9. Интеграл ошибок.

Интеграл определяется формулой:

Укажем некоторые свойства функции Ф(х):

1.Функция определена при всех значениях х.

2. Ф(0)=0.

3.

4. Функция монотонно возрастает на

5. Функция нечетная,

График функции.

Примечание автора. Обязательна графическая иллюстрация.

Составлены подробные таблицы значений этой функции.

10. Интегральный синус. Свойства.

Определяется формулой:

Подынтегральная функция непрерывна, если доопределить ее так:

Так как функция «синус» нечетная, несложно понять, сто и интегральный синус – тоже нечетная.

Взяв вторую производную, и подставив значениеполучаем:

Следовательно, в точках, где k>0 и четные И k<0 и нечетные – минимумы функции. где k<0 и четные И k>0 и нечетные – максимумы.

Примечание автора. Обязательна графическая иллюстрация.

11. Интегральный логарифм.

Специальная функция, определяемая интеграломЭтот интеграл не выражается в конечной форме через элементарные функции. Еслито интеграл понимается в смысле

Он был введен в матем. анализ Эйлером.

Известно, что для больших положительных функций, растет как

12. Интегрирование рациональных дробей.

Требуется вычислить интеграл от рациональной дроби.

Правильная или неправильная?

Если неправильная, представляем ее в виде многочлена М(х) и правильной дроби

Правильную представляем в виде суммы простейших дробей.

Интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

Возможны 4 случая:

1.Корни знаменателя действительны и различны.

2. Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные:

После данного преобразования дроби интегрируются.

3. Корни знаменателя – комплексные, различные.

Разложение и последующее интегрирование аналогично второму случаю.

4. Корни знаменателя – комплексные кратные.

Разложение и последующее интегрирование аналогично трем предыдущим случаем.

16. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку. Теоремы сравнения.

Определение. Если существует конечный предел то этот предел называют несобственным интегралом от функции на промежутке и обозначают так

Говорят, что в этом случае интеграл существует/сходится. Еслиприне имеет конечного предела, то говорят что он расходится/не существует.

Во многих случаях достаточно установить сходится или расходится данный интеграл и оценить его значение. Для этого применяют теоремы сравнения.

Теорема1. Пустьтогда несобственные интегралыи

сходятся или расходятся одновременно. Если сходятся, то справделиво равенство

Доказательство. Следует из аддитивности определенного интеграла по промежутку.

Теорема2.Если F – первообразная к функции f на отрезке то остается справедливой формула Ньютона-Лейбница в виде

Определение. Если интегралсходится, то сходится и

Последний интеграл – абсолютно сходящийся.