33. Ряд Тейлора. Необходимый и достаточный признаки сходимости.

Формула Тэйлора выглядит следующим образом:

остаточный член. Для тех значений х, которых остаточный член мал, многочлен дает приближенное значение функции f(x).

Для того, чтобы функция раскладывалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член стремился к нулю. То есть при

Доказательство. где

Так как, по условию, то

Но - естьn-ная частичная сумма ряда; ее предел равен сумме ряда, стоящего в правой части равенства (). Следовательно, равенство справедливо.

Из предыдущего следует, что ряд Тейлора представляет данную функцию f(x) только при

Если предел не равен нулю, то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции).