Линадз2

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

К алужский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

(Национальный Исследовательский Университет)»

(КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)

ФАКУЛЬТЕТ	М-КФ «Машиностроительный»
КАФЕДРА	М10-КФ «Высшая математика»

ДОМАШНЯЯ РАБОТА №2

«Функции нескольких перемненных»

ДИСЦИПЛИНА:	"Линейная алгебра и ФНП"

Выполнил: студент гр.РПД.Б.-21	_______________(Прудников А.Ф.) Подпись Ф.И.О.
Проверил:	_______________(Емельянов Л.А.) Подпись Ф.И.О.

Дата сдачи (защиты):
Результаты сдачи (защиты): -Балльная оценка -Оценка

Калуга, 2020 г.

Задание №1

Найти область определения функции и изобразить ее на чертеже .

Задание №2

Вычислить приближенно .

;

;

;

;

;

Задание №3

Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция Z

Найдём производные функции z:

Подставим получившиеся значения в диффуравнение:

- верно, значит функция подходит

Задание №4

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке М₀(x₀,y₀,z₀).

Т.к. у нас уравнение не выраженное, то уравнение касательной плоскости и уравнение нормали в точке будут соответственно следующими:

Сначала найдём производные по переменным в этой точке.

Теперь воспользовавшись формулами подставим получившиеся значения в них:

– уравнение касательной плоскости в точке .

- уравнение нормали в точке .

Задание №5

Найти производную функции U=f(x,y,z) в точке по направлению вектора

Производная в точке по направлению находится по следующей формуле:

.

Сначала найдём производные по переменным:

Теперь найдём направляющие косинусы по формулам , , . Для этого найдём длину вектора :

.

Теперь подставим в уравнения:

Подставим все имеющиеся значения в начальную формулу и найдём ответ:

Задание №5

Исследовать на экстремум функцию .

Решение:

Находим частные производные первого порядка:

Критические точки находятся из системы:

Решением системы является точка

Находим частные производные второго порядка и составим дискриминант .

Находим значение дискриминанта в точке:

и , следовательно в точке функция имеет минимум, .

Задание №7

Найти экстремум функции

Найдём частные производные функции:

Составим и решим систему уравнений:

Отсюда

Теперь найдём частные производные второго порядка:

Подставим в каждое значение точки :

И найдём дискриминант – точка перегиба.

Задание №6

Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=z(x,y) в области D, ограниченной заданными линиями

D: x=0, x=1, y=2, y=6

Исследуем функцию на локальный экстремум и найдём частные производные и

Составим и решим систему уравнений:

–решение системы уравнений.

Найдём частные производные второго порядка: и составим дискриминант . Следовательно, в точке экстремума нет.

На границе области функция примет следующий вид , при этом . Исследуем функцию на экстремум. Найдём производную откуда точка и значение функции в ней .

На границе области функция примет следующий вид , при этом . Исследуем функцию на экстремум. Найдём производную откуда точка и значение функции в ней .

На границе области функция примет следующий вид , при этом . Исследуем функцию на экстремум. Найдём производную откуда точка и значения функции в ней .

На границе области функция примет следующий вид , при этом Исследуем функцию на экстремум. Найдём производную откуда точка и значение функции в ней .

Будем иметь в точке и в точке .