Часть 1. Расчёт электрического поля в пространстве между электродами сферического конденсатора без объёмного заряда.

1.1. Расчёт потенциала и напряжённости поля в конденсаторе.

					, кВ
0,02	0,06	0,03			10

Дано:

Решение:

Область расчёта электрического поля конденсатора представляет собой пространство между его электродами и состоит из двух подобластей: 1 – внутренний слой диэлектрика и 2 – внешний слой. Согласно условию задачи, во внешнем и внутреннем слое диэлектрика объёмный заряд отсутствует, и распределение потенциала находится с помощью уравнения Лапласа. Принимая во внимание условие, что поле конденсатора изменяется вдоль координаты, перпендикулярной поверхности электродов (координаты r) выбираем сферическую систему координат для записи уравнения:

Вследствие сферической симметрии системы производные по 𝜑 и 𝜃 равны нулю, тогда уравнение Лапласа приобретает вид:

Рассмотрим зависимость потенциала от радиуса сферы.

Вследствие наличия между обкладками двухслойного диэлектрика необходимо рассмотреть два случая.

При ≤ r ≤ :

При ≤ r ≤ аналогично после двукратного интегрирования уравнения Лапласа по переменной r получаем аналогичную функцию:

Где С₁, С₂, С₃, С₄ постоянные интегрирования, которые необходимо найти.

При этом, используя формулу

находим распределение напряжённости электрического поля:

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся граничными условиями:

1. При r= потенциал равен U= , тогда:

2. При r= потенциал равен U=0, тогда:

3. При r= на границе раздела двух диэлектриков нормальные составляющие вектора электрического смещения равны, тогда: D_1n=D_2n→

4. При r= на границе раздела двух диэлектриков потенциалы и равны, тогда:

Запишем систему уравнений для нахождения постоянных:

Подставим численные значения:

·м;

;

·м;

Таким образом, выражения распределения потенциала и напряжённости электростатического поля между электродами сферического конденсатора будет иметь вид:

Максимальное по модулю значение напряженности поля конденсатора достигается при : |E_max|=533300 В/м.

1.2. Определение радиуса границы раздела r12, при котором напряжение делится поровну между слоями.

Так как на границе раздела диэлектриков должно выполняться условие равенства потенциалов, следовательно составим уравнение:

Подставляя выражения для постоянных интегрирования, полученные в пп 1.1 получаем:

В результате получим

Подставим численные значения:

;

;

;

Таким образом, выражения распределения потенциала и напряжённости электростатического поля между электродами сферического конденсатора будет иметь вид:

Для определения поверхностной плотности заряда на электродах, воспользуемся формулами (1) и (2), которые представлены в пп1.3:

Для определения заряда на электродах, воспользуемся формулами (3) и (4), которые представлены в пп1.3:

Суммарный заряд конденсатора равен сумме зарядов на обкладках конденсатора:

Максимальное по модулю значение напряженности поля конденсатора достигается при : |E_max|=468800 В/м.