Лекція 9 Функ. компл. змінної

z z0

n .

an

(2.13)

y f x a

a x a

x2 ... a xn ...

(2.14)

0

1

2

n

тоді функція

w f z a

0

a z a

2

z

2 ... a

n

z n ...

(2.15)

1

є функцією комплексної змінної, яка відповідає функції

y f x .

Оскільки для x R

ex 1 x

x2

...

xn

...

2!

n!

то за означенням

ez 1 z

z2

...

zn

...

(2.16)

n!

2!

Зокрема, при z iy

маємо

y2

iy3

y2

y4

y3

y5

eiy 1 iy

... 1

... i y

... cos y i sin y.

2!

3!

2!

4!

3!

5!

Таким чином вірна формула Ейлера п.1.1

eiy cos y i sin y.

(2.17)

Звідси тригонометрична форма комплексного числа (1.2) приймає вигляд

z rei .

(2.18)

Ряд (2.16) абсолютно збіжний при довільному комплексному z і тому об-

ласть визначення функції ez

це множина всіх комплексних чисел.

Властивості степеневої функції:

а) ez1 ez2 ez1 z2 ;

б)

Re ez ex cos y,

Imez ex sin y, де z x iy;

в)

ez 2 i ez , T 2 i – період.

Логарифмічна функція

w Ln z

За означенням логарифмічна функція

Ln z,

z 0 це обернена функція до

показникової і

Ln z ln

z

iArg z

або

27

Ln z ln

z

iargz 2k i .

(2.19)

i argz 2k i eln

eln

z

z

ei argz 2k i

z

ei argz rei , r

z

,

arg z.

Бачимо,

що логарифмічна функція Ln z

многозначна і визначена для всіх

z C, z 0.

Головним

значенням

Ln z

називається

те значення, яке отримується з

(2.19) при k 0 і позначається

ln z ln

z

i arg z.

Властивості логарифмічної функції:

а)

Ln z z

Ln z Ln z

; б) Ln

z1

Ln z Ln z

;

2

1

1

2

z2

1

2

в)

Ln zn nLn z 2 ki,

k 0, 1,...

Тригонометричні функції

За означенням

z3

n

z2n 1

sin z z

... 1

...

(2.20)

3!

2n 1 !

z 2

n z 2n

cos z 1

... 1

...

(2.21)

2!

2n !

tgz

sin z

,

ctgz

cos z

.

cos z

sin z

Оскільки ряди (2.20)

і (2.21) мають радіус збіжності

R , то функції

дійсному у , але і при довільному комплексному z:

eiz cos z i sin z .

(2.22)

28

Зробимо в (2.22) заміну z на –z, тоді одержимо

e iz

cosz isin z .

(2.23)

Якщо почленно додати і відняти рівності

(2.22) і (2.23), то матимемо ін-

шу форму запису формул Ейлера

cos z

eiz e iz

eiz e iz

, sin z

.

(2.24)

2

2i

Властивості тригонометричних функцій

sin z, cos z

отримуються з фор-

мул (2.24) і властивостей функції ez .

Наведемо деякі з них:

а) sin 2 z cos2 z 1;

б) cos z1

z2 cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 ;

sin z1 z2 sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 ;

в) cos z cos z, sin z sin z;

г) cos z 2 cos z,

sin z 2 sin z, T 2 – період.

Функції cos z, sin z є необмеженими в С, більш того ці функції набувають

значень в С.

Функції

tgz

і ctgz

визначені для всіх

z C, крім відповідно

точок

z

k і z

k ,

k Z,

в яких cos z і sin z дорівнюють нулю.

2

Властивості функції tgz і ctgz

випливають з властивостей функції cos z і

Гіперболічні функції

ez e z

ez e z

shz

, cthz

chz

chz

, shz

, th z

.

(2.25)

2

2

chz

shz

Функції

chz, sh z визначені для всіх

z C, а th z

– для всіх z

k i,

2

ez chz sh z;

(2.26)

e z chz sh z;

(2.27)

cos z chiz, i sin z shiz;

(2.28)

chz cosiz, ishz sin iz.

(2.29)

а) ch2 z sh2 z 1;

б) ch z z

2

chz chz

2

shz shz

;

1

1

1

2

в) sh z z

shz chz

chz shz

;

г)

th z z

thz1 thz2

.

2

2

2

1

1

1

2

1

1 thz1thz2

Обернені тригонометричні функції

Arc sin z iLn iz

;

Arc cosz iLn z

;

1 z 2

z2

1

Arctgz

i

Ln

1 iz

;

Arcctgz

i

Ln

iz 1

.

2

1 iz

2

iz 1

Ці функції визначаються як функції обернені відповідно до

sin z, cos z,

Arc thz

1

Ln

1 z

;

Arc cthz

1

Ln

z 1

.

2

1 z

2 z 1

e w e w

z або

e

2w 1

z,

e w e w

e 2w 1

звідси

e 2w

1 z

, w

1

Ln

1 z

.

1 z

2

1 z

Обернені гіперболічні функції многозначні. Функції Arcsh z, Arcch z ви-

значені для всіх z C, а функції Arcth z і Arccth z – для всіх

z 1.

za ea ln z .

1

1

1

ln

z

i argz 2k

ei

argz 2k

z

Якщо a

, то z n

n z en

n

n .

n

ки многозначних функцій.

Нехай

w f z однозначна в D. Якщо існують однозначні в Е функції

z f 1 w ,

z f

1 w , …, для яких дана функція w f z є оберненою, то фун-

1

2

кція f 1 w ,

f 1

w ,… називаються однозначними вітками функції z f 1 w ,

1

2

визначеними в області Е.

Наприклад,

функція w z n – однозначна, а обернена їй функція z n w

п – значна,

при цьому якщо

w

w

ei , то ці п значень z знаходяться за

формулою

z

k

ei k

arg w 2k

,

де n w ,

k

k 0,1,...,n 1, 0 arg w 2 .

n

гляд має його область збіжності?

10.

Що називається функцією комплексної змінної, яка відповідає

функції y f x ?

11.

Дати означення функції w z n ,

w e z , w Ln z,

w sin z,

w sh z,

w Arc sin z, w Arcsh z.

12.

Дати означення загальної степеневої і загальної показникової

функції.