- •Ток смещения
- •Закон полного тока с учетом тока смещения
- •Система уравнений Максвела в интегральной форме
- •Система уравнений Максвела в дифференциальной форме
- •Волновое уравнение
- •5. Через единицу площади в единицу времени эм-волна переносит энергию
- •Интерференция волн
- •Оптическая пирометрия
- •Теория фотоэффекта Эйнштейна
- •Давление света
- •Описание эффекта Комптона
Система уравнений Максвела в дифференциальной форме
Переход к дифференциальной форме осуществляется с помощью теоремы Остроградского-Гаусcа
(1) и теоремы Стокса
(2) гдепроизвольный вектор, а(дельта) – дифференциальный оператор равный
(3)
Используя эти теоремы, получим
(4)
Из последних частей этих равенств получим
(5)
Это уравнения Максвела в дифференциальной Форме.
Если среда диэлектрическая или вакуум (в такой среде нет свободных зарядов = 0и токов проводимостиj = 0) ,то система уравнений(5)принимает вид
,
(6)
Волновое уравнение
Запишем уравнения (6)через векторыE иB.С учетомD=E иB=H получим
,
(1)
Умножим обе части левых уравнений (1) векторно на оператор . Получим
(2)
С учетом формулы векторного анализа "бац минус цаб" преобразуем векторные произведения в формулах (2)
a xb xc =b(ac) c(ab) (3)
где учтено, что согласно (1) E=0и введен оператор(дельта)
(4)
С учетом (3)уравнения (2)можно записать в виде
,(5)
где
(6)
Величина
(7)
называется электродинамической постоянной.Она совпадает со скоростью света в вакууме.
Уравнение вида
(8)
называется волновым уравнением. Параметрvв этом уравнении есть скорость распространения волны. Функция f=f(x,y,z,t),входящая в волновое уравнение, называетсяуравнением волны или волновой Функцией.
Согласно волновым уравнениям (5) возможно существование электрической и магнитной волн в свободном пространстве сдиэлектрической и магнитной проницаемостями и,и в частности в вакууме, где и. Однако поляЕ иВ в этих волнах не являются независимыми, а связаны уравнениями Максвела, поэтому в природе существуют толькоэлектромагнитные волны,в которых изменяющееся эл. полеEпорождает изменяющееся во времени магнитное полеB,и наоборот. Можно показать, что ЭМ-волны являютсяпоперечными,т.е. векторыЕ иB в ЭМ-волне перпендикулярны направлению распространения волны.
Раздел: ВОЛНЫ.
Обычно под волнойпонимают распространение колебаний в пространстве. В общем случае волна -это распространение в пространстве любого возмущения среды или поля. Существуют, например, волны на поверхности жидкости, акустические, электромагнитные и т.п. волны.
Особенностью волновых процессов является перенос энергии в ванне без переноса вещества. Например, в случае акустической или звуковой волны частицы среды колеблются около своих положений равновесия, повторяя колебания соседних частиц среды.
1.По форме различают следующие волны:
а.Одиночные волны или импульсы
б.Цуг волн -обрывок синусоиды
в. Гармонические или монохроматические волны,представляющие собой бесконечную синусоиду
Такие волны в природе не существуют, это идеализация. Однако, согласно теореме Фурье, доказываемой в математике, любая реальная ограниченная в пространстве и времени волна может быть представлена в виде бесконечного набора монохроматических волн различной частоты. Поэтому для изучения распространения волн в среде достаточно знать как распространяются в ней отдельные монохроматические составляющие.
2.В зависимости от направления колебаний в волне различаютпродольные и поперечные волны.В продольной волне колебания частиц среды осуществляются в направлении распространения волны, а в поперечной - в направлению перпендикулярном направлению распространения волны.
Примером продольных волн являются звуковые волны в газе. В твердых телах могут существовать как продольные, так и поперечные звуковые волны Примером чисто поперечных волн являются ЭМ-волны.
3.Волны различают также по типуволновых поверхностей,которые представляют собой геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. По типу волновых поверхностей различаютплоские, сферические и цилиндрические волны.
Частным случаем волновой поверхности является волновой фронт -геометрическое место точек, до которых доходят колебания в момент времени t.
Фронт волны разделяет охваченную волновым процессом часть пространства от неохваченной.
4. Физическая величина f ,изменяющаяся по волновому закону, должна удовлетворятьволновому уравнению
(1)
где V -скорость распространения волны.
Если волна распространяется в одном направлении, например, оси X ,
то волновое уравнение имеет вид
(2)
Решением этого уравнения являются функции вида f(Vt-x) или f(t-x/V) описывающие волну, распространяющуюся в положительном направлении оси-X Аргумент функции (Vt-x) или (t-x/V) называетсяфазой волны.
Поверхности постоянной фазы (Vt-x)=const называются волновыми поверхностями.При t =const поверхность постоянной фазы удовлетворяет уравнению x=const ,которое является уравнением плоскости, перпендикулярной оси X,т.е. направлению распространения волны. Таким образом, функции вида f=f(Vt-x) или f=f(t-x/V) описываютплоские волны. Дифференцируя обе части равенства (Vt-x)=const,получим Vdt-dx=0 или V=dx/dt,т.е. V есть скорость распространения поверхности постоянной фазы и ее называютфазовой скоростью волны. 5. Любая волна обладает энергией W и энергией в единице объема или объемной плотностью энергии W:
(3)
6. Волна, распространяющаяся со скоростью V,переносит через единицу поверхности в единицу времени энергию
S=V (4)
Вектор S называется вектором Умова. Его величина S представляет собой плотность потока энергии. Вектор Sуказывает направление переноса энергии в волне.
Плоские монохроматические волны.
Волны вида
f(x,t)=Acos((t-x/V)+)=Acos(t-kx+)=AcosФ (1)
называют плоскими монохроматическими или гармоническими. Здесь
А - амплитуда волны,
Ф =t-kx+ -фаза волны, -начальная фаза,
x -координата поверхности постоянной фазы Ф = constв момент t,
V - фазовая скорость волны,
=2T -циклическая частота колебаний в волне,=1/T -частота колебаний в герцах, T -период колебаний в волне,
К =/V -волновое число или постоянная распространения,
Учитывая, что длина волны -это путь, проходимый волной за период колебаний в волне,
x=VT=V/ (2)
получим для волнового числа и фазовой скорости волны
V=
Координату x поверхности постоянной фазы можно представить в виде x=rex,ex единичный вектор в направлении оси Х,r -радиус-вектор произвольной точки поверхности постоянной Фазы. Тогда произведение kx в уравнении волны можно записать в виде скалярного произведения, независящего от выбора системы отсчета:
kx=kexr=kr, k=kex - волновой вектор (4)
С учетом этого выражения уравнение плоской волны можно записать в виде
f(r,t)=Acos(t-kr+) (5)
Часто для монохроматических волн используют комплексное представление, понимая под волной реальную часть комплексной функции
f(r,t)=Re(Aei)=Ref(cos+i sin)=Acos, (6)
где Ф=t-kx+.Операции с комплексными числами намного проще, чем с действительными.
Наряду с комплексным представлением гармонические колебания изображают в виде проекции вектораА,вращающегося с угловой скоростьюна ось X.Начальное положение вектораA к оси X составляет угол ,а произвольное Ф=t+ ,где (-kr) отнесено к.
Проецирование вектора на ось Х и взятие реальной части комплексного числа -эквивалентные операции.
Электромагнитные (световые) волны. Общие свойства.
1.ЭМ-волна в среде сираспространяется с фазовой скоростью
(1)
где величина n =c/V называетсяабсолютным показателем преломлениясреды.
2. Векторы E, B,V в ЭМ-волне взаимно перпендикулярны и образуют правый винт. Это внутреннее свойство ЭМ-волны, независящее от выбора системы отсчета. Так как E и B перпендикулярны V,тоЭМ-волны поперечны.
3. Мгновенные значения векторов E и B в ЭМ-волне связаны соотношением Е=VB, откуда с учетом (1)и В=0H получим
(2a)
Отсюда следует, что поля E и H(B)одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают своих максимальных значений, т.е. колеблются синфазно:
Em=vbm, (2б)
4.ЭМ-волны обладаютобъемной плотностью энергии,мгновенное значение которой с учетом (2а) равно
=эл+м=(3a)
C учетомE=Emcost и Н=Нmcost и того, что средние по времени значения получим для среднего значения объемной плотности энергии в ЭМ-волне
(3б)