34. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Формула Тэйлора выглядит следующим образом:

остаточный член. Для тех значений х, которых остаточный член мал, многочлен дает приближенное значение функции f(x).

Наша задача – оценить величину остаточного члена.

где Q – некоторая функция, подлежащая определению.

Рассмотрим вспомогательную функцию от t

Найдем производную и преобразуем ее:

Заметим, что и

Подставляя, получаем:

Это – так называемая форма Лагранжа для остаточного члена.

Так как заключено между х и а, то его можно представить как

32. Степенные ряды.

Определение. Степенной ряд – функциональный ряд вида

где - постоянные числа (коэффициенты ряда).

Область сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится (расходится) при некотором значении то он абсолютно сходится (расходится) при всяком значении х, для которого

Доказательство. Так как, по предположению, числовой ряд сходится то общий членприЭто значит, что существует такое положительное число М, что все члены по абсолютной величине меньше М.

Перепишем ряд в следующем виде:

Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:

Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда

Припоследний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателеми, следовательно, сходится. Отсюда сходится и

Это значит, что рядыисходятсяабсолютно.

___

Нетрудно будет доказать и второй случай (когда ряд расходящийся).

Доказательство. Пусть в некоторой точкерядрасходится. Тогда он будет расходиться в любой точке, удовлетворяющей условию

___

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Если- точка сходимости, то весь интервалзаполнен точками абсолютной сходимости и наоборот.

Теорема (о строении области сходимости степенного ряда). Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

Определение. Интервал сходимости степенного ряда – интервал от –R до +R, что для всякой точки х, лежащей внутри, ряд сходится, и притом абсолютно, а для точек вне интервала – ряд расходится. Число R – радиус сходимости ряда.

Отметим, что у некоторых рядом интервал сходимости вырождается в точку (R=0), у других охватывает всю ось Ох

Теорема. Степенной ряд мажорируем на любом отрезкецеликом лежащем внутри интервала сходимости.

Определение. Ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соотвествующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами.

Доказательство. По условиюа потому ряд (с положительными членами) сходится. Но причлены ряда по абсолютной величине не больше соответствующих членов ряда

Следовательно, ряд мажорируем на отрезке

Следствие1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция.

Это связано с тем, что члены ряда – непрерывные функции от х. Тогда и сумма этого ряда есть непрерывная функция.

Следствие2. Если пределы интегрированиялежат внутри интервала сходимости, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда. Так как область интегрирования можно заключить в отрезок

Дифференцирование степенных рядов.

Теорема 1.Если степенной ряд имеет

интервал сходимости (-R,R), то ряд полученный почленным дифференцированием первого ряда, имеет тот же интервал сходимости (-R,R). При этом если, т.е. внутри инервала сходимости производная от суммы степенного рядаравна сумме ряда, полученного почленным дифференцированием ряда.