Переходные процессы в ЛЭЦ 2014

Из системы формул (7) видно, что непрерывным функциям энергии

WM (t) и WЭ(t) соответствуют непрерывные функции тока iL(t) и напряжения

пропорциональны производным. В моменты коммутации функции iL(t) и uC(t) имеют изломы, поэтому их производные и, как следствие, функции uL(t)

и iC (t) (см. рис. 2, б и 3, б) в те же моменты времени разрывны, т. е. изменя-

ются скачком.

Переходные процессы описываются дифференциальными уравнениями.

В случае линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами это дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Условия задач по расчету переходных процессов ставятся так, что моментом начала переход-

ного процесса считается момент t = 0+. Соответственно с этого момента начи-

нается и действие дифференциальных уравнений. Значения искомых токов,

напряжений и их производных приt = 0+ называют начальными условиями.

Различают зависимые и независимые начальные условия. Независимые начальные условия – это ток в индуктивности iL(0+) и напряжение на емкости uC(0+), их определяют по законам коммутации (4) и (6).

Зависимые начальные условия определяют из уравнений для послеком-

мутационного состояния цепи, записанных для момента времени t = 0+ с уче-

том независимых начальных условий.

Определение начальных условий является необходимым этапом при рас-

чете переходных процессов любым методом. Различие лишь в объеме преобра-

зований и вычислений. Из двух рассматриваемых в данном пособии методов явные преимущества на этом этапе имеет операторный метод, который требует определения только независимых начальных условий.

10

полнен определенным физическим содержанием, поэтому особенности приме-

нения метода рассматриваются на специально подобранной последовательнос-

ти схем электрических цепей.

2.2. Переходные процессы в простейших электрических цепях

Рассматриваются электрические цепи с одним накопителем электромаг-

нитной энергии, т. е. с индуктивностью или емкостью. Такие цепи описываются дифференциальными уравнениями первого порядка и, с одной стороны, позво-

ляют наиболее просто отрабатывать изучаемые способы расчета, а с другой – именно на этой основе облегчается понимание физической сущности переход-

ных процессов в более сложных электрических цепях.

2.2.1.Включение цепи R, L на постоянное напряжение

Вмомент времени t = 0 цепь, состоящая из сопротивления R и индуктив-

ности L (рис. 4), включается на постоянное напряжение U = E.

Рис. 4. Схема включения цепи R, L на постоянное напряжение

После коммутации (замыкания ключа) для рассматриваемой схемы мож-

но записать уравнение по второму закону Кирхгофа:

12

корень которого

Переходный ток в цепи состоит из суммы принужденной и свободной составляющих:

Свободная составляющая

Принужденная составляющая (ток нового установившегося режима)

так как индуктивность на постоянном токе представляет собой участок с нулевым напряжением.

После подстановки приходим к выражению

в котором неизвестная постоянная А определяется из уравнения (13) при t = 0+:

Величина i(0+) определяется на основании первого правила коммутации

Ток в цепи

13

Напряжение на индуктивности

Графики функций i(t) и uL(t) представлены на рис. 5.

Рис. 5. Зависимость тока (а) и напряжения (б) от времени

2.2.2.Включение цепи R, C на постоянное напряжение

Вмомент времени t = 0 цепь, состоящая из сопротивления R и емкости С

14

После коммутации для рассматриваемой схемы можно записать уравне-

ние по второму закону Кирхгофа:

Напряжение на емкости uC состоит из суммы принужденной и свободной составляющих:

Свободная составляющая

Принужденная составляющая (напряжение на емкости в установившемся режиме после коммутации)

Величина uC (0 ) определяется на основании второго правила коммутации:

15

2.2.3.Короткое замыкание ветви R, L

Вмомент t = 0 в цепи (рис. 8) происходит коммутация, в результате которой образуется контур для тока i, не содержащий источника.

16

В установившемся режиме до коммутации

R0 R

так как индуктивность на постоянном токе представляет собой участок с нуле-

вым напряжением.

Рис. 8. Схема закорачивания R, L ветви После коммутации для правого контура

Принужденная составляющая (ток нового установившегося режима)

17

Рис.9.Зависимостьтока (а) инапряжения наиндуктивности(б) от времени

18

Ток i и напряжение uL на рис. 9 наглядно иллюстрируют процесс рассея-

ния энергии магнитного поля, накопленной к моменту t = 0 в индуктивности.

По мере того как энергия магнитного поля постепенно рассеивается в сопро-

тивлении R, ток в контуре приближается к нулю.

2.2.4.Включение цепи R, L на синусоидальное напряжение

Вмомент времени t = 0 цепь, состоящая из сопротивления R и индуктив-

ности L (рис. 10), включается на синусоидальное напряжение u Um sin t .

u

Рис. 10. Расчетная схема

Начальная фаза напряжения в такого рода задачах соответствует мо-

менту коммутации t = 0.

Уравнение по второму закону Кирхгофа имеет вид:

Переходный ток в цепи состоит из суммы принужденного и свободного токов:

19