Свойства

Симметричную билинейную форму A(x,y), называют полярной квадратичной форме A(x,x). Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной.

Квадратичная форма A(x,x) называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
- Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
- Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Квадратичная форма A(x,x) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Квадратичная форма A(x,x) называется квазизнакоопределённой (полуопределенной), если , но форма не является знакоопределённой.

Для определения того, к какому из этих трёх типов относится квадратичная форма, можно воспользоваться критерием Сильвестра.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид: A(x,x) = λ_i(xⁱ)². Для приведения квадратичной формы к каноническому виду используется метод Лагранжа.

Приведение квадратичных форм к каноническому виду

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .
Это симметрическое преобразование можно записать в виде:
y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂
y₂ = a₁₂x₁ + a₂₂x₂
где у₁ и у₂ – координаты вектора в базисе .
Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде
Ф(х₁, х₂) = х₁у₁ + х₂у₂.
Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х₁ их₂ – скалярное произведение .
Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.
Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

классификация квадратичных форм

Определение. Квадратичной формой отn неизвестных называется многочлен от n переменных второй степени, не содержащий членов первой степени и свободного члена
причем  ().
Замечание. С учетом условия  () квадратичную форму обычно записывают в виде:
.
Из коэффициентов можно составить квадратную матрицуn-го порядка
,
которая называется матрицей квадратичной формы f, а ее ранг r называется рангом квадратичной формы f.
Если , т.е. матрицаA невырождена (), то и квадратичная формаf называется невырожденной.
Из условия  () следует, что, т.е. матрицаA – симметрическая.
Обратно, для любой симметрической матрицы A n-го порядка можно указать вполне определенную квадратичную форму f от n неизвестных, имеющую элементы матрицы A своими коэффициентами.
Пример 1. Составить матрицу A квадратичной формы от трех неизвестных