Линадз1

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

К алужский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

(Национальный Исследовательский Университет)»

(КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)

ФАКУЛЬТЕТ	М-КФ «Машиностроительный»
КАФЕДРА	М10-КФ «Высшая математика»

ДОМАШНЯЯ РАБОТА №1

«____________________________________»

ДИСЦИПЛИНА:	"Линейная алгебра и ФНП"

Выполнил: студент гр.	_______________(Прудников А.Ф.) Подпись Ф.И.О.
Проверил:	_______________(Емельянов Л.А.) Подпись Ф.И.О.

Дата сдачи (защиты):
Результаты сдачи (защиты): -Балльная оценка -Оценка

Калуга, 2020 г.

Вариант №21

Задание №1

Решить систему методом наименьших квадратов. Найти сумму квадратов невязок.

Решение:

Разберем данную неоднородную СЛАУ на три матрицы:

Приведем запись данной нСЛАУ в форме матричного уравнения:

AX=B

Домножим получившееся уравнение на и выразим матрицу X:

Найдем матрицу :

Теперь найдём обратную матрицу :

Найдём матрицу :

Зная и , найдём матрицу :

Из получившейся матрицы мы видим, что х=2, а у=-3. Теперь найдём невязки, а затем найдём квадрат суммы невязок Δ:

Задание №2

Решить выражение двумя способами и найти , при .

Решение:

1. Решим уравнение классическим методом :

;

;

2. Теперь решим методом приведения к диагональному виду:

Решим характеристическое уравнение:

;

Получившиеся корни:

Матрицу А приведем к вертикальной матрице .

1. Найдём собственный вектор, если :

Составим систему:

– первый собственный вектор

2. Найдём собственный вектор, если :

Составим систему:

– второй собственный вектор.

3. – матрица перехода из собственных векторов

4. Найдём обратную матрицу матрице С:

5. 

;

3. Чтобы найти воспользуемся следующей формулой:

   1. ;

.

Задание №3

Приведите квадратичную форму к каноническому виду. Укажите базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Решение:

1. 1. Матрица квадратичной формы в исходном ортонормированном базисе имеет вид:

2. Найдем собственные значения матрицы A. Для этого решим характеристическое уравнение: .

Вычисляя определитель получаем уравнение .

Попробуем найти корень среди делителей свободного члена -2. Проверяем на корни делители:-1, 1, 2, -2. Подставляя в уравнение , убеждаемся, что это корни.

Из этого следует, что в новом ортонормированном базисе из собственных векторов матрица квадратичной формы примет вид . Следовательно, в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид:

2. 1. 

Решим систему:

Ранг матрицы равен 2

В качестве базисного минора берем 1-й и 2-й столбцы. Переменные , - главные, -свободная.

Пусть равно c. Выпишем систему:

Тогда получаем решение этой системы . Это множество всех собственных векторов для .

В качестве собственного вектора берем , при с=1.

Нормируем этот вектор:

.

Получили первый вектор ортонормированного базиса .

2. 

Решим систему:

Ранг матрицы равен 2.

В качестве базисного минора берем 1-й и 2-й столбцы.

Переменные и – главные, – свободная.

Пусть равно с. Выпишем систему:

Тогда получаем решение этой системы . Это множество всех собственных векторов для .

В качестве собственного вектора берем , при с=1.

Нормируем этот вектор:

.

Получили второй вектор ортонормированного базиса .

3. 

Решим систему:

;

;

Ранг матрицы равен 2.

В качестве базисного минора берем 1-й и 2-й столбцы.

Переменные и – главные, – свободная.

Пусть равно с. Выпишем систему:

Тогда получаем решение этой системы . Это множество всех собственных векторов для .

В качестве собственного вектора берем вектор , при с=1.

Нормируем этот вектор:

– получили третий вектор ортонормированного базиса .

Задание №4

Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Изобразите осевой прямоугольник и саму кривую

Решение:

Запишем матрицу квадратичной части кривой .

Методом ортогонального преобразования приведем квадратичную форму к каноническому виду.

1. Найдём собственные значения матрицы А: для этого решим характеристическое уравнение . Получаем корни и .

матрица квадратичной формы базиса f

2. Найдём собственные векторы.

   1. Если , то

;

– первый собственный вектор.

Сразу нормируем этот вектор:

– первый вектор ортонормированного базиса.

2. Если , то

;

– второй собственный вектор.

Нормируем этот вектор:

– второй вектор ортонормированного базиса.

Получили ортонормированный базис , в котором квадратичная форма имеет канонический вид .

Запишем матрицу ортогонального преобразования координат. Эта матрица связывает старые координаты с новыми по закону , или

Изменение базиса привело к линейной замене переменных:

;

;

– уравнение гиперболы

Задание №3

Приведите квадратичную форму к каноническому виду. Укажите базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Решение:

3. 1. Матрица квадратичной формы в исходном ортонормированном базисе имеет вид:

2. Найдем собственные значения матрицы A. Для этого решим характеристическое уравнение: .

Вычисляя определитель получаем уравнение .

Попробуем найти корень среди делителей свободного члена -2. Проверяем на корни делители:-1, 1, 2, -2, 4, -4, 8, -8, 16, -16, 32, -32. Подставляя в уравнение , убеждаемся, что это корни.

Из этого следует, что в новом ортонормированном базисе из собственных векторов матрица квадратичной формы примет вид . Следовательно, в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид:

Решим систему:

Ранг матрицы равен 2

В качестве базисного минора берем 1-й и 2-й столбцы. Переменные , - главные, -свободная.

Пусть равно c. Выпишем систему:

Тогда получаем решение этой системы . Это множество всех собственных векторов для .

В качестве собственного вектора берем , при с=1.

Нормируем этот вектор:

.

Получили первый вектор ортонормированного базиса .

2. 

Решим систему:

Ранг матрицы равен 2.

В качестве базисного минора берем 1-й и 2-й столбцы.

Переменные и – главные, – свободная.

Пусть равно с. Выпишем систему:

Тогда получаем решение этой системы . Это множество всех собственных векторов для .

В качестве собственного вектора берем , при с=1.

Нормируем этот вектор:

.

Получили второй вектор ортонормированного базиса .

3. 

Решим систему:

;

;

Ранг матрицы равен 2.

В качестве базисного минора берем 1-й и 2-й столбцы.

Переменные и – главные, – свободная.

Пусть равно с. Выпишем систему:

Тогда получаем решение этой системы . Это множество всех собственных векторов для .

В качестве собственного вектора берем вектор , при с=1.

Нормируем этот вектор:

– получили третий вектор ортонормированного базиса .

Задание №4

Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Изобразите осевой прямоугольник и саму кривую

Решение:

Запишем матрицу квадратичной части кривой .

Методом ортогонального преобразования приведем квадратичную форму к каноническому виду.

3. Найдём собственные значения матрицы А: для этого решим характеристическое уравнение . Получаем корни и .

матрица квадратичной формы базиса f

4. Найдём собственные векторы.

   1. Если , то

;

– первый собственный вектор.

Сразу нормируем этот вектор:

– первый вектор ортонормированного базиса.

2. Если , то

;

– второй собственный вектор.

Нормируем этот вектор:

– второй вектор ортонормированного базиса.

Получили ортонормированный базис , в котором квадратичная форма имеет канонический вид .

Запишем матрицу ортогонального преобразования координат. Эта матрица связывает старые координаты с новыми по закону , или

Изменение базиса привело к линейной замене переменных:

;

;

– уравнение гиперболы