27. Теорема (признак Даламбера).

Теорема. Если в ряде с положительными членами отношение последующего члена к предыдущему приимеет предел, т.е.то:

1.ряд сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1,

3. теорема не дает ответа при l=1.

Доказательство. 1. Пусть l<1. Рассмотрим q, при котором

Начиная с некоторого N () выполняется неравенство

Действительно, так как величина стремится кто разность между ними равняется

Начиная с любого N, получаем систему неравенств:

Складывая таким образом члены последовательности, приходим к выводу, что перед нами геометрическая прогрессия со знаменателем

2. Пусть l>1. Из равенства следует, что прибудет иметь место неравенствоЭто означает, что члены ряда возрастают, поэтому ряд расходится.

Замечание1. Ряд будет расходиться и том случае, когда Это следует из неравенства

Замечание2. Если но отношениетоРяд расходится.

28.Интегральный признак сходимости.

Теорема. Пусть члены ряда положительны и не возрастают, то есть и пусть f(x) – такая непрерывная невозрастающая функция, что Тогда если несобственный интегралсходится/расходится, то сходится/расходится и ряд.

Доказательство.

Примечание автора. Необходимы 2 графические иллюстрации.

Из первого графика очевидно

Из второго - откуда

Рассмотрим первый случай (сходится). Предположим, что интеграл сходится, то есть имеет конечное значение.Частичная суммаостается ограниченной при всех значенияхn. Но при увеличении n она возрастает, так как все члены положительны. Следовательно, ряд сходится.

Рассмотрим второй случай (расходится). Предположим, что Это значит, что при возрастанииn неограниченно возрастает интегралТогда в силунеограниченно возрастает. Следовательно, ряд расходится.

Замечание. Ни признак Даламбера, ни признак Коши не решают вопроса о сходимости этого ряда, так как предел равен единице.

30. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

Определение. Знакочередующийся ряд – ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.

Теорема. Если в знакочередующемся рядечлены таковы, чтоито ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Доказательство. Рассмотрим сумму первых членов исходного ряда:Так каквыражения в скобках положительные. Следовательно,и возрастает с возрастанием

Запишем сумму в другом виде: Каждая скобка здесь также положительна. В результате вычисления получим число, меньшеето есть

Таким образом: S возрастает с возрастанием m и ограничена сверху. причем

Теперь докажем, что «нечетные» частичные суммы также стремятся к пределу S. Для этого выражаетсяи аналогично записывается предел

Следовательно, ряд сходится.

Замечание. Теорема Лейбница справедлива, еси неравенствавыполняются, начиная с некоторогоN.

29. Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Определение. Если ряд сходится, то говорят, что рядсходится абсолютно. Еслисходится, норасходится, то говорят, что рядсходится условно.

Теорема. Если рядсходится, то и рядсходится.

Доказательство. Запишем ряды почленно

1.

2.

Пусть -сумма первого ряда,-сумма второго ряда.-сумма всех положительных,- сумма абсолютных величин.

равняется разности и,-их сумме.

По условиюимеет предел

и- положительные возрастающие величины, меньшие.

Они имеют пределыи.

имеет предел. Ряд сходится.

Замечание. Если рядсходится абсолютно, при любой перестановке его членов новый ряд будет по-прежнему сходиться и иметь ту же сумму.Если же ряд сходится условно, то всегда можно найти такую перестановку, что новый ряд будет сходиться к любому числу или даже станет расходящимся.

Для исследования абсолютной сходимости часто применяются признаки Коши и Даламбера, которые в этом случае имеют следующий вид.

Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами отношение последующего члена к предыдущему приимеет предел, т.е.то:

1.ряд АБСОЛЮТНО сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1.

Теорема (признак Коши). Если в ряде с положительными членами величина имеет предел при , т.е.то:

1. ряд АБСОЛЮТНО сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1.

Примечание автора. Доказательств двух последних теорем приведены в ответах на предыдущие вопросы.