экз матем 2021
.pdfВопросы к экзамену по математике (3 семестр)
I. Теория рядов
1.1. Числовые ряды
1. Числовой ряд: основные определения. Свойства сходящихся числовых рядов. Необходимый признак сходимости. Достаточный признак расходимости. Канонические числовые ряды и условия их сходимости.
2. Знакоположительные ряды и признаки сходимости: признаки сравнения Д ламбера интегральный и радикальный признаки Коши признак Раабе.
3.Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница замечание о сумме знакочередующегося
ряда.
4.Знакопеременные числовые ряды. Достаточный признак сходимости. бсолютная и условная сходимость.
1.2.Функциональные ряды
5.Функциональные ряды: основные определения. Точечная и равномерная сходимость ф.р. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
6.Сумма равномерносходящегося ф.р. Операции над равномерносходящимися ф.р. (почленный переход к пределу почленное интегрирование и дифференцирование).
7. Степенной ряд. Теорема беля и ее следствие. Радиус интервал и область сходимости. Свойства степенных рядов.
8.Ряд Тейлора. Критерий и достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора. Разложения в ряд Маклорена основных функций.
1.3.Ряды Фурье
9.Тригонометрические ряды Фурье. Теорема Дирихле (достаточный признак разложения функции в ряд Фурье). Частные случаи разложения функции в ряд Фурье (для чётных и нечётных функций).
10.Ряд Фурье для 2ℓ – периодических функций.
11.Ряд Фурье для непериодических функций.
12.Ряд Фурье в комплексной форме.
II.Теория функций комплексной переменной
13.Определение ф.к.п. действительная и мнимая часть ф.к.п. Основные ф.к.п.
14. Производная ф.к.п. Условия дифференцируемости ф.к.п. (условия Коши – Римана). Свойства производной. Гармонические функции. Восстановление ф.к.п. по ее действительной (мнимой) части.
15. Интегрирование ф.к.п. Свойства интеграла ф.к.п.
16. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной областей. 17. Интегральная теорема Коши и следствие из неё.
18. Комплексные числовые и степенные ряды.
19. Ряды Тейлора (Маклорена) и Лорана для ф.к.п. 20. Особые точки ф.к.п.: определения и критерии.
21. Вычеты ф.к.п. способы их вычисления. Основные теоремы о вычетах: теорема Коши теорема о полной сумме вычетов. Приложения вычетов к вычислению интегралов.
Вопросы, которые необходимо знать с доказательством
I. Теория рядов
1.1. Числовые ряды
1. Достаточный признак расходимости.
2. Признаки сходимости: признаки сравнения и Д ламбера. 3. Признак Лейбница.
1.2. Функциональные ряды
4.Теорема о сумме равномерносходящегося ф.р.
5.Операции над равномерносходящимися ф.р. (почленное интегрирование и дифференцирование).
6. Теорема беля о сходимости степенного ряда.
7. Формулы для нахождения радиуса сходимости степенного ряда.
8.Критерий разложения функции в ряд Тейлора. Разложения в ряд Маклорена основных функций.
1.3.Ряды Фурье
9.Ряд Фурье для 2π – периодических функций: вывод формул для коэффициентов.
10. Ряд Фурье для 2ℓ – периодических функций: вывод формул для коэффициентов. 11. Ряд Фурье в комплексной форме.
II.Теория функций комплексной переменной
12.Теорема о дифференцируемости ф.к.п. (условия Коши – Римана).
13.Интегрирование ф.к.п.: вывод формулы для интеграла ф.к.п.
14. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной областей. 15. Интегральная теорема Коши и следствие из неё.
16. Разложение ф.к.п. в ряд Тейлора.
17.Разложение ф.к.п. в ряд Лорана.
18.Критерии особых точек ф.к.п.
19. Вычеты ф.к.п.: способы вычисления.
20. Основная теорема о вычетах (теорема Коши). 21. Теорема о полной сумме вычетов.
22. Применение вычетов к вычислению несобственных интегралов от действительных функций.
Практика
Типы задач которые необходимо уметь решать:
1.1. Числовые ряды
1.Нахождение суммы числового ряда по определению.
2.Исследование числового ряда на сходимость: признак сравнения в предельной форме, признак Д ламбера интегральный и радикальный признаки Коши признак Раабе.
3.Исследование на сходимость знакочередующегося ряда (признак Лейбница) в том числе на абсолютную и условную сходимость.
1.2.Функциональные ряды
4.Нахождение области сходимости ф.р.
5. Исследование ф.р. на равномерную сходимость по определению.
6.Нахождение радиуса и области сходимости степенного ряда.
7.Нахождение суммы степенного ряда путем его почленного интегрирования или дифференцирования.
8.Разложение функций в ряд Маклорена нахождение его области сходимости.
1.3. Ряды Фурье
9.Разложение в ряд Фурье и построение графика функции и суммы ряда Фурье для: 1). 2 -периодических функций 2). 2ℓ – периодических функций 3). непериодических функций
II.Теория функций комплексной переменной
10.Нахождение значений основных ф.к.п. в заданной комплексной точке.
11.Дифференцирование ф.к.п. Таблица производных. Условия Коши – Римана.
12.Восстановление ф.к.п. по ее действительной (мнимой) части.
13. Интегрирование ф.к.п. по кривой (как КРИ 2 рода).
14.Вычисление интеграла ф.к.п. с помощью интегральной теоремы Коши и следствия из неё (с использованием при необходимости теорем Коши для односвязной и многосвязной областей).
15.Исследование на сходимость комплексных числовых рядов.
16. Нахождение радиуса и области сходимости комплексного степенного ряда. 17. Разложение ф.к.п. в ряды Маклорена и Лорана.
18.Нахождение особых точек ф.к.п. и определение их типа.
19.Нахождение вычетов ф.к.п. в различных особых точках. 20.Применение вычетов к вычислению интегралов.