2. Универсальная тригонометрическая замена.

Применяется для

Выражаем затем через тригонометрические формулы выражаем значения синуса и косинуса:

Примечание. Если тригонометрические функции в четных степенях, проще делать замену:

3. Интегрирование тригонометрических функций.

а. m-нечетное =>

б. n-нечетное =>

в. m и n-четные => формулы понижения степени.

17. Несобственные интегралы от неограниченной функции. Свойства.

Определение. Если существует конечный предел то этот предел называют несобственным интегралом от функции на промежутке и обозначают так

Пусть определена и непрерывна приа прифункция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае нельзя говорить об интегралекак о пределе интегральных сумм, так какнепрерывна на отрезкепоэтому предел может и не существовать.

Интеграл от функции, терпящей разрыв в точке c, определяется следующим образом:

Если предел, стоящий справа, существует, то интеграл несобственный сходящийся, иначе расходящийся.

Если функция имеет разры в левом конце отрезка то по определению

Если разрыв в некоторой точке (внутри отрезка), то полагают(если оба стоящих справа интеграла существуют).

Замечание. Если функция. определенная на отрезке имеет внутри отрезка конечное число точек разрывато интеграл определяется так:(если каждый из интегралов в правой части сходится). Если же хотя бы один из них расходится, то-расходящийся.

Для определения сходимости несобственных интегралов от различных функций могут быть применены теоремы, аналогичные теоремам для оценки интегралов с бесконечными пределами.

Теорема1. Если на отрезке функциииразрывны в точке с, причем во всех точках выполняетсяи еслисходится, то сходится и

Теорема2. Если на отрезке функциииразрывны в точке с, причем во всех точках выполняетсяи еслирасходится, то расходится и

Теорема3. Если - функция знакопеременная на отрезкеразрывная только в точкес, и несобственный интеграл от абсолютной величины этой функции сходится, то сходится также интегралот самой функции.

_________________________________________

В качестве функции, с которыми сравнивают функции под знаком интеграла, часто берут (приинтеграл сходится, прирасходится).

18. Интеграл, зависящий от параметра.

Определение. Функцияназываетсяинтегралом, зависящим от параметра

При изменении параметра меняется значение интеграла. Это и доказывает, что интеграл, зависящий от параметра – функция.

Доказательство. Предположим, чтоиесть непрерывные функции. Найдем производную по параметру х.

А это и есть

Или все это можно представить в другой форме – формула Лейбница

19. Гамма-функция.

Определение. Функцияна промежутке

Интеграл, определяющий гамма-функцию, несобственный по бесконечному промежутку. Приподынтегральная функция терпит разрыв при

Теорема. Гамма-функция определена и непрерывна для любых

Доказательство. Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:

РассмотримДля любого существуетчтоТогда для любогои для любогоx из окрестности выполняется неравенство

Функция интегрируема на этом отрезке. Следовательно, для любогоинтегралсходится и функциянепрерывна при любом

РассмотримИз формулы Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

При для любогоПодберемn так, чтобы Значит присправедливо неравенство

Функция интегрируема на отрезке. Следовательно, при любоминтеграл сходится и функция непрерывна при любом

____

Имеют место следующие утверждения:

1. При любом неотрицательном х

Доказывается интегрированием по частям.

2.

3. При любом натуральном n

4.