25. Числовые ряды. Теоремы сравнения.

Определение. Числовой ряд – пара последовательностей и где числа - первый, второй…н-ный член ряда. - первой, второй…н-ной частичной суммой ряда.

Теорема (признак сравнения). Если члены ряда не больше соответствующих членов рядато естьи второй ряд сходится, то сходится и первый.

Доказательство. Обозначим частичные суммы, какиИз условия следует, что

Так как второй ряд сходится, то существует предел его частичной суммы

Так как члены ряда положительны, то

Итак, мы доказали, что частичные суммы ограничены. Отсюда, они имеют предел

Очевидно, что

Аналогично: Если члены ряда не меньше соответствующих членов рядато естьи второй ряд расходится, то расходится и первый.

Доказательство. Так как члены положительны, то частичная сумма ряда возрастает при возрастании n. Получаем

Так както есть ряд расходится.

24 . Свойства сходящихся рядов. 1. Если ряд сходится, то  2. Теорема1. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов, т.е. на сх. ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.Доказательство. Пусть сумма n первых членов ряда.-сумма k отброшенных членов,- сумма членов ряда, входящих в сумму и не входящих вТогда имеем: Тогда имеем:,где-постоянное число, не зависящее отn. Из последнего соотношения , что если,тои, если,то, а это и доказывает справедливость теоремы.3. Теорема2. Если ряд сходится и его сумма =s, то ряд , где с - какое-либо фиксированное число, также сходится и его сумма=cs. Доказательство. Обозначим n-ую частичную сумму ряда через, а рядачерез.ТогдаОтсюда ясно, что пределn-й частичной суммы ряда , т.к.Следовательно, рядсходится, и его сумма =cs. 4.Теорема 3. Если ряды исходятся и их суммы равныи, то рядыитакже сходятся и их суммы. Они равны+и-.Доказательство. Докажем сходимость ряда . Обозначая его n-ую частичную сумму через , аn-е частичные суммы рядов и соответственно через и, получим:

Переходя в этом равенстве к пределу при , получим .

Т.о.,ряд сходится и его сумма равна . Ряды и говорят, что они получены в результате почленного сложения (или вычитания) рядов и .

26. Теорема (признак Коши).

Теорема. Если в ряде с положительными членами величина имеет предел при , т.е.то:

1. ряд сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1.

Доказательство. 1. Пусть l<1. Рассмотрим q, при котором

Начиная с некоторого N () выполняется неравенство

Отсюда следует, что илидля всех

Рассмотрим 2 ряда:

Второй ряд сходится, так как его члены образуют убывающую геометрическую прогрессию.

2. Пусть l>1. С некоторого n=N будет иметь место неравенство или

Ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю (все члены больше 1).

Замечание. Как и в признаке Даламбера случайтребует дополнительного исследования. Среди рядов, удовлетворяющих этому условию, могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся ряды.