КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ
Кручением называется такое нагружение стержня, когда внутри него возникает единственное внутреннее усилие – крутящий момент Mx. Стержень, работающий на кручение, часто называют
валом.
M
M
Mx Mx
x x
∑mx = M – Mx = 0;
скручивающих
сечения.
M |
|
После рассечения вала плоскостью (на |
||
|
|
|||
|
|
рисунке |
обе |
отсеченные части |
|
|
повернуты |
сечением к наблюдателю) |
|
|
M |
из условия равновесия рассчитывается |
||
|
возникающий в |
сечении крутящий |
||
|
|
|||
|
|
момент Mx. |
|
|
|
Mx = М |
|
Он всегда равен: |
|
|
алгебраической сумме всех внешних |
|||
|
|
|||
моментов, действующих с одной стороны от
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПРИ КРУЧЕНИИ
Экспериментально доказано, что при кручении круглого вала расстояние между поперечными насечками (a), его длина и диаметр (d) не изменяются. Радиальные насечки на торце поворачиваются не искривляясь. Следовательно:
a |
1. |
Плоские сечения до закручивания остаются |
||
|
|
|
плоскими после закручивания – справедлива |
|
|
|
d |
гипотеза Бернулли. |
|
|
|
|
2. |
Продольная деформация не возникает – |
|
|
|
нормальные напряжения в сечении отсутствуют. |
|
|
|
M |
3. |
Прямоугольный элемент на поверхности |
|
|
|
испытывает деформацию сдвига – в сечении |
|
|
|
γ |
возникают касательные напряжения. |
|
φ |
4. |
Деформацией вала при кручении является |
||
|
|
|
угол закручивания φ – поворот поперечного |
|
|
|
|
сечения относительно собственной оси. |
|
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ КРУГЛОГО ВАЛА
При рассмотрении вырезанного элемента вала длиною dx, работающего на кручение, можно обнаружить следующее:
dx |
r = d/2 |
||
|
|||
Mx |
С1 |
Mx |
|
|
|
||
В1 |
|
|
|
ρ |
|
γρ |
|
А |
γ |
||
|
|||
dφ |
В С |
|
|
В поверхностном слое
(r - радиус стержня) дуга ВВ1 = r · dφ;
дуга ВВ1 = γ · dх; r · dφ = γ · dх;
γ = r · dφ/dх;
В соответствии с законом Гука |
τ = G · r · dφ/dх; |
при сдвиге τ = G · γ имеем: |
В произвольном внутреннем слое (0 ≤ ρ ≤ r)
дуга СС1 = ρ · dφ;
дуга СС1 = γρ · dх; r · dφ = γ · dх;
γ = ρ · dφ/dх;
(1) τρ = G · ρ · dφ/dх; (2)
Полученные выражения показывают, что при кручении круглого вала касательные напряжения в поперечном сечении меняются по линейному закону, достигая максимума у поверхностного слоя
УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ ПРИ КРУЧЕНИИ
Касательные напряжения в сечении составляют единый замкнутый |
|
поток. Их момент относительно оси вала |
. |
Подставим τρ из формулы (2):
τρ
|
ρ |
dF |
τmax |
Тогда из формул (1) и (2) получим:
Обозначим:
Тогда условие прочности при кручении примет вид:
Величина Wρ получила название полярного момента сопротивления вала. Для
круглого и трубчатого (с соотношением α = d / D) валов эта величина вычисляется соответственно по следующим формулам:
РАСЧЕТ НА ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ
Из формулы (3), полученной ранее следует:
В случае, если крутящий момент на участке длиною l постоянен:
Mx = const,
При n нагрузочных участках:
При распределенном внешнем моменте (Mx = mx):
В некоторых инженерных конструкциях величину угла закручивания ограничивают по техническим условиям. Ограничение задают относительным углом закручивания:
Рекомендуется: