Авдеев Е.Ф., Смирнова В.О. Конспект лекций по курсу Механика жидкости и газа

1. Введение. Аксиоматика механики жидкости и газа

Невозможно без установления основных положений МЖГ приступать к изучению следующих дисциплин: «Тепломасообмен», «Парогенераторы», «Паротурбинные установки» и т.д.

В дисциплине используется макроподход, предполагающий заполнение конечных объемов элементарными объемами сплошь заполняющих пространство, размеры которых малы по сравнению с характерными размерами процессов, по величине размеров молекул.

Предположение сплошности среды является основанием для выбора математического аппарата непрерывных функций. Вторым предположением является легкая подвижнсоть среды с отсутствием постоянной состовляющей трения покоя. Последнее определяет особый закон для напряжения, которое зависит е от относительной деформации объема (твердые тела), а от скорости деформации.

Введение модели идеальной жидкости (отсутствие трения) является вынужденной необходимостью, так как в общем случае для реальной среды будет 11 неизвестных (в числе которых 6 напряжений), а количество уравнений для их определения только 6. Введение модели идеальной жидкости сводит число напряжений к одному понятию давления, число неизвестных (6) приводится к числу уравнений. Если модель идеальной жидкости для внутренних задач течения в каналах практически ничего не дает (за исключением течения газа с малой вязкостью), то для внешних задач обтекания она дает практически 100% совпадение с опытом. Влияние сжимаемости за счет скорости начинается примерно с 2/5 скорости звука в среде.

Сжимаемость за счет скорости оказывает влияние, начиная примерно с 2/5 скорости звука в среде, до этих значений скоростей закономерности в капельной жидкости и газе одинаковы (если нет сильного влияния давления и температуры), поэтому под термином «жидкость» можно понимать и капельные жидкости и газ: объяснение многих реальных процессов можно получить только с привлечением особенностей акустики (скорости звука) в среде. Поэтому, приступающим к изучению дисциплины, кроме математического анализа, уравнений математической физики, термодинамики, необходимы первоначальные знания раздела физики «колебания и волны».

2. Основные понятия кинематики и образы кинематики жидкости

Значение кинематики трудно переоценить, так как только по распределение скоростей могут быть получены динамические величины (сила) при внешнем обтекании тел и закон сопротивления во внутренних задачах течения в каналах.

2.1 Задание движения. Выражение для полного ускорения

Вотличие от метода Лагранжа в МЖГ принят метод задания движения по Эйлеру

–заданием поля скоростей в фиксированных точках пространства в любой момент вре-

где x,y,z – координаты фиктивных точках, мимо которых движутся жидкие части-

цы.

Отсюда полное ускорение частицы, например вдоль оси X будет:

(2.2)

Где – называют локальным ускорением, а другие 3 слагаемые – конвективным

ускорением. Далее в уравнениях движения будет использоваться запись полного ускорения в виде:

2.2 Линии тока и трубки тока. Объемные и массовые расходы. Средняя и массовая скорости

Линия тока в общем случае отличается от траектории, хотя оба понятия характеризуются касательным направлением скорости в их точках. Однако, для линии тока скорости в точках берутся в один и тот же момент времени, а образ траектории может быть получен только с течением времени. Для стационарных течений, когда направление и величина скорости не изменяются, линии тока и траектория будут совпадать. Условие совпадения элементарного вектора касательной ̅и скорости, дают дифференциальное уравнение для определения линии тока:

Если через произвольный замкнутый контур привести линии тока, получим призматическую поверхность тока, внутреннюю область которой называют трубкой тока. Суммированием произведений нормальных составляющих скорости к элементарной площадке сечения трубки тока получают обычный расход Q:

Приравниванием его произвольной, реально не существующей, средней скорости и площади сечения , вводится понятие средней скорости. Средняя скорость легко определяется делением расхода на сечение, и интересующие инженера параметры стараются выразить через эту легко определяемую величину.

Через боковую поверхность трубки тока не может быть расхода, по определению (там ), однако объемный расход вдоль трубки тока будет неизменным только при постоянной плотности. В ином случае объемный расход изменяется.

Чтобы ввести величину, которая вдоль трубки тока всегда будет постоянной, объемный расход умножают на плотность и приходят к пониманию массового расхода G:

Массовая скорость играет важную роль в инженерных расчѐтов, так как остается постоянной при постоянстве сечения.

2.3 Понятие циркуляции скорости

Через это понятие находится (Г) сила сопротивления давления в задачах внешнего обтекания хорошо обтекаемых тел, когда образующая профиля совпадает с линии тока, обычно принимаемой за нулевую.

Циркуляция скорости Г на участке произвольной линии тока АВ называют сумму произведений проекции скорости на направление касательной в данной точке на элемент дуги ds:

тенциал скорости , и циркуляция скорости будет равна разности потенциалов в точке В и в точке A.

,то есть совпадает с потенциалом скорости. Наложение циркуляции скорости на симметричные профили искажает симметричность распределения скоростей

и приводит к ненулевой силе, ее значение связывают с формой обтекаемого тела. В теория вихрей (вне вихря), она определяет характер распределения скоростей.

2.4 Вихревые линии и вихревые трубки. Распределение скоростей и давлений в сечении вихрей

Понятие вихревой линии вводится аналогично линиям тока, только теперь вдоль этой линии по касательной направлены угловые скорости ̅. Последнее означает, что поступательного движения двух вихревой линии нет, только вращение вокруг нее элементарных объемов. Конечно, может иметь место, когда ̅ параллельно ̅ , но тогда речь пойдет о вихревом движении. Аналогично поверхностям тока водится понятия вихревой поверхности. Тогда жидкость находится внутри вихревой поверхности, называемой вихревой трубкой. Интенсивностью вихревой трубки i (вихря) называют сумму произведений нормальных составляющих угловых скоростей на элементарную площадку сечения вихря , то есть поток вектора угловой скорости:

Так как поток вектора угловой скорости на боковые поверхности вихревой трубки равен нулю ( ), интенсивность вихревой трубки сохраняется постоянной вдоль неѐ.

Из последнего следует понимание того, что вихревые трубки не могут заканчиваться в жидкости ( ). Так как это привело бы к бесконечно большим угловым скоростям. Последнее объясняет формы существования вихрей:

-либо замкнутые торообразные;

-либо их конечные сечение находятся на поверхностях сильно отличающейся плотности (земля, поверхность воды).

Необходимо понимать, что не всякое вращательное (круговое) движение является вихревым, необходимо наличие мгновенных осей вращения, то есть вихревых линий. По-

этому различают области внутри вихря, где ̅ и области вне вихря, где ̅ , но круговые вращательные движения имеют место. На основе формулы Стокса (перехода от интеграла по контуру к интегралу по поверхности, натянутой на этот контур), доказывается равенство интенсивности вихревой трубки и циркуляции скорости, по контуру, находящиеся на ее поверхности. Но если вихревая трубка одна, контур не обязательно должен находиться на ее поверхности, всѐ равно будет i=Г. В других случаях (вихревых трубок две или больше), значение циркуляции скорости по контуру, охватывающего несколько вихревых трубок, может оказаться равной нулю, что может привести к ложному выводу об отсутствии вихревых трубок.

уменьшение скорости от поверхности вихря Va , до нуля на бесконечности:

(2.9)

А внутри вихря будет линейное уменьшение скорости от Va до нуля в центре вихря. Для целостности изложения, позаимствуем связь между давлением и скоростью из

раздела 4.

Вне вихря движение безвихревое и для любых точек:

Определив постоянную из условия на бесконечности ( ), получим гиперболическое (в квадрате) уменьшение давления при приближении к вихрю:

(2.10)

Давление на поверхности вихря будет меньше давления окружающей среды на величину :

(2.11)

Внутри вихря связь давления и окружной скорости иная:

(2.12)

Определив постоянную из условия на поверхности вихря и заменив его через давление , получим параболический закон уменьшения давления при приближении к центру вихря.

(2.13)

В центре вихря (V=0) давление будет ниже давления окружающей среды на вели-

чину

Знание изложенного полезно не только эксплуатационникам промышленных реакторов, так как вихрь большого радиуса в нижнем коллекторе привел бы к локальному уменьшению перепадов давления в ТВС, находящихся над вихрем, и уменьшению их расхода. А если он в верхнем коллекторе – к увеличению расходов. Вихри существуют всегда, но в промышленных реакторах нижний коллектор имеет перфорированное эллиптическое днище, которое разбивает крупные вихри на мелкие, на поверхности которых мало, мал и поперечных градиент давления. В верхнем коллекторе крупные вихри реальны. Это полезно знать и экспериментаторам, ведущим исследования на группе имитаторов ТВС.

Если вихря два, то, в зависимости от направления их закрутки, они будут двигаться как парный вихрь или параллельно, вызывая «пляску» расходов по ТВС.

3. Математическое представление закона сохранения массы и его следствия

3.1. Уравнение неразрывности

Сохранение массового расхода жидкости (возможно и двухфазной) уже является интегральным представлением закона сохранения массы.

Дифференциальное уравнение получено приравниванием к нулю производной по времени от массы элементарного объема и заменой скорости изменения относительного объема дивергенцией скорости:

Поэтому она и получила название функции тока. Просто доказывается ее физический смысл – это объемный расход между двумя линиями тока на единичной глубине:

дет объемным расходом.

Срывные течения, сопровождаемые разряжением и кавариационным разрушением материала стенок происходит, когда форма стенки не совпадает с линией тока.

где ̅ – вектор внешних сил, а произведение вектора силы на элементарное время ( ̅ ) называют импульсу силы.

4.1. Классификация сил, действующих в жидкости

Влегко деформируемой жидкой среде (воде) силы классифицируются на массовые

иповерхностные. Массовые силы задаются вектором плотности распределения массовых сил:

роны, это сила, когда объем стягивается в точку. Вектор массовой силы однозначен в каждой точке, следовательно образует векторное поле. Примером массовых сил консервативных полей будут силы тяжести, силы инерции, силы электродинамического происхождения, если жидкость заряжена.

Для дальнейшего определим потенциалы массовых сил, в случае действия сил тя-

Проекции силы ̅ на оси будут связаны с потенциалом U зависимостями:

А полный дифференциал dU может быть записан через проекции силы:

(4.4)

Если считать ось z направленной вверх, и когда одновременно действуют и силы тяжести и имеется вращение вокруг оси z с угловой скоростью ̅:

Потенциал массовых сил после интегрирования (4.4):

Однако векторы ̅ не образую векторного поля, так как в каждой точке будет множество значений ̅в зависимости от ориетации площадки. Это следствие неизотропности реальной среды. Возникает проблема определения напряжения в точке. Можно выразить (используя принцип Даламбера) вектор ̅ через напряжения на взаимно ортогональных площадках-проекциях произвольно ориентированной площадки на координатные плоскости:

В проекциях на оси (4.8) дает три скалярных равенства:

То есть состояние в точке будет определяться 9-ю напряжениями, которые в совокупности называют тензором напряжений.