2 курс (заочка) - ВМ и ВвППП [Вычислительная математика и Введение в прикладные программные пакеты MathCad] / Лабораторная работа / Лабораторные (заочн)

Тема 3. Лабораторная работа Интерполяция функций

3.1.Вопросы, подлежащие изучению

1.Постановка задач аппроксимации и интерполяции.

2.Основные понятия: интерполирующая и интерполируемая функции, условие интерполяции. Связь между числом узлов интерполяции и порядком интерполирующего многочлена.

3.Условие единственности решения задачи интерполирования.

4.Интерполяционный многочлен Лагранжа: назначение, область применения.

5.Методика выбора узлов интерполяции при использовании формул Лагранжа и Ньютона.

6.Способы оценки погрешностей интерполяции по формулам Лагранжа и Ньютона. Способы повышения точности интерполяции.

7.Интерполяционная формула Ньютона, область применения.

8.Конечные разности, их назначение и использование. Свойства конечных разностей.

9.Правило выбора начальных узлов интерполяции для формул Ньютона.

10.Практическое правило определения степени интерполяционного многочлена.

11.Сравнение интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.

12.Погрешность интерполяции.

3.2.Задание

1.Выбрать индивидуальное задание из табл. 3-1 и табл. 3-2:

из табл. 3-1 выбрать значения точек интерполяции x=a (для построения многочлена Ньютона) и x=b (для построения многочлена Лагранжа);

для построения многочлена Ньютона узлы интерполяции выбираются самостоятельно из табл. 3-2. В соответствии с методикой выбора узлов интерполяции по значению x=a выбираем 5 узлов интерполяции, используя всю таблицу (область задания интерполируемой функции) и значения функции в этих узлах. Число используемых узлов определяется заданной степенью интерполяционного многочлена, однако для построения таблицы конечных разностей следует выбрать именно 5 узлов. Для интерполяции следует выбрать ту формулу Ньютона, которая обеспечит меньшую погрешность;

для построения многочлена Лагранжа в табл. 3-1 уже заданы номера узлов интерполяции. Узлы выбираются из табл. 3-2 и затем перенумеровываются для обеспечения наименьшей погрешности интерполяции в заданной точке x=b.

2.Выполнить линейную, квадратичную и кубическую интерполяцию табличной функции (табл.3-2) методом Ньютона по формуле, обеспечивающей меньшую погрешность:

построить таблицуконечных разностей;

построить интерполяционные многочлены в явном виде;

вычислить значение интерполирующих многочленов Ньютона в точке x=a;

провести оценку погрешности интерполяции по формулам практической оценки погрешности.

3.Выполнить линейную, квадратичную и кубическую интерполяцию табличной функции (табл.3-2) методом Лагранжа:

построить интерполяционные многочлены в явном виде;

вычислить значение интерполирующих многочленов Лагранжа в точке x b;

оценить погрешности интерполяции по формулам практической оценки погрешности.

3.4. Содержание отчета

1. Индивидуальное задание.

2. Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция функции y f(x), заданной таблично (табл. 3-2) методом Ньютона:

указать последовательность выбранных узлов из всей таблицы 3-2 (x0, x1, x2, x3, x4 для первой формулы Ньютона или xn, xn-1, xn-2, xn-3, xn-4 - для второй формулы Ньютона);

построенная таблица конечных разностей;

построенные линейный, квадратичный и кубический многочлены Ньютона в явном виде и их графики;

записанные в табл. 3-3 значения интерполирующих многочленов Ньютона в точке x=a

3. Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция функции y f(x), заданной таблично (табл. 3-2) методом Лагранжа:

исходная таблица заданных узлов для интерполяции;

измененная таблица перенумерованных узлов интерполяции (перенумеровать

последовательность выбранных узлов из предложенного диапазона x0, x1, x2, x3, x4 для обеспечения минимальной погрешности интерполяции);

построенные линейный, квадратичный и кубический многочлены Лагранжа в явном виде и их графики;

записанные в табл. 3-3 значения интерполирующих многочленов Лагранжа в точке

xb

значения погрешностей интерполяции, вычисленные по формулам практической оценки погрешности записать в табл. 3-3.

4.Интерполяционные многочлены Ньютона или Лагранжа в явном виде и их значения во всех выбранных узлах интерполяции, записанные в табл. 3-4 и 3-5. Сравнить

полученные результаты с таблично заданными значениями. Таблица 3-4

xi

P1(xi)

P2(xi)

P3(xi)

P4(xi)

y=f(xi)

Таблица 3-5

xi

L1(xi)

L2(xi)

L3(xi)

L4(xi)

y=f(xi)

3.5.Пример выполнения задания

1.Задание для интерполяции функции

Выполнить интерполяцию таблично заданных функций и вычислить значения в точках xx=a1=0.4, xx=a2=1 (по методу Ньютона) и x=b=5 (по методу Лагранжа).

2.Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по формуле Ньютона

Пусть функция y=f(x) задана таблично значениями в узлах интерполяции:

Приведем два примера выполнения интерполяции для 1-й и для 2-й формул Ньютона.

1) Для вычисления значения интерполирующей функции в точке xx=a1=0.4 методом Ньютона следует применить 1-ю формулу Ньютона, т.к. точка интерполяции xx=a1=0.4 равноудалена от ближайших к ней узлов (0.3 и 0.5) и находится в начале таблицы. Поэтому выберем узлы интерполяции х0=0.3, х1=0.5, х2=0.7, х3=0.9, х4=1.1 (x0=0.3– ближайший к точке xx=a1=0.4 узел слева).

Для построения интерполяционного многочлена Ньютона в точке a=0.4 воспользуемся

первой интерполяционной формулой Ньютона.

Ближайший к точке а узел слева х=0.3, поэтому полагаем х0=0.3. Для линейной интерполяции следует взять узлы х0=0.3 и х1=0.5.

Для квадратичной и кубической интерполяции выберем соответственно следующие последовательности узлов:

х0=0.3, х1=0.5; х2=0.7; х0=0.3, х1=0.5; х2=0.7; х3=0.9.

2) Для вычисления значения интерполирующей функции в точке xx=a2=1 методом Ньютона следует применить 2-ю формулу Ньютона, т.к. точка интерполяции xx=a2=1 равноудалена от ближайших к ней узлов (0.9 и 1.1) и находится в конце таблицы. Поэтому выберем узлы интерполяции хn=1.1, хn-1=0.9, хn-2=0.7, хn-3=0.5, хn-4=0.3 (xn=1.1– ближайший к точке xx=a2=1 узел справа). Для построения интерполяционного многочлена Ньютона в точке a=1 воспользуемся второй интерполяционной формулой Ньютона.

Ближайший к точке а узел справа х=1.1, поэтому полагаем хn=1.1. Для линейной интерполяции следует взять узлы хn=1.1 и хn-1=0.9.

Для квадратичной и кубической интерполяции выберем соответственно следующие последовательности узлов:

хn=1.1, хn-1=0.9; хn-2=0.7; хn=0.3, хn-1=0.9; хn-2=0.7; хn-3=0.5

для выбранной последовательности узлов построим таблицуконечных разностей:

0.70.7 -0.18 0.1

0.90.52 -0.08

Интерполяция по формулам Ньютона с использованием Mathcad:

Исходная табличная функция (выбранные узлы) для интерполяции:

2 порядка

2y0 y1 y0 0.06 2y1 y2 y1 1 2y2 y3 y2 0.1

3 порядка

3y0 2y1 2y0 1.06 3y1 2y2 2y1 1.1

4 порядка

4y0 3y1 3y0 2.16

Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по 1 формуле Ньютона:

Построение многочленов в явном виде: h x1 x0 0.2

P3(xx) simplify 33.874999999999993025 xx2 22.083333333333329167 xx3 12.479166666666663128 xx 0.411249999999999453

Вычисление значений построенных многочленов в точке xx=a=0.4:

Многочлен 4 степени (пример для сравнения и построения графика):

P4(xx) P3(xx) 4y04 xx x0 xx x1 xx x2 xx x3 24 h

P4(0.4) 0.658

Д л я 1 ф о р м у л ы Н ь ю т о н а :

Д л я 2 ф о р м у л ы Н ь ю т о н а :

PP4(0.4) 0.658 PP4(1) 0.314

Погрешность интерполяции по 2 формуле Ньютона оценивается по формуле:

3.Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по формуле Лагранжа

Пусть функция y=f(x) задана таблично значениями в узлах интерполяции:

Для обеспечения минимальной погрешности интерполяции перенумеруем узлы исходной таблицы. Определим отрезок, содержащий точку интерполяции: точка xx=b=5 находится внутри отрезка [4;6] и выберем из этого отрезка узел x0, ближайший к точке интерполяции xx=b=5. В данном случае эта точка равноудалена от концов отрезка, поэтому за x0 можно взять любой конец отрезка, например x0=4. Тогда другой конец этого отрезка будет узлом x1=6. Далее выбираем узлы, исходя из их близости к точке интерполяции и по возможности симметрично относительно точки интерполяции b=5. Итак,

x0=4, x1=6, x2=2, x3=9, x4=1, x5=10.

Таким образом, получаем таблицу перенумерованных узлов для построения интерполяционного многочлена Лагранжа с минимальной погрешностью в точке b=5: