Практ_2 Моменты инерции

Практическое занятие № 2:

Геометрические характеристики сечений

Задача № 1: расчет главных моментов простого составного сечения

При решении задачи следует иметь понятие о главных осях сечения, знать формулы моментов инерции прямоугольного и круглого сечений, а также связь моментов инерции при параллельном переносе оси. Отметим также, что ось симметрии сечения всегда главная.

В задаче задана форма сечения и его размеры в сантиметрах (показано на рисунке). Т.к. сечение имеет две оси симметрии, следовательно, эти оси и есть главные. Требуется рассчитать моменты инерции сечения относительно указанных осей.

1. Р азбиваем заданное сечение элементы:

1-й элемент – прямоугольник со сторонами h = 16 см; b = 32 cм;

2-й элемент – левое круглое отверстие диаметром d = 8 см;

3-й элемент – правое круглое отверстие диаметром d = 8 см.

Покажем собственные главные оси каждого элемента (y₁, y₂, y₃, z₁, z₂, z₃).

2. Рассчитываем момент инерции относительно оси z:

Если сечение разбито на три элемента, то момент инерции относительно оси z будет выражаться математически следующим образом

Т.к. второй и третий элементы – отверстия, их площадь и соответственно моменты инерции отрицательны. Тогда получаем

3. Рассчитываем момент инерции относительно оси y:

Момент инерции относительно оси y рассчитывается аналогично. Однако для обоих отверстий собственные вертикальные оси y₂ и y₃ с осью y всего сечения не совпадают (они смещены параллельно на расстояние а = 8 см). Поэтому для них следует использовать формулу параллельного смещения оси:

Расчет закончен.

Задача № 2: расчет главных моментов простого составного сечения из

стандартных профилей

В задаче задана форма сечения из стандартных профилей с указанием их номеров (показано ниже на рисунке). Сечение также имеет две оси симметрии, следовательно, эти оси и есть главные. Требуется рассчитать моменты инерции сечения относительно указанных осей.

Рассмотрим отдельные элементы заданного сечения и выпишем его основные геометрические параметры из соответствующих сортаментов.

1-й элемент – двутавр № 10 (ГОСТ 8239-89):

в ысота двутавра h₁ = 10 см;

ширина полки b₁ = 5,5 см;

толщина стенки d₁ = 0,45 см;

средняя толщина полки t₁ = 0,72 см;

площадь сечения F₁ = 12,0 см²;

момент инерции = 17,9 см4;

момент инерции = 198 см⁴.

1-й элемент – швеллер № 20 (ГОСТ 8240-89):

в ысота швеллера h₂ = 20 см;

ширина полки b₂ = 7,6 см;

толщина стенки d₂ = 0,52 см;

толщина полки t₂ = 0,9 см;

площадь сечения F₂ = 23,4 см²;

координата положения центра тяжести z₀ = 2,07 см;

момент инерции = 1520 см⁴; момент инерции = 113 см⁴.

Теперь можно выполнить расчеты осевых моментов сечения по показанной выше методике.

Ось y проходит по всем трем центрам тяжести элементов сечений. По этой причине:

Ось z совпадает с осью z₁, а обе оси z₂ и z₃ параллельно смещены относительно оси z на расстояние а. Расстояние а можно рассчитать чисто геометрически следующим образом:

В результате расчетное выражение момента инерции для оси z будет следующим:

Задача № 3: расчет главных моментов инерции составного сечения,

имеющего только одну ось симметрии

В задаче задана форма сечения, имеющего только одну ось симметрии (показано ниже на рисунке). В этом сечении неизвестно положение центра тяжести. Требуется рассчитать моменты инерции сечения относительно главных осей. По определению главные оси обязательно являются центральными. Поэтому в заданном сечении известна только одна главная ось – ось симметрии. Для определения положения второй главной оси необходимо рассчитать положение центра тяжести.

1. Р азбиваем заданное сечение элементы:

1-й элемент – прямоугольник со сторонами h₁ = 15 см; b₁ = 5 cм;

2-й элемент – прямоугольник со сторонами h₂ = 5 см; b₂ = 25 cм.

Покажем собственные главные оси каждого элемента (y₁, y₂, z₁, z₂).

2. Определяем положение центра тяжести сечения:

Т.к. сечение имеет вертикальную ось симметрии, то центр тяжести обязательно лежит на этой оси. Неизвестно его вертикальное положение. Поэтому введем вспомогательную ось z, относительно которой и будем определять его положение. Ее положение выбираем так, чтобы все сечение располагалось в области положительных координат y (в этом случае не будет необходимости контролировать знак участвующей в расчетах этой координаты).

Для определения положения центра тяжести используется статический момент площади сечения относительно оси, который определяется по простой формуле: S_z = y_С · F, где y_С – расстояние от оси до центра тяжести площади F. Для составного сечения:

S_z = y_С1 · F₁ + y_С2 · F₂.

Из рисунка следует, что F₁ = h₁ · b₁ = 15 · 5 = 75 см²; F₂ = h₂ · b₂ = 5 · 25 = 125 см²; y_С1 = h₂ + h₁ / 2 = 5 + 15 / 2 = 12,5 см; y_С2 = h₂ / 2 = 5 / 2 = 2,5 см.

Если бы положение центра тяжести всего сечения было бы известно, то эту же величину по приведенной формуле можно было бы рассчитать иначе:

S_z = y_С · (F₁ + F₂).

Приравнивая правые части выше приведенных уравнений и решая полученное выражение относительно y_С получаем:

3. Рассчитываем момент инерции относительно оси y:

Ось y проходит по центрам тяжести обоих элементов (оси y₁ и y₂ совпадают с осью y). Используя формулу для момента инерции прямоугольного сечения относительно оси симметрии получаем:

4. Рассчитываем момент инерции относительно оси z_с:

Прежде определим расстояния между осями z₁ , z₂ и параллельной им осью z_с. В соответствии с рисунком имеем:

a₁ = y_С1 – y_С = 12,5 – 6,25 = 6,25 см; a₂ = y_С2 – y_С = 2,5 – 6,25 = – 3,75 см.

В последнем выражении a₂ получилось отрицательное, т.к. z₂ смещена относительно оси z_с вниз. С учетом формулы моментов инерции относительно параллельных осей имеем:

Задача № 4: расчет главных моментов инерции составного сечения,

не имеющего осей симметрии

В задаче задана форма сечения, не имеющего осей симметрии (показано ниже на рисунке). Здесь расчет главных моментов инерции существенно сложнее.

1. Р азбиваем заданное сечение элементы:

1-й элемент – прямоугольник со сторонами h₁ = 5 см; b₁ = 20 cм;

2-й элемент – прямоугольник со сторонами h₂ = 15 см; b₂ = 8 cм.

3-й элемент – отверстие d = 4 см.

Покажем собственные главные оси каждого элемента (y₁, y₂, y₃, z₁, z₂, z₃).

2. Определяем положение центра тяжести сечения:

Сначала определяем координаты центров тяжести каждого из элементов сечения для выбранной вспомогательной системы координат z0y, в которой заданной сечение располагается в первом квадранте:

y_C1 = 5 / 2 = 2,5 см; z_C1 = 20 / 2 = 20 см; F₁ = 5 · 20 = 100 cм².

y_C2 = 5 + 15 / 2 = 12,5 см; z_C2 = 8 / 2 = 4 см; F₂ = 15 · 8 = 80 cм².

y_C3 = 5 + 15 – 4 = 16 см; z_C3 = 8 / 2 = 4 см; F₃ = 3,14 · 4² / 4 = 12,56 cм².

Теперь по показанной в предыдущей задаче методике определяем координаты центра тяжести:

Проводим через показанный на рисунке центр тяжести всего сечения вертикальную и горизонтальную оси.

3. Определяем расстояния между параллельными осями z₁ , z₂ , z₃ и осью z_с , параллельными осями y₁ , y₂ , y₃ и осью y_с:

a₁ = y_C1 – y_C = 2,5 – 7,47 = – 4,97 см; a₂ = y_C2 – y_C = 12,5 – 7,47 = 5,03 см;

a₃ = y_C2 – y_C = 16 – 7,47 = 8,53 см;

c₁ = z_C1 – z_C = 10 – 6,89 = 3,11 см; c₂ = c₃ = z_C2 – z_C = 4 – 6,89 = – 2,89 см.

4. Рассчитываем момент инерции относительно оси y_с:

Применяя формулу осевого момента инерции при параллельном переносе оси получаем:

5. Рассчитываем момент инерции относительно оси z_с:

Также применяя формулу осевого момента инерции при параллельном переносе оси получаем:

6. Рассчитываем центробежный момент инерции для системы координат y_с0z_с:

О тметим, что у всех элементов сечения оси y₁ , y₂ , y₃ , z₁ , z₂ , z₃ являются осями симметрии, т.е. главными. Для главной системы координат центробежный момент инерции равен нулю, т.е. Применяя формулу центробежного момента инерции при параллельном переносе оси получаем:

7. Рассчитываем главные моменты инерции заданного сечения:

Отметим, что расчетное значение центробежного момента инерции для системы координат y_с0z_с получилось отличным от нуля. Это означает, что указанная система координат не является главной (хотя является центральной). Следовательно, эту систему координат необходимо повернуть на некоторый угол α_гл. Тангенс указанного угла поворота определяется по следующей формуле:

Тогда

Полеченное значение используем для построения главной системы координат рассматриваемого сечения. На рисунке эти оси обозначены: u и v. Значения главных моментов инерции (максимального и минимального) рассчитываются следующим образом:

Отметим, что если значение центробежного момента инерции меньше нуля (как в нашем случае), то ось максимального момента инерции проходит через первый и третий квадранты. Следовательно,

I_u = I_max = 6431,45 + 6082,63 = 9472,7 см⁴;

I_v = I_min = 6431,45 - 6082,63 = 3390,1 см⁴.

А.В. Климович