˆ

2

ˆ

2

2

ˆ

2

2

0 = α +

L

+ M

+ ~

H

m

квадрат

1

За сво¨м означен ям,0 = α2 + m

4Jˆ2 + ~2

Hˆ .

2

ˆ

ì

ìå

ту кiлькостi руху

Jтонiаномдiагональнимийого

ˆ

2 комутують з гамiль

ункцiй,¹ тому запису¹моˆ . Îòæå,öþâîрiвнiстьни маютьу спiльнузображеннi,сис-

Jäòåмуобидвавласнихоператори

H

2

4~2j(j + 1) + ~2 E,

число

0 = α2 +

m

j = 0, 1/2, 1, 3/2, . . .. Перепишiмо цю рiвнiсть:

Уведiмо квантове числоE = −

mα2

1

.

2~2

(2j + 1)2

n = 2j + 1, яке набува¹ значення n =

1, 2, 3, . . .. Тепер

Ìè îòðè

али ормулу Бора,

mα2

−

2~2n2 .

En

=

-

ìØåòîð äцiинзнахзапропонуваверомджезнайшоня рiВâнiв.виразПаулi,енердляякий.i¨Цейелектроназаоператорнийдекiльквìiс(матяцiввод

переднюричний)в 1926Е.

α =

−Ze2

En.

375

-

говимiрнiстьнаслiдкiвикориспросторiвiлте

èõçâ'ÿçêó

iз -вимiрномуi побудови

лядамивимiрностi

оберненаâ

практичнвимiрiв

озгiрiв,рiзнимичимпроблемиñëдоомугу¹ераточного

ìдження

няннятсоiснуванняруð.i¨ВоМиŸського,збурень,44багатШрединвже.¹ надзвичайнокадiальненеодноразмпактивимiрностiобговореннямолиера алимдокладнiшерiвняннянескiнчеiкцiкавоюованихдляпарамторкалисьспостережуванихпросторiз ахШрединпiд

N

ïîëi

остору.

öè

лянемо рух частинки маси

Ó

'ÿçêó

2

Íàøå

2

поляга¹ в тому,

âимiрномустацiонарнепросторiврiвце янняальноШредин-симетричномуера

силовому

m â .NЗапишемо-

x1, . . . , xN ) i гiперс еричними ê -

ординатами для

радiус-вектор 2m + U

ψ(x) = E ψ(x),

pˆ2

äå

÷àñтинки

в дек ртових

координатах

x

=

потенцiальна, операторiя iмпульсу

,

(x1

, . . . , xN )

pˆ = (−i~∂/∂x1, . . . , − ~∂/∂xN )

âåêò

ðà

q

U =

U (x) завданнялежить

вiд модуля радiус-

ньзаписати

1

N

x =

рiвнянняx декчастинуартовимигiперс.+ . . . + x . ( еричних координатах видiл

тищобз

огоЗв'язокрадiальнуцемiж

N -вимiрiв ¹ таким6:

x

= x cos θ ,

= x sin θ

1 cos θ ,

= x sin θ1 sin θ2 cos θ3,

x3

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . ,

−

−

376ука,6 1974.Бейтмен,. А. Эрдейи. Высшие трансцендентные ункции. Т. II. М.: На-

−

1 = x sin θ1 . . . sin θN

2 cos ϕ,

xN

= x sin θ

. . . sin θ

sin ϕ,

x

N

1

N 2

обчисленíÿìè,

Напрямнiпричому xвектори≥ 0, 0 осей≤ θjгiперс≤ π, (ерично¨j = 1, .системи. . , N − координат2), 0 ≤ ϕ ≤ 2π.

∂x

, e2

=

∂x

æëèâî,

∂x

∂x

e1

=

. . .

eN

−

1 =

∂θ

, eN =

∂ϕ

¹ ортогональними∂x мiж собою:∂θ

N −2

1

ðпякихЦеонуючииму¹мо:

(eiej ) = 0

i 6= j.

-

åрсЗапишiмолегкдуосьеричнихвiдтруднощiвцюперевiритидекартовихпросту,потрiбнийкоординатах,.але,прямимикоординатдлямо користуючисьнаш до¨дляметибудьдекого-операторякихзвичайноющонуднуiншихнеЛапласа.ствправуОтжхемоюановлятье,виотпегi

2

N +1 ∂

N

1 ∂

1

де кутова

частина = x−

∂x x

−

+

θ,ϕ,

лапласiана

θ,ϕ

=

(sin θ1)−N +2

∂

(sin θ1)N −2

∂

∂θ1

∂θ1

+

(sin θ1)−2(sin θ2)−N +3

∂

(sin θ2)N −3

∂

∂θ2

∂θ2

+

(sin θ1 sin θ2)−2(sin θ3)−N +4

∂

(sin θ3)N −4

∂

∂θ3

∂θ3

+

. . . + (sin θ1 . . . sin θN −3)−2(sin θN −2)−1

∂

∂

)−

2

∂2

òóò

äëÿ

ñкорочеííÿsin θ запису

введено+ (sin θ

. . . sin θ

,

× ∂θN −2

N −2 ∂θN −2

1

N −2

∂ϕ2

θ

≡

(θ

,Теперθ , . . . ,рiвнянняθ ). Шредин ера одержу¹мо в такому виглядi:

1

2

N −2

−

~2

∂

∂

~2

θ,ϕ + U (x) ψ(x) = E ψ(x).377

x−N +1

xN −1

−

2m

∂x

∂x

2mx2

Бачимо, що як i в тривимiрному просторi, воно дозволя¹ роздiли-

òè çìiííi:

íàäå R(x) радiальна складова хвильово¨ óíêöi¨,називаютькутова ч сти

ψ(x) = R(x)Y θ, ϕ)

-

саультрасY (θ, ϕ)еричною¹серичноюгармонiкою),гармонiкоющозадовольня¹(якучасто рiвняння Лаплат кож

2

l

Звiдси, використовуючи наведений(x Y (θ, ϕ))âèùå= 0. вираз для оператора

ìà¹ìî, ùî

2,

àáî

Y (θ, ϕ)x−N +1

d

xN −1

d

xl +

1

xl θ,ϕY (θ, ϕ) = 0,

dx

dx

x2

простору

змiннiзначенняи. Отже,,лапласiанатодлямиприхункцiюзвичайнихпокдимоазу¹,дощосвжеричнихiцезнарiв

нянняйомогоункцiйЯвндозволя¹рiвняння.йвиглядроздiлитикутово¨навласнiчастиN = 3

¹ìî

виглядi добутку ункцiй:

Y (θ, ϕ) запису-

e±imN −2 ϕ

Yl,m(θ, ϕ) =

√

2π

N −3

Y

Cmj −mj+1

j=0

ë

ν

степеня полiн ми

€е енбауеразадовольняютьабоутрас еричнi по-

íîìèC (cos θj )

n

n

îрядку ν, прич му

цiлi числа m0

= l,

m1, m2

, . . . , mN −2

òàêi, ùî

l ≥ m1

≥ m2 ≥ . . . ≥ mN −2 ≥

,

0 Aj

рiвняннясталi нормування. Цi п лiноми

ди еренцiальне

378(1 − t2)y′′ − (2ν + 1)ty′ + n(n + 2ν)y = 0,

y = y(t) ≡ Cnν (t);