Авдеев Е.Ф., Смирнова В.О. Конспект лекций по курсу Механика жидкости и газа

Для ньютоновских жидкостей (отсутствие трения покоя) принята линейная связь

где – тензорная единица.

Связь (4.9) называют так же обобщенным «законом» Ньютона, где коэффициент ( – динамическая вязкость) поставлен, чтобы получить формулу Ньютона для напряже-

ния трения в ламинарных течениях, точка вверху над ̇поставлена для напоминания, что компоненты тензора ̇выражаются через производные от скоростей, согласно правилу:

( ) (4.10)

4.2. Уравнения динамики в напряжениях С учетом представленной классификации сил, запишем теорему количеств движе-

После подстановки в (4.1) выражения для напряжения (4.8) и перехода от 3-х интегралов по поверхности к интегралам по объему, все слагаемые будут состоять из интегралов по объему. Если записать все интегралы по объему в один, он будет равен нулю. Как известно, интеграл может быть равным нулю за счет области интегрирования или в случае равенства нулю подынтегрального выражения. В данном случае мы должны приять последнее, так как объем мыл принят произвольным. В результате получим:

Дифференциальное уравнение (4.12), выражающее закон сохранения импульса называют уравнением динамики в напряжениях. Оно имеет простой и буквальный физический смысл: полное ускорение состоит из ускорения за счет массовых сил и ускорения за счет поверхностных сил. В проекциях на оси координат это будут три уравнения с девять. Скалярными напряжениями, в которых независимыми будут только шесть, так как

.

4.3. Понятие давления

В тензоре напряжений с компонентами и , напряжения с одинаковыми индексами физически означают нормальные составляющие напряжений, с разными – касательные напряжения.

Приравнивая в (4.9) линейные инварианты тензоров, получим:

Это среднее арифметическое три взаимно ортогональных напряжений, взятое с обратным знаком, принято за понятие давления в реальной (вязкой) жидкости; имеет смысл гипотезы ,так как не из каких соображений нельзя доказать равенства ортогональных напряжений в вязкой жидкости.

В случае модели жидкости, для которой принимают напряжения трения равными нулю, в тензоре напряжений остаются только диагональные ортогональные напряжения. Легко доказывается их равенство. За давление принимают их общую величину:

(4.14)

Точно таким же будет понятие давления покоящейся, но уже реальной жидкости. Отсюда следуют два известных свойства давления: оно нормально к стенке и не зависит от направления.

4.4. уравнения движения вязкой жидкости (Навье-Стокса)

Подставляя напряжения из (4.9), в случае постоянной плотности, в уравнения динамики в напряжениях (4.12), получим уравнения движения вязкой жидкости НавьеСтокса:

(4.15)

где – кинематическая вязкость, – оператор Лапласа. Этот вид уравнения получен в 1822 году Навье и независимо Стоксом в 1842 году. Их общего аналитического решения до сих пор не существует, имеются их решения только для простых частных случаев.

4.5. уравнения движения идеальной жидкости Л. Эйлера

Необходимость введения модели идеальной жидкости вызвана в общем случае приведением числа неизвестных к числу уравнений.

При известных массовых числах, число неизвестных параметров будет равно 11: три составляющих скорости, плотность, 6 неизвестных напряжений и температура. А уравнений будет 6, включая уравнения неразрывности движения, энергии и состояния. Для модели идеальной жидкости 6 напряжений заменяются одним понятием давления. Число неизвестных оказывается равным числу уравнений.

Уравнения динамики в напряжениях для модели идеальной жидкости или газа имеет вид:

Это векторная запись классических уравнений Л. Эйлера. Уравнения (4.16) допускают частное аналитическое решение.

4.6. Интеграл Д. Бернулли и область его действительности

Решение уравнения (4.16) найдем при условиях: - стационарное течение; - массовые силы имеют потенциал, то есть ̅

Для названных условий уравнения (4.16) перепишем в виде:

При записи (4.16’) принять равным нулю, получим решение:

(4.17)

Во избежание путаницы, далее, с уравнением Д. Бернулли для потока вязкой жидкости конечного поперечного сечения, назовем решение (4.17) интегралом Бернулли. С энергетической точки зрения интеграл Бернулли выражает закон сохранения механической энергии единицы массы.

б) в случае, когда ̅ и ̅ параллельны, движение происходит вдоль вихревой линии; в) правую часть (4.16’) можно занулить скалярным умножением на вектор ̅.

Тогда в левой части произведение ̅ или ̅ , а это производные от b по направлению ̅ или ̅.

В первом случае сумма сохраняется только для точек, находящихся на одной и той же линии тока, а во втором случае только для точек вдоль вихревой линии.

Знание правильности применения интеграла Бернулли имеет первостепенное значение, иначе можно делать ложные выводы для зависимости скорости и давления.

Для покоящейся жидкости получим основное уравнение гидрогазостатики, полагая

Силами тяжести можно пренебречь в случае малой плотности среды и малой вертикальной протяженности течения, а при большой плотности – только при малой разности двух точек.

4.7. Частные случаи интеграла Бернулли

В самом простом случае, при постоянной плотности и действия только сил тяжести, интеграл Бернулли имеет вид:

(4.19)

где z – вертикальная координата точки. Не играет роли откуда начинать отсчет этой координаты, так как в уравнении, записанном для двух точек, будет разность координат.

В случае пренебрежения массовыми силами, интеграл Бернулли будет еще проще:

получим выражение для экспериментального определения скорости через разность давлений торможения и статического давления:

Адиабатические процессы ближе всего к реальным процессам, так как даже при невысоких для газа скоростях, теплообмен с окружающей средой не успевает происходить.

Функция давления в этом случае будет равна:

В пренебрежении массовыми силами, после определения постоянной интегрирования в точке торможения, получим формулу для экспериментального определения скорости:

Известную как формула Сен-Венана и Ванцеля.

4.8. Соотношения для покоящейся жидкости

Полагая в рассмотренных частных случаях интеграла Бернулли скорость, равной нулю, получим соотношения для покоящейся жидкости или газа.

При постоянной плотности и действии только сил тяжести, получим (называемое в гидравлике) основное уравнение гидростатики:

(4.27)

Для двух точек (4.27) с одной и той же плотностью, найдем закон Паскаля, который гласит: изменение давления в какой-либо точке передается другим точкам без изменения. Его можно доказать и в случае двух несмешивающихся жидкостей, когда в точках разная плотность, с помощью введения третей точки на границе раздела жидкостей.

В случае изотермического газа будем иметь:

4.9. уравнение Д. Бернулли для потока конечного поперечного сечения вязкой жид-

кости

4.9.1. Плавно изменяющееся течение и его основные свойства

Плавно изменяющимся течением называют течение, при слабо искривленных линиях тока или при большом радиусе из кривизны. Направляя ось Х вдоль течения, приближенно можно считать полную скорость равной ее проекции на ось Х, а поперечные проекции скорости принять равными нулю. Подставляя эти условия в уравнения НавьеСтокса (4.15), получим, что в плоскости живого сечения ( ) уравнения будут совпадать с уравнениями статики, и значит, в этой плоскости справедливо основное уравнение гидростатики:

(4.30)

Этот результат будет основным свойством плавно изменяющихся течений. Оно имеет принципиальное значение при выводе уравнения Бернулли для целого потока.

Уточним еще, что строго живым сечением потока называют сечение, в каждой точке которого линии тока направлены по нормали. Поэтому искривленным линиям тока бу-

дет соответствовать искривленное живое сечение, но для плавно изменяющихся движений его принимают плоским.

4.9.2. Обобщение интеграла Бернулли на поток конечного сечения

Будем исходить из понимания, что каждое слагаемое интеграла Бернулли (4.19)

Будет энергией весового расхода потока через живые сечения . После его деления на весовой расход потока, записанный через среднюю скорость, получим энергию на единицу веса уже для целого потока. Обозначим He . Исходя из основного свойства плавно

Другой интеграл заменив в виде:

∫

где – коэффициент, показывающий, во сколько ращ кенетическае энергия потока, записанная через истиные скорости, отличается от кинетической энергии, записанной через средние скорости.

Тогда энергия на единицу веса потока будет:

(4.32)

Уравнение (4.32) будет сокращенной записью уравнения Бернули для потока реальной жидкости. После подстановки выражение для и согласно (4.31), получим уравнение Бернулли в развернутом виде:

среды. Принципиально важно понимать, что потери давления определяются из уравнения Бернулли записанных для двух сечений потока:

( ) (5.2)

Из (5.2) ясно, что если первое слагаемое будет отрицательным, то же самое будет и со вторым слагаемым, если . Последнее слогаемое означает потери давления на преодоление сопротивлений. Таким образом, без определения потерь давления на преодоление сопротивлений нельзя найти общее .

Из-за различной природы сопротивлений, они делятся на два вида: местные сопротивления и сопротивления за счет трения (по длине) . Оба вида сопротивлений легко определяются через среднюю скорость.

5.1. местные гидравлические сопротивления

Местные сопротивления возникают за счет локальной передачи, вызывающей искривление направления движения (расширение, сужение, повороты, задвижки и т.д.), так как для изменения направления движения необходима энергия, которая в данном случае может заимствоваться только из потока. В очень редких случаях удается теоретически найти выражение для этих потерь давления.

Одним из таких случаев является внезапное расширение в каналах, именуемое в гидравлике теоремой Борда:

где выражение в скобках характеризует геометрию внезапного расширения (

– площади широкого и узкого сечения), – средние скорости в широком и узком сечениях.

На основе (5.4) общепринятая формула зависимости потерь деления от местных сопротивлений будет:

(5.5)

где – коэффициент местного сопротивления, в большинстве случаев определѐнный экспериментально. Судя по (5.4), для одного и того же сопротивления значения

напор нужно выразить потери давления, записывают через динамический напор за местным сопротивлением, считая в направлении течения.

В проектных расчетах чрезвычайно важно знать следующее обстоятельство. Если по справочным данным суммированием будут найдены потери на все местные сопротивления, то действительные потери могут быть меньше, что приведет к увеличению проектного значения расхода. Дело в том, что суммарные потери давления могут быть равны действительным, только при определенном удалении местных сопротивлений друг от друга. Этот эффект был обнаружен сравнительно недавно и получил название эффекта взаимного влияния местных сопротивлений. В частности, при экспериментах с двумя шайбами, проведѐнными авторами этих лекций на кафедре теплофизики ИАТЭ НИЯУ МИФИ, суммарный коэффициент местного сопротивления, при увеличении расстояния между шайбами увеличивается в два с половиной раза, по сравнению с их плотным расположением. Эффект может быть обращен в пользу, когда необходимо создать требуемое сопротивление каналов при экспериментальном моделировании процессов на натурных установках.

5.2. Сопротивление трения в каналах

Потери давления на преодоление трения (по длине), зависит прежде всего от режима в течения – ламинарного или турбулентного, так как напряжение трения для ламинарных течений принято определять по формуле Ньютона:

(5.6)

где и – динамическая и кинематическая вязкости, а в турбулентных течениях к добавляется напряжение , обусловленное перемешиванием макро объѐмов. Причѐм, в

некоторых случаях, если представить по аналогии с (5.6):

, то есть молекулярной вязкостью можно пренебречь. Последним обстоятельством нужно пользоваться очень аккуратно, анализируя физику процесса.

5.2.1. Ламинарное течение

Потери давления на трение в каналах начали использовать в технике после получения французским врачом Пуазейлем формулы для объемного расхода крови Q в крупных сосудах человека.

Опустим здесь интересный анализ этой формулы, указывающий, на какой параметр должен взаимодействовать лекарственный препарат для экстренного увеличения расхода крови в органы и на какой при консервативном лечении.

Если в (5.8) заменить расход через среднюю скорость, легко получить:

После введения понятия коэффициента сопротивления трения , как безразмерную величину, показывающую, сколько динамических напоров теряется за счѐт трения на длине трубы, равной ее диаметру:

(5.10)

и сравнения (5.9), (5.10), найдем выражение для в круглой трубе.

(5.11)

В классической литературе, на основании решения уравнения Навье-Стокса, получено выражение для в каналов эллиптического, треугольного, прямоугольного и квадратного сечений, которые можно записать в общем виде:

(5.12)

где постоянная зависит от формы поперечного сечения канала. В общем случае потери давления на трение записывают через :

(5.13)

и именуют в классике формулой Дарси-Вейсбаха.

Из формулы (5.13) и (5.12) следует физический закон сопротивления: при ламинарном течении в каналах потери давления на трение зависят от средней скорости в первой степени (линейно).

В записи формулы (5.13) введен новый размер , характерный для поперечного размера каналов некруглого сечения. Зависимость для его вычисления следует из анало-

следует общая формула для расчета гидравлического диаметра:

(5.15)

Во избежание ошибок подчеркиваем, что за смоченный периметр нужно принимать только тот периметр, который смачивает твердые стенки. В частности, для ячеек твэл с дистанционированием твэл решетками, его длина будет равна половине окружности твэла, а при дистанционировании твэлов проволочный навивкой, к половине окружности твэла нужно добавить окружность проволоки.

5.2.2. Турбулентное течение

Из-за отсутствия, по фундаментальным причинам, рациональной теории турбулентных течений, вынуждено принята форма записи потерь на трение при турбулентном течении в каналах (5.13), полученная по теории ламинарных течений. Остаѐтся решить проблему нахождение зависимости для .

Если следовать аналогии с ламинарными течениями, всѐ начиналось с распределения скоростей, так как формула Пуазейля получена по параболическому распределению

необходимо прежде всего установить распределение скоростей при турбулентном течении, хотя бы в круглых трубах. Это будет иметь непосредственно практическое значение, так как в оборудовании АЭС (да и тепловых станций), включая активной зоны реактора течение теплоносителя (или рабочего тела) турбулентное.

Начинаем с получение распределение скоростей в круглых трубах.

Прандтль, рассматривая перенос количества движения макрообъѐмами, получил формулу для напряжения трения в турбулентных течениях:

где – путь смешения (путь, который проходит элементарный объем, при изменении его скорости на величину скорости пульсации), ̅ – осредненное скорость.

Сделав два предположения:

ния, уменьшается от стенки по линейным зависимостям. Сделав эти предположения, Прандтль стремился получить логарифмическое распределение скоростей, установленные личными экспериментами. Из (5.16) действительно следует логарифмический закон:

границы для турбулентного течения будет , где :

Записывай формулы (5.20) и (5.21) для оси трубы, используя значение дефицита средней скорости: (опытное значение, теоретическое – 3,75), получим вы-

Зависимость (5.22) можно представить только графически. Это, так называемый, график Никурадзе, который приводится во всех руководствах по технической гидромеханике (гидравлике). А далее найдена аппроксимация графической зависимости для разных диапазонов чисел Рейнольдса в области турбулентных течений:

Не надо думать, что потери давления на трение всегда зависят от средней скорости в квадрате (5.13). Если подставить в (5.13) соответствующее выражение для , получим, что для ламинарных течений потери на трение зависят от средней скорости в первой степени, то есть линейно. При турбулентном течении в гидравлически гладких каналах в сте-

пени 1, 75. Квадратичная зависимость появляется только в случае гидравлически шероховатых каналов.

Экспериментально физические законы сопротивление устанавливаются очень просто: по построению графика . Тангенс угла наклона будет показывать степень для средней скорости. Поэтому показателю определяется режим течения и выбор формулы для .

Выше изложенное и составляет суть эмпирической теории Прандтля для турбулентного течения в трубах, которой пользуются в мировой практике инженерных расчетов.

Определение коэффициентов сопротивления трения в каналах ячеек ТВС также привязаны к полученным выше формулам, с поправкой на геометрию ячеек твэл. Методика получения этих зависимостей принадлежит ученым ГНЦ РФ-ФЭИ: академику В.И. Субботину и д.т.н. П.А. Ушакову.

6. Тепловая формула интеграла Бернулли. Закон сохранения и превращения. Одномерный поток газа.

Применим модель идеального газа, пренебрегая трением. Параметры потока газа, найденные в этом предположении, оказываются вполне приемлемыми для инженерных оценок, в связи с малой динамической вязкостью газа.

Общая задача, частные случаи которой приходится решать, состоит в умении определять термодинамические параметры в произвольных сечениях канала, по известным параметрам в одном из сечений и известных площадях сечений.

Однако, для замыкания системы уравнений, необходимо дать математическое представление закона сохранения и превращения энергии.

6.1 дифференциальное уравнение для закона сохранения и превращения энергии

Полная производная по времени от полной энергии объѐма, равна сумме мощностей за счет массовых и поверхностных сил, сложение с количеством тепла, подведенного (отведенного) к объему извне в единицу времени.

Математическая зависимость:

∫ ( ) ∫ ̅ ̅ ∫ ̅ ̅ ∫ (6.1)

где u – внутренняя энергия; q – энергия, подведенная извне к единице массы в единицу времени.

Поступая математически, аналогично с законом сохранения импульса, получим