1. Графы. Основные определения. Соотношения между количеством ребер и количеством вершин.

G=(V, E, I),

G – граф,

V – порядок (число вершин);

E – размер графа (число рёбер).

W – вес графа, символ(цифра) на ребре, записывается по порядку вершин

Степень вершины – количество рёбер выходящих их вершины

Простой граф - только одно ребро между вершинами и без петель. Проверяйте кол-во вершин степени вершины (невозможно при 4 вершинах иметь степень вершины больше 3-х)

входящая степень вершины 2 = 1, исходящая степень = 2

Простой граф – не имеет петель, а также если он не имеет рёбер с одинаковой упорядоченной парой вершин.

простой граф

Смежность вершин для неориентированного – вершина Y смежна с вершиной X, если в графе существует ребро соединяющее вершину Y с вершиной X.

Смежность вершин для ориентированного – вершина Y смежна с вершиной X, если в ориентированном графе существует ребро исходящее из вершины Х и входящее в вершину Y.

вершина Y смежная, Х несменная

матрица смежности

	1	2
1
2

Ориентирований граф матрица смежности, из 1 в 2

список смежности

турнир

Ответ:

Полный граф – каждая вершина соеденена с каждой вершиной

Однородный граф – это граф, степени всех вершин которого

равны.

2. Изоморфизм графов. Примеры.

кол-во неориентированных простых графов

кол-во ориентированных простых графов

Изоморфизм простых графов – графы G1 и G2 изоморфны если существует отображение ФИ из множества вершин V1 в V2 которые являются взаимно однозначными и сохраняют отношение смежности (в графе G1 имеется ребро х y = Е(число рёбер) принадлежащие множеству рёбер графа G1 тогда в графе G2 обязано быть ребро фи от х и фи от у, они должны принадлежать множеству рёбер графа G2 и наоборот)

графы G1 и G2 изоморфны

3. Пути, цепи, циклы.

маршрут

путь (цепь) – рёбра не могут повторяться

простой путь – рёбра и вершины не могут повторяться

Элементарная дуга – это цепь, в которой каждая вершина встречается только один раз

В простом графе можно описывать путь только вершинами

Замкнутый маршрут – в котором начальные и конечные вершины совпадают

Замкнутый путь – ребра не повторяются

Цикл – маршрут у которого начальные и конечные вершины совпадают и рёбра, и вершины не повторяются.

Обхват – длина минимального цикла, если в графе циклов нет – обхват = бесконечности

Обхват графа больше 3 – граф свободный от треугольников

Изолированная вершина циклом не является

4. Связность графов.

Связные вершины – если вершины соединены хотя бы одним путём

2 и 4 связаны, 1 и 7 не связаны

Если вершина 1 связана с вершиной 2, вершина 2 связана с 3, то 1 связан с 3

Связный граф – Это означает, что между любой парой вершин этого графа существует как минимум один путь. если все вершины попарно связаны между собой, впротивном случае граф не связный

Пусть G есть граф, построенный на вершинах 1,2…,15, в котором вершины ii и jj смежны тогда и только тогда, когда их наибольший общий делитель больше единицы. Сколько компонент связности имеет такой граф?

Компонента связности –

Связанный ориентированный граф – если существует путь из вершины Х в Y, так из Y в Х.

1 и 4 сазаны между собой путь из 1 в 4 =124 путь из 4 в 1 = 41, вершины 1 и 3 не связаны

компоненты сильной связности

Сильно связанный граф – Если граф состоит из единственной такой компоненты

Какое максимальное количество ребер может быть в простом слабо связном ориентированном графе на 10 вершинах, не являющимся сильно связным? Ответ: Каждая вершина из десяти должна соединяться с 9 другими. Но она не может соединяться сама с собой, поэтому мы умножаем 9 не на 10 (по количеству вершин), а так как она соединяется со всеми, кроме себя (простой граф), на девять. 9*9 = 81

Вершинная связность:

Вершинное разделяющие множество (вершинный разрез) – множество вершин после удаление которых граф разваливается на несвязные компоненты.

Вершинная связность – минимальное кол-во вершин которое мы должны удалить в графе для того чтобы граф распался на компоненты связности или чтобы граф стал содержать единственную вершину.

связность графов

Вершино k связный граф – если граф построен на вершине и при удалении любых вершин в количестве меньше k, граф остаётся связным

Вершинная связность – граф G имеет вершинную связность = k если этот граф является ещё вершино k связным, однако вершино k+1 уже не является

Реберная связность – размер минимального рёберно разделяющего множества для этого графа, тоесть какое минимальное число ребер нужно удалить чтобы граф распался на 2 компоненты связности

реберная связность

Мост – ребро удаление которого приводит к разделению на 2 компоненты связности

Чтобы найти мост нужно поочерёдно удалять одно ребро, до поиска 2ух компонентов связности

Реберно k связный граф – если удаление любых ребер такого графа в количестве меньше чем k не приведёт к потере связности этого графа

Реберная связность графа – максимально возможное значение k, что граф ещё является реберно k связным, но реберно k+1 связным уже не является.

Точкой сочленения называется вершина графа, при удалении которой количество компонент связности возрастает. Для обозначения этого понятия также используются термины «разделяющая вершина» и «шарнир».

Разрез графа – это минимальное количество ребер, которые необходимо удалить, чтобы граф перестал быть связным.