Переходные процессы в ЛЭЦ 2014

А. А. КУЗНЕЦОВ, А. В. ПОНОМАРЕВ, А. Ю. ТЭТТЭР

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

ОМСК 2014

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Омский государственный университет путей сообщения

А. А. Кузнецов, А. В. Пономарев, А. Ю. Тэттэр

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Допущено УМО вузов России по образованию в области энергетики и электротехники в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 13.03.02 – «Электроэнергетика и электротехника»

Рекомендовано Экспертным советом по рецензированию Московского государственного университета путей сообщения

к использованию в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению подготовки 13.03.02 – «Электроэнергетика и электротехника» – и

специальности 23.05.05 – «Системы обеспечения движения поездов». Регистрационный номер рецензии 527 от 17 декабря 2014 г.

базового учреждения ФГАУ «Федеральный институт развития образования»

Омск 2014

УДК 621.3(075.8) ББК 31.21я73 К89

Кузнецов А. А. Переходные процессы в линейных электрических це-

пях: Учебное пособие / А. А. Кузнецов, А. В. Пономарев, А. Ю. Тэттэр; Омский

гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2014. 103 с.

Рассмотрены классический и операторный методы расчета переходных

процессов в линейных электрических цепях. Приведены элементы теории, типо-

вые примеры, задания для самостоятельной работы и методические указания для

проведения лабораторных работ и выполнения домашних заданий по дисципли-

не «Теоретические основы электротехники».

Предназначено для самостоятельной работы студентов, обучающихся

по направлению подготовки 13.03.02 – «Электроэнергетика и электротех-

ника» – и специальности 23.05.05 – «Системы обеспечения движения поездов».

Библиогр.: 9 назв. Табл. 5. Рис. 48. Прил. 3.

Рецензенты: доктор техн. наук, профессор К. К. Ким; доктор техн. наук, профессор В. Н. Горюнов; доктор техн. наук, профессор В. В. Харламов.

ISBN 978-5-949-41105-6

_________________________

Омский гос. университет

путей сообщения, 2014

3

4

ВВЕДЕНИЕ

Переходные процессы сопровождают переход электрической цепи или системы из одного установившегося состояния в другое и возникают при лю-

бых изменениях параметров электрических цепей. Мгновенные изменения па-

раметров называют коммутациями. Наиболее распространенными коммута-

циями являются включение или выключение электрических цепей в целом или отдельных их участков.

Переходные процессы в исключительном большинстве случаев длятся какое-то время. Объясняется это тем, что любая электрическая цепь запасает энергию электромагнитного поля. При этом энергия магнитного поля сосредо-

точивается в индуктивностях, а электрического – в емкостях. Электромагнит-

ная энергия не может быть изменена мгновенно, т. е. нельзя ее мгновенно нако-

пить или, наоборот, израсходовать. Это обстоятельство и определяет длитель-

ность протекания во времени любых переходных процессов. В зависимости от количества активных и реактивных элементов, а также от структуры электриче-

ской цепи изменение тока и напряжения в переходных процессах может быть достаточно сложным.

В реальных условиях переходные процессы могут сопровождаться воз-

никновением электрической дуги. В основном это случаи размыкания электри-

ческих ветвей с индуктивностью, накапливающей энергию магнитного поля.

Такие случаи при изучении основ математического исследования переходных процессов в линейных электрических цепях не рассматриваются. Поэтому при изучении методов расчета переходных процессов будут отсутствовать такие коммутации, например, как размыкание ветвей с индуктивностями. К коммута-

циям, используемым во всех приведенных примерах и задачах, применимо до-

пущение об отсутствии электрической дуги.

Настоящее учебное пособие состоит из четырех разделов.

В первом разделе дается обоснование невозможности скачкообразного изменения тока в индуктивности и напряжения на емкости при коммутациях,

вводится понятие «начальные условия», рассматривается математический ап-

парат, используемый при расчете переходных процессов.

Во втором разделе излагаются основы так называемого классического ме-

тода расчета переходных процессов в линейных электрических цепях с сосре-

5

доточенными параметрами [1, 2, 4, 5, 8]. Математической базой этого метода является решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-

тами во временной области. Классический метод применим только для цепей с источниками периодических напряжений и токов. Постоянные и синусоидаль-

ные напряжения и токи можно рассматривать как частные случаи периоди-

ческих.

Третий раздел посвящен операторному методу расчета переходных процессов, базирующемуся на использовании преобразования Лапласа [3, 4, 6 – 8]. Здесь конечный результат достигается с переходом в область ком-

плексного переменного.

Во втором и третьем разделах изложение теоретического материала ил-

люстрируется соответствующими числовыми примерами.

В четвертом разделе приведены задания на выполнение лабораторных,

индивидуальных заданий и для самостоятельной проработки материала. Сту-

денты очной формы обучения решают индивидуальные задачи 1 и 2, а для под-

готовки к контрольной работе – задачу 3. Студенты заочной формы обучения решают задачу 4.

При подготовке настоящего учебного пособия использовались учебно-

методические разработки доктора технических наук, профессора В. Н. Зажирко.

6

1. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ И ПРАВИЛА (ЗАКОНЫ) КОММУТАЦИИ

Значения напряжения, тока или других физических величин в момент на-

чала переходного процесса называют их начальными значениями. Если момент коммутации совмещен с моментом времени t = 0, то используются обозначения i(0), u(0), например: iL(0) – начальное значение тока в индуктивности, а uC(0),

соответственно, – напряжения на емкости.

В зависимости от конкретных условий напряжение и ток в момент ком-

мутации могут изменяться непрерывно или скачком. Например, в схеме на рис. 1, а при замыкании контура ток изменяется мгновенно (рис. 1, б), так как индуктивность и емкость отсутствуют, а следовательно, отсутствует и процесс накопления энергии электромагнитного поля. В момент коммутации, т. е. при t = 0, ток имеет два значения – нулевое и равное Е/R. Чтобы отличать эти зна-

чения, вводятся понятия

lim i 0 t i 0 ;

t 0

(1)

lim i 0 t i 0 ,

t 0

т. е. пределы слева и справа по отношению к моменту t = 0, и, соответственно,

обозначения i(0–) и i(0+) – значения тока непосредственно до и после коммутации.

Вслучае схемы, представленной на рис. 1, а,

i0 0;

i 0 E. (2)

R

i i

Рис. 1. Схема (а) подключения активной нагрузки к постоянной ЭДС и зависимость (б) тока от времени

7

Тем самым обозначается, что функция тока i(t) в момент коммутации t = 0

имеет разрыв, или, другими словами, ток в этот момент времени изменяется мгновенно, или скачком.

Обратимся к другому примеру. Схема на рис. 2, а содержит два элемента – R и L, т. е. сопротивление и индуктивность. Индуктивность накапливает энергию магнитного поля, и для нее справедливо соотношение:

В реальной жизни бесконечные значения uL не имеют места, следова-

тельно, производная тока didt также не может быть бесконечной. Это означает,

что функция индуктивного тока не может иметь разрывов, т. е. она непрерывна.

Отсюда делается вывод о том, что в момент коммутации ток в индуктивности изменяться скачком не может, что и отражено на рис. 2, б.

а б

Рис. 2. Схема (а) подключения ветви R, L к постоянной ЭДС и зависимость (б) тока i и напряжения uL от времени

которое отражает первое правило, или первый закон коммутации, определяю-

щий непрерывность тока в индуктивности.

Аналогичные рассуждения можно провести и для схемы на рис. 3, а.

Примерный характер процессов, возникающих в данной схеме при включении,

показан на рис. 3, б.

8

Емкостный ток в рассматриваемом случае описывается выражением:

Так как бесконечные значения тока невозможны, то производная duC dt

всегда конечна. Следовательно, функция uC (t) непрерывна и разрывов не име-

ет, что справедливо и для моментов коммутации. На этой основе появляется второе правило (закон) коммутации:

согласно которому напряжение на емкости в моменты коммутации не мо-

жет изменяться мгновенно, или скачком.

Рис. 3. Схема (а) подключения ветви R, C к постоянной ЭДС и зависимость (б) тока i и напряжения uC от времени

Непрерывность тока в индуктивности и напряжения на емкости непо-

средственно связана с положением о невозможности мгновенного изменения энергии магнитного и электрического полей. В пользу этого говорят известные формулы для определения энергии магнитного поля в индуктивности и энергии электрического поля в емкости:

WЭ 1СuC2 . 2

9