20. Нахождение площади в декартовых координатах.

Если на отрезке [a,b] функциято площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривойосью Ох и прямыми х=а, х=b.

Если

Если функция меняет знак на отрезке, то интеграл по всему отрезку разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам.

Примечание автора. Обязательны 2 графические иллюстрации.

Если нужно вычислить площадь области, ограниченной кривымих=а, х=b, будем иметь:

Кривая может быть задана уравнениями в параметрической форме

Нахождение площади в полярных координатах.

Площадь криволинейного сектора, ограниченного лучамиграфиком функции

Примечание автора. Обязательна графическая иллюстрация.

22. Нахождение объема тела вращения.

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривойосью Ох и прямыми

В этом случае сечение тела плоскостью, перперндикулярной к оси абсцисс, есть круг.

Таким образом, применяя общую формулу для вычисления объема тела вращенияполучаем:

Примечание автора. Обязательна графическая иллюстрация.

21. Нахождение длины дуги в декартовых и поляных координатах.

Длина дуги в декартовых координатах.

Длина дуги АВ – тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю.

Найдем длину кривой, заключенной между вертикальными прямыми x=a и x=b.

Примечание автора. Необходима графическая иллюстрация.

Возьмем на дуге точки с абсциссамиПосле этого проведем хорды. Длины дуг обозначим через

Тогда получим ломаную, вписаную в дугу АВ. Ее длина

Сначала необходимо доказать, что предел (смотри выше) существует.

Функции непрерывны => предел существует.

Итак, формула для вычисления дуги:

Если уравнение задано параметрически

Длина дуги в полярных координатах.

Уравнение задано гдеr – полярный радиус, «фи» - полярный угол.

Для доказательства возьмем и

Тогда сумма квадратов частных производных равняется

Следовательно,

23. Числовые ряды. Сходимость. Остаток ряда. Необходимый признак сходимости.

Определение. Числовой ряд – пара последовательностейигде числа- первый, второй…н-ныйчлен ряда. - первой, второй…н-нойчастичной суммой ряда.

Числовой ряд обозначают:

Иногда члены ряда удобнее нумеровать, начиная с некоторого числа m. Такой ряд обозначается так:

Определение. Если существует конечныйто говорят, что рядсходится (S – сумма ряда), и пишут

В противном случае ряд называют расходящимся и символу ряданикакого значения не присваивают.

Определение. Остаток ряда – величинаприТо есть- естьсумма ряда

Известно, что остаток сходящегося ряда стремится к нулю.

Теорема (необходимый признак сходимости).

Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неогрниченном возрастании n.

Доказательство. Возьмем сходящийся рядТогда имеет место равенство

где S-сумма ряда. Тогда имеет место равенство

Следовательно,

Следствие (достаточный признак расходимости). Если n-й член ряда не стремится к нулю прито рядрасходится.