5. Через единицу площади в единицу времени эм-волна переносит энергию

(4а)

Согласно размерности [S] =Дж/(м²с) величина S естьплотность потока энергиив волне. Учитывая, что векторыЕ иH в ЭМ-волне взаимно перпендикулярны (4а) можно записать в виде

S=v =x (4б)

Вектор Sназывают вектором Умова-Пойнтинга. Он указывает направление переноса энергии в волне. Среднее по времени значение вектора Умова-Пойнтинга. называютинтенсивностью волны

(5a)

С учетом (1) и (2б), (4а)

(5б)

6. ЭМ-волна с энергией Wобладает импульсом

(6a)

Плотность импульса волны(импульс единицы объема волны) равно

,(6б)

где учтено, что S=wv иw=S/v.

7. Волна оказывает на частично отражающую поверхность давление

(7)

где I =<S> =<w>V - интенсивность волны, R -коэффициент отражения. Для абсолютно поглощающей поверхности R=0,для зеркала R=1.8. Согласно Эйнштейну ЭМ-волна есть поток корпускул(фотонов).Энергия W,импульс K и масса волны m по Эйнштейну равны

W=mc², K=mc=W/c; m=W/c²=K/c (8)

где Wи К могут быть рассчитаны электродинамически(см. выше). Энергия одного фотона согласно гипотезе Эйнштейна равна=h,где h - постоянная Планка, -частота волны.

9.Если источник, испускающий волну частоты₀ ,и приемник ЭМ-излучения (света) движутся относительно друг друга со скоростьюv,то частотаизлучения, регистрируемая приемником(детектором) излучения изменяется и равна.



=₀(1^v/_c cos) (9)

Это явление называют эффектом Доплера.Здесь  -угол между направлением скорости источника Vи направлением испускания волны,c -скорость света. Знак (+) - сближение источника и детектора, знак (-) - их удаление друг от друга.

Поведение ЭМ-волн на границе раздела двух изотропных сред.

Используя граничные условия для касательных составляющих векторовE иHна границе двух сред:

E_1=E_2, H_1=H_2,

можно показать, что

1. На границе раздела двух сред законы отражения и преломления ЭМ-волн (cвета) имеют вид

i₁=i`₁ - закон отражения (1)

n₁Sin i₁=n₂Sin i₂ - закон преломления (2)

2.Угол падения i₁ = i_Б,который с углом преломления i₂удовлетворяет условию

i₁+i₂=90^o,  i₂=90^o-i_Б(3)

называется углом Брюстера.Используя закон преломления, получим

n₁Sin i_Б=n₁Sin (90^о - i_Б)= n₂Cos i_Б (4)

Откуда уравнение угла Брюстера

называется относительным показателем преломлениявторой среды относительно первой, можно показать, что волна, падающая на границу двух сред под углом Брюстера, при отражении полностью поляризована в плоскости, перпендикулярной плоскости падения (см. рис.).

3 а. При падении волны на оптически более плотную среду n₂>>n₁под углом i₁<i_Б ,меньшим угла Брюстера, отраженная волна изменяет свою фазу на(теряет полволны ^/₂).

б. При падении волны на оптически менее плотную среду n₂<n₁отраженная волна не изменяет свою фазу при любых углах падения.

в. Преломленная волна не изменяет своей фазы по отношению к падающей.

4. Из закона преломления следует, что при переходе в оптически менее плотную среду n₂<n₁луч света отклоняется от нормали к границе двух сред, и при некотором предельном угле падения преломленный луч становится скользящим к границе раздела (i₂=90^o) что приводит к условию к условиюпредельного угла полного отражения

Sin i_c=(7)

где n₂<n₁ и n₂<1.При углах падения i₁>i₀существует только отраженный луч.Явление полного внутреннего отраженияиспользуется, например, для передачи светового сигнала по стекловолокну (оптическому кабели), а также изменении направления движения светового луча с помощью оборотных и поворотных призм.

Дисперсия волн (света).

Зависимость показателя преломления среды n=n(,k) от частоты светаили его длины волны =V/и волнового вектора k называется соответственно временной () и пространственной (К) дисперсией.

Частотную или временную дисперсию волн, проявляющуюся в зависимости показателя преломления среды от частоты света или его длины волны n=n() или n=n() можно наблюдать с помощью стеклянной призмы, разлагающей белый свет в спектр.

Поляризация монохроматических волн. Виды поляризации: эллиптическая. круговая, линейная или плоская.

Поляризацию ЭМ-волны принято характеризовать поведением электрического вектора E в точке пространства, через которую проходит ЭМ-волна.

Эм-волна называется поляризованной,если в фиксированной точке пространства вектор Eизменяется по определенному закону, т.е. если можно указать уравнение кривой по которой движется конец вектора E(эллипс, окружность, отрезок прямой).

Если вектор E в фиксированной точке пространства при прохождении через нее волны хаотически изменяет свою ориентацию в различные моменты времени t ,то такую волну называют неполяризованной, а свет естественным. Неполяризованную ЭМ-волну условно изображают следующим образом

Если световой пучок представляет собой смесь поляризованного и неполяризованного света, то такую волну называют частично-поляризованной.

Если вектор E в ЭМ-волне в данной точке пространства все время остается в одной плоскости, то такую волну называютплоско или линейно поляризованной.Плоскость, в которой лежит(осциллирует) вектор E называют плоскостью поляризации.

Линейно поляризованную волну условно изображают следующим образом

Суперпозиция(наложение) двух монохроматических волн одинаковой частоты Е=Е₁+E₂также есть монохроматическая волна той же частотыс новой амплитудой А и фазой.

Е=Е₁+E₂=A₁e^i(t+1)+A₂e^{i(t+)}=(A₁e^i+A₂e^i)e^i(t)=Ae^i(t)

Комплексный множитель e^itговорит о том, что частота волны осталась той же самой. Однако вектор Eв суммарной волне в данной точке пространства в общем случае может вращаться по эллипсу, кругу либо остается в одной плоскости, повернутой относительно плоскостей поляризации складываемых волн. Другими словами, в природе существуютэллиптически, циркулярно, и линейно поляризованные монохроматические волны.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим суперпозицию двух волн одинаковой частоты, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях, что эквивалентно разложению произвольной монохроматической волны на две взаимно ортогональные составляющие E=E_xe_x+E_ye_y.

Уравнения волн

Е_x=A_xcos(t) (1)

Е_y=A_ycos(t+)

Где  - сдвиг фаз между волнами.

Уравнения (1) есть уравнение эллипса в параметрической форме. Чтобы

убедиться в этом, исключим из этих уравнений параметр времени t.

Для этого запишем уравнения в виде

E_x/A_x=cost (2)

E_y/A_y=cos(t+)=CostCos- SintSin=E_x/A_xCos-SintSin (3)

Отсюда

(4)

Возводя уравнения (2)и (4)в квадрат и используя тождество

Cos²t+Sin²t=1, получим

(5)

Откуда после преобразований

(6)

Это уравнение эллипса, вписанного в прямоугольник со сторонами 2A_xи 2A_y. При=I/2 и A_x=A_y=А эллипс вырождается в окружность, а при=m , где m = 0, I -в отрезок прямой:

Таким образом, эллиптическая поляризация является общим случаем поляризации монохроматической волны, частными случаями которой являются круговая и линейная поляризации волн.

Двойное лучепреломление. Способы получения линейно поляризванного света.

В природе существуют изотропные и анизотропные кристаллы (одноосные и двуосные). В изотропном кристалле скорость световой волны одинакова во всех направлениях. В анизотропном одноосном кристалле, как показывает опыт, возникает две волны: обыкновенная (о-волна) и необыкновенная (е-волна). В двуосных кристаллах возникают две необыкновенные волны.

Водноосном кристалле скорость V_oраспространения о-волны одинакова в разных направлениях, а скорость распространения е-волны V_e -различна. Поэтому фронт о-волны сферический, а е-волны -эллиптический. В зависимости от типа кристалла возможно V_e>V_o(отрицательный кристалл) либо V_e>V_o(положительный кристалл).

Существует такое направление в кристалле, в котором скорости V_e и V_oобыкновенной и необыкновенной волн одинаковы. Это направление называют оптической осью кристалла. В направлении оптической оси фронты о- и е-волн (сфера и эллипсоид) касаются друг друга. Любая плоскость, параллельная оптической оси кристалла называется главным сечением кристалла.

Если на границу одноосного кристалла задает световой луч, то на его границе образуется два преломленных луча: обыкновенный (о-луч) и необыкновенный (е-луч), соответствующие о- и е-волнам в кристалле. Это явление называется двойным лучепреломлением.

казывается, что о- и е-лучилинейно поляризованы.Причем о-луч поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости главного сечения кристала, а е-луч -параллельно главному сечению (см.рис.)

0-луч подчиняется обычному закону преломления: n₁sin i₁ =n₂sin i₂,а е-луч -не подчиняется. Поэтому, если луч света падает на одноосный кристалл перпендикулярно его границе, то возникающий о-луч не преломляется, а е-луч -преломляется

Если на пути о- или е-луча на выходе кристалла поставить заслонку, то на его выходе останется линейно поляризованный о- или е-луч.

Если кристалл вырезан так, что его оптическая ось параллельна границе кристалла и перпендикулярно границе на кристалл падает световой луч, то образующиеся в кристалле о- и е-лучи не преломляются. В этом случае в кристалле в одном направлении, перпендикулярном оптической оси будут распространяться две волны, поляризованный в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Скорости распространения этих волн V₀и V_e различны. Поэтому при прохождении через кристалл эти волны сместятся относительно друг друга и между ними возникнет некоторая разность фаз,зависящая от толщины кристалла. Как было показано, сложение двух волн одинаковой частоты, поляризованных в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, дает в общем случае эллиптически поляризованную волну той жe частоты.

В частности, на выходе кристалла можно получить циркулярно- либо линейно поляризованную волну. Детально этот вопрос будет рассмотрен после разделов интерференция и дифракция волн.

Существуют одноосные кристаллы, поглощающие колебания, перпендикулярные оптической оси кристалла, т.е. поглощающие обыкновенную волну. Такие кристаллы называют поляроидами.На выходе поляроида всегда будет линейно поляризванный свет в плоскости, параллельной оптической оси кристалла.

Закон Малюса. Степень поляризации света.

Любое устройство, например поляроид, позволяющее получать поляризованный свет, называют поляризатором Пусть на поляроид перпендикулярно его оптической оси падает линейно поляризованная световая волна с амплитудой Е₀ ,плоскость поляризации которой составляет уголс оптической осью кристалла 0-0.

Через поляроид пройдет лишь составляющая волны Е_||=E₀cos, параллельная оптической оси кристалла, а составляющая волны Е_|. ,перпендикулярная оси кри сталла будет поглощена. Любой детектор регистрирует не амплитуду волны, а интенсивность волны, которая является энергетической характеристикой волны и пропорциональна квадрату амплитуды волны. Интенсивность света на выходе поляроида будет равна Е_||²=E₀²cos²или

I=I₀cos² (1)

где I₀ - интенсивность света на выходе поляризатора. Полученное соотношение называютзаконом Малюса.

Если на поляризатор падает естественный неполяризованный свет,то направление эл. вектора E₀в таком свете по отношению к оптической оси поляризатора хаотически меняется. Учитывая, что среднее значение cos²½ получим для интенсивности линейно поляризованного света на выходе поляризатора

I=I₀<cos²>=½I₀ (2)

где I₀ -интенсивность естественного света на входе поляризатора.

На практике для исследования свойств поляризованного светa используют два однотипных поляризатора. Второй по ходу светового луча поляризатор называютанализатором.

Если оптические оси поляризаторов скрещены под углом и на первый поляризатор падает естественный свет с интенсивностью – I₀,то на выходе двух поляризаторов будет линейно поляризованный свет с интенсивностью

I=I₁cos²=½I₀ cos² (3)

где I₁ =I₀/2 -интенсивность линейно поляризованного света на выходе первого поляризатора. Если оси поляризаторов параллельны, то I_||=I_max=Io/2

а если перпендикулярны, то I_=I_min = 0.

Идеальных поляризаторов не бывает, поэтому на выходе 1-го и 2-го поляризаторов будет частично линейно поляризованный свет с примесью естественного света. В этом случае интенсивность света на выходе двух поляризаторов будет изменяться отI_||=I_maxдоI_=I_min0.Поляризацию света принято характеризовать величиной

,(4)

которую называют степенью поляризации света.Для поляризованного светa P=1, для неполяризованного света p=0,для частично-поляризованного света 0<P<1.

Построение волновых фронтов о- и е-волн и определение направления распространения о- и е-лучей в одноосных кристаллах по Гюйгенсу.

По Гюйгенсу каждая точка фронта волны является источником сферических, эллипсоидальных и т.п. волн. Это утверждение называется принципом Гюйгенса

Этапы построения для нахождения направлений распространения о- и е-лучей в кристалле.

1.Указываем направление оптической оси кристалла 0-0под углом к поверхности кристалла.

2.В точке А пересечения оптической оси с поверхностью кристалла строим сферу и эллипс, касающиеся друг друга на оптической оси 0-0.Если кристалл положительный, то эллипс будет внутрисферы. а если отрицательный, то вне сферы.

3.Проводим через точки А и С на границе кристалла два падающих параллельных луча 1и 2под углом i₀к нормали. Предполагается, что радиус сферической волны в кристалле равен

, (1)

где V₀ =c/n₀ -скорость, а n₀ -показатель преломления обыкновенной волны в кристалле, с -скорость света,t -время распространения луча 2из точки В в точку С, d -расстояние между лучами 1и 2,равное при заданном радиусе сферы .

4. Из точки С проводим касательные к окружности и эллипсу.

5. Через точку А и точки касания А' и А" проводим лучи АА' и AA", которые дают о- и е-луч.

Способы получения света с произвольной поляризацией. Фазосдвигающие пластинки.

Одноосный кристалл, вырезанный параллельно его оптической оси 0-0,называютфазосдвигающей пластинкой.Если на такой кристалл перпендикулярно его оптической оси падает световой пучок, то внутри кристалла образуются о- и е-лучи, распространяющиеся в одном направлении с разными скоростями V₀и V_e, поляризованные в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях.

При прохождении через кристалл толщиной d фаза о-волны (t -kd+) при x=d станет равной

₀=t-kd+. (1)

С учетом , гдеn₀ – показатель преломления о-луча, получим

₀=t-d+. (2а)

Аналогично для е-луча

_e=t-d+. (2б)

Разность фаз о- и е-волн на выходе кристалла будет равна

=₀-_e=d=k₀(n_o-n_e)d=d (3)

где k₀=с=2/_ - волновое число и длина волны в вакууме.

Произведение геометрического пути на показатель преломления среды L=ln называют оптическим путем.А разность двух оптических путейL₂называют оптический разностью хода.Соотношение (3) в терминах оптической разности хода. о- и е-лучей имеет вид

(4)

Подбирая толщину пластинки dможно менять=(n₀-n_e)d имежду о- и е-волнами.

а). Если или ,то в общем случае на выходе пластинки получим эллип­тически поляризованный свет.

б). Если = ,что соответствует₀/2 (такую пластинку называют полу волновой), то на ее выходе получим линейно поляризованный свет.

в). Если/2 ,что соответствует₀/4 (такую пластинку называют четвертьволновой) то на выходе пластинки в общем случае будет эллиптически поляризованный свет.

Однако, если на такую пластинку падает линейно поляризованный свет с амплитудой А ,плоскость поляризации которого по отношению к оптической оси кристалла0-0повернута на угол=45^o,то проекции амплитуды А на оси х и y,перпендикулярные и параллельный оптич. оси, будут и на выходе кристалла. получим циркулярно поляризованный свет.

г). Если после пластинки с =l₀/4 поставить вторую пластинку c

=₀/4, то суммарная оптическая разность хода о- и е-воли после двух пластинок будет равна =l₀/2 и линейно поляризованный свет на вход первой пластинки на выходе второй пластинки останется линейно поляри-зованным, но будет иметь новое направление плоскости поляризации.

Можно также считать, что циркулярно поляризованный свет на входе второй пластинки на ее выходе превратился в линейно поляризованный. Таким образом можно превращать эллиптически (циркулярно) поляризованный свет в линейно поляризованный и наоборот.

Искусственная анизотропия.

Как показывает опыт, если изотропное вещество поместить в электрическое поле либо его деформировать, то в веществе возникает выделенное направление в пространстве (оптическая ось). Это явление называют Искусственной анизотропией.

В электрическом поле оптическая ось направлена вдоль поля Е ,а при деформации тела в направлении его растяжения или сжатия Вещество с искусственной оптической осью ведет себя также как одноосный кристалл.

Оптически активные вещества.

Вещества, поворачивающие плоскость поляризации линейно поляризованного света вокруг направления распространения светового луча, называют оптически активными.

При прохождении лучом в таком веществе

пути l плоскость поляризации света поворачивается на угол

l (1)

где  -коэффициент пропорциональности. Например, для кварца  - 21,7град/мм (для l=590 нм).

Многие жидкости (скипидар, раствор сахара в воде) также обладают оптической активностью. Если оптически активная среда -раствор, то полагают []C,где С -концентрация раствора. Тогда

=[]cl, (2)

коэффициeнт [] -называютпостоянной вращения. Если вещество поместить в магнитное поле с напряженностью H ,а луч света направить вдоль направления поля, Н .то вещество также становится оптически активным (эффект Фарадея).В этом случае

=lH, (3)

где  - константа вещества.