5 Теоремы Крамера. Формулы Крамера.

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = Di/D, где

D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi. Di =

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

7 Матричные уравнения: АХ=В и ХА=В

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу Х из уравнения АХ = В, необходимо умножить это уравнение на А-1 слева и справа.

Тогда:

9 Линейное векторное пространство, аксиомы. Пространства Сn и Rn

Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство, является обобщением понятия совокупности всех векторов 3-мерного пространства. Линейные пространства — основной объект изучения линейной алгебры.

I. Имеется правило, посредством которого любым двум элемен-

там x,y множества V ставится в соответствие третий элемент этого

множества., называемый суммой элементов х и у и обозначаемый

символом z = x+y

II. Имеется правило, посредством которого любому элементу х

множества V и любому элементу λ ∈K ставится в соответствие

элемент и этого множества, называемый произведением элемента х

на элемент λ и обозначаемый символом и = λ x .

III. Указанные два правила подчинены следующим восьми акси-

омам :

1. x + y = y + x (коммутативность)

2. (x + y) + z = x + ( y + z) (ассоциативность)

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что x + 0 = 0 + x = x (для

любого х)

4. Для каждого элемента х существует противоположный эле-

мент х'∈V такой, что х + х' = 0

5. 1⋅ x = x , где 1 – еденица поля

6. λ ⋅ (μ x) = (λμ ) ⋅ x, λ ,μ ∈K .

7. (λ +μ )x = λ x +μ x, λ ,μ ∈K.

8. λ (x + y) = λ x +λ y, λ ∈K .

11. Размерность пространства. Базис. Разложение вектора по базису

Определение. Векторназывается линейной комбинацией векторов

векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

где– какие угодно действительные числа.

Ба́зис — набор n векторов в n-мерном линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их линейной комбинации, при этом ни один из базисных векторов не представим в виде линейной комбинации остальных.

В более точной формулировке, базис в векторном пространстве — это упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства разложим по ней.

Некоторые свойства базиса :

Единственная тривиальная линейная комбинация векторов базиса возможна только при тривиальном наборе коэффициентов.

Для любого вектора существует единственное представление в виде линейной комбинации соответствующего базиса.

Количество векторов базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается dimV).

Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора по данному базису.