ГУАП

КАФЕДРА № 41

ОТЧЕТ ЗАЩИЩЕН С ОЦЕНКОЙ

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

старший преподаватель				Н.Н. Григорьева
должность, уч. степень, звание		подпись, дата		инициалы, фамилия

ОТЧЕТ ОБ ИНДИВУДУАЛЬНОЙ РАБОТЕ

Решение задач целочисленного программирования

по курсу: Исследование операций

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛА

СТУДЕНТКА ГР. №	4716				С.А. Янышева
			подпись, дата		инициалы, фамилия

Санкт-Петербург

2020

Оглавление

Решение задач целочисленного программирования 1

по курсу: Исследование операций 1

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ 3

2. ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ 3

3. ХОД РАБОТЫ 3

ВЫВОД 8

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ 3

2. ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ 3

3. ХОД РАБОТЫ 3

ВЫВОД 8

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью данной работы является получение навыка решения задач целочисленного программирования методом ветвей и границ с использованием симплекс-метода или графически.

2. ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ

Вариант 1.

x ₁+2x₂ ≤ 11

2x₁–x₂ ≥ 5

x₁+3x₂ ≥ 14

F = x₁+3x₂ → max

3. Х ОД РАБОТЫ

   1. Блок-схема алгоритма решения задачи ЛЦП

2. Аналитическое решение задачи

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами. Результат работы представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 – Область допустимых значений

Рассмотрим целевую функцию задачи F = x₁+3x₂ → max. Построим прямую, отвечающую значению функции F = x₁+3x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией (рисунок 2).

Прямая F = const пересекает область в точке пересечения прямых x₁+2x₂=11 и 2x₁-x₂=5, то ее координаты удовлетворяют этим уравнениям.

Рисунок 2 – Построение целевой функции

x ₁+2x₂ = 11

2x₁–x₂ = 5

x ₁ = 4.2

x₂ = 3.4

F = 1*4.2 + 3*3.4 = 14.4

Оптимальное значение переменной x₁=4.2 оказалось нецелочисленным. Разбиваем задачу на две подзадачи 1 и 2.

1. Добавляется условие х₁ ≥ 5, результат продемонстрирован на рисунке 3.

Рисунок 3 – Добавление нового условия

Решим систему уравнений:

x ₁+2x₂≤11

2x₁-x₂≥5

x₁+3x₂≥14

x₁≥5

x₁ ≥ 0

x₂ ≥ 0

x ₁+2x₂=11

x₁+3x₂=14

x ₁ = 5

x₂ = 3

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F = 1*5 + 3*3 = 14

Решение задачи получилось целочисленным, запомним его.

2. Добавляется условие х₁ ≤ 4, результат продемонстрирован на рисунке 4.

Рисунок 4 – Добавление нового условия

Задача не имеет допустимых решений. ОДР представляет собой пустое множество

Оптимальное значение переменной x₂=3.4 оказалось нецелочисленным. Разбиваем задачу на две подзадачи 1 и 2.

1. Добавляется условие х₂ ≥ 4, результат продемонстрирован на рисунке 5.

Рисунок 5 – Добавление нового условия

Задача не имеет допустимых решений. ОДР представляет собой пустое множество.

2. Добавляется условие х₂ ≤ 3, результат продемонстрирован на рисунке 6.

Рисунок 6 – Добавление нового условия

x ₁+2x₂≤11

2x₁-x₂≥5

x₁+3x₂≥14

x₂≤3

x₁ ≥ 0

x₂ ≥ 0

x ₁+2x₂=11

x₁+3x₂=14

x ₁ = 5

x₂ = 3

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F = 1*5 + 3*3 = 14

Решение задачи получилось целочисленным, запомним его.

В ходе решения задачи мы получили 2 одинаковых решения: x₁ = 5, x₂ = 3, F = 14.

3. Проверка решения в excel

Был создан файл excel с условиями и целевой функцией., В строке C3 формула =СУММПРОИЗВ(A2:B2;A3:B3) (сумма значений произведения соответствующих ячеек), в строке C4 формула =СУММПРОИЗВ(A2:B2;A4:B4) и в строке C5 формула =СУММПРОИЗВ(A2:B2;A5:B5). В строке целевой функции написана формула: =СУММПРОИЗВ(A2:B2;A7:B7) Для решения данной задачи был использован метод «Поиск решений». Все данные были введены и представлены на рисунке 7. Далее был произведен поиск решения, появившееся окно на рисунке 8 информирует о том, что решение было найдено, оно также представлено на рисунке 8. В желтых ячейках представлено максимально возможное значение решения данной задачи.

Рисунок 7 – Параметры поиска решения

Рисунок 8 – Результаты поиска решения

ВЫВОД

Был получен навык решения задач целочисленного программирования методом ветвей и границ с использованием симплекс-метода или графически. Решение было проверено c помощью Excel. Результаты решений каждым методом получились одинаковыми, следовательно, все подсчитано правильно.