1 Матрицы. Действия с матрицами

Матрица - множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m-строк и n-столбцов. Для обозначения матрицы используется надпись:

aij, I - номер строки, j - номер столбца.

Элементы матрицы, стоящие на диагонали, идущие из верхнего левого угла называют главной диагональю, другую диагональ называют побочной.

Если количество строк m матрицы не равно количеству столбцов n, то матрица называется прямоугольной

Если количество столбцов матрицы совпадают с количеством строк, то матрица называется квадратной

Количество строк или столбцов в квадратной матрице называются ее порядкомЕсли все элементы квадратной матрицы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной

Если все числа главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной

Свойства матриц:

• A + (B + C) = (A + B) + C

• A + B = B + A

• A(BC) = (AB) C

• A (B + C) = AB + AC

• (B + C) A = BA + CA

• (AT) T = A

(A * B) T = BT * AT

1. Сложение матриц

Матрицы одинакового размера можно складывать.

Суммой двух таких матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Символически будем записывать так: А+В=С.

Пример.

1. Вычитание матриц.

Разностью двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С, такая, что

С+В=А

Из этого определения следует, что элементы матрицы С равны разности соответствующих элементов матриц А и В.

Обозначается разность матриц А и В так: С=А – В.

Пример.

Умножение матриц

Рассмотрим правило умножения двух квадратных матриц второго порядка.

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С=АВ.

Правила умножения прямоугольных матриц:

• Умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк в матрице В.

В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк было в первой матрице и столько столбцов, сколько столбцов было во второй матрице.

Умножение матрицы на число

При умножении матрицы A на число  все числа, составляющие матрицу A, умножаются на число . Например, умножим матрицу на число 2. Получим

т.е. при умножении матрицы на число множитель «вносится» под знак матрицы.

5. Транспонирование матрицы

Транспонированная матрица – матрица A^Т, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n – матрица A^T размеров n*m, определённая как A^T[i, j] = A [j, i].

Например,

Свойства транспонированных матриц

1. (A^T)^T = A

2. (A + B)^T = A^T + B^T

3. (AB)^T = B^TA^T

4. detA = detA^T

3 Определитель Квадратной матрицы. Свойства.

Определителем квадратной матрицы (det A) называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

где М1k - определитель матрицы (детерминант), полученной из исходной матрицы вычеркиванием первой строки и k - oго столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Первая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя матрицы по первому столбцу:

Вообще говоря, определитель матрицы может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители. Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число М1k называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Свойство 1. Определитель квадратной матрицы не изменяется при её транспонировании:

Доказательство свойства 1 для квадратных матриц 2 и 3 порядков проводится по единой схеме. Приведём доказательство для квадратной матрицы 2-го порядка. Непосредственная проверка доказывает данное свойство.

Свойство 2. Если одна из строк (столбцов) матрицы целиком состоит из нулей, то её <#146#>определитель] равен нулю.

Свойство 2 непосредственно вытекает из определения определителя.

Свойство 3. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак.

Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.

Свойство 5. Если каждый элемент i-й строки (столбца) матрицы A представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель такой матрицы равен , где элементы матриц B и C, за исключением элементов i-й строки (столбца), совпадают с соответствующими элементами матрицы A. A в i-х строках (столбцах) матриц B и C стоят упомянутые первые и вторые слагаемые соответственно.

Отметим некоторые следствия, непосредственно вытекающие из перечисленных 5 основных свойств определителя.