Sb95841

6. После несложных математических преобразований получим:

2. МЕТОД СИЛ ПРИ РЕШЕНИИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ

Для определения лишних связей (реакций опор) при решении статически неопределимых систем методом сил составляются дополнительные уравнения перемещений, выражающие равенство нулю перемещений по направлениям лишних неизвестных. Эти уравнения удобно составлять в так называемой канонической форме, т. е. по определенной закономерности.

Вначале рассмотрим систему, один раз статически неопределимую

(рис. 2.1, а).

В качестве лишней связи выберем шарнирно-подвижную опору В. Тогда, нагрузив основную систему заданной нагрузкой и лишней неизвестной силой x1 (рис. 2.1, б), нужно приравнять нулю полное перемещение точки В основной системы по направлению x1:

Это каноническая форма уравнения перемещений для единожды статически неопределимой системы. Из (2.2)

x1 1P δ11.

21

Для системы с двумя лишними связями, как, например, на рис. 2.2, a, дополнительные уравнения перемещений сечения А основной системы (рис. 2.2, б) имеют вид 1 0, 2 0, где 1 1 P, x1, x2 – полное перемещение точки А по направлению x1 от заданной нагрузки и лишних неиз-

вестных усилий x1, x2 ; 2 2 P, x1, x2 – полное перемещение точки А по направлению x2 от указанных нагрузок.

Исходя из принципа независимости действия сил, запишем перемещения в виде сумм перемещений, вызванных отдельно каждой из неизвестных сил x1, x2 и заданной нагрузкой Р. Использовав введенные ранее обозначения перемещений, найдем, что

0. (2.3)

Полное перемещение ik можно записать как произведение удельного перемещения δik , вызванного действием единичной силы, на величину соответствующей обобщенной силы:

11 δ11x1, 12 δ12x2, ik δik xk .

Таким образом, выражения (2.3) принимают вид

δ11x1 δ12x2 1P 0; δ21x1 δ22x2 2P 0.

Удельные перемещения δik и перемещения от заданной нагрузки iP вычисляются по формулам Максвелла–Мора. Это – каноническая форма уравнений перемещений для системы, дважды статически неопределимой.

22

По аналогии можно записать в канонической форме уравнения перемещений для любой n раз статически неопределимой системы:

δ11x1 δ12x2 δ1n xn 1P 0; δ21x1 δ22x2 δ2n xn 2P 0;

............................................................ (2.4)

............................................................

δn1x1 δn2x2 δnn xn np 0.

Перемещения ip и ik , входящие в канонические уравнения, чаще

всего определяют по методу Максвелла–Мора (см. уравнения (1.6)). При этом для балок и рам влиянием перерезывающих и нормальных сил обычно пренебрегают и учитывают лишь изгибающие моменты. Однако, определяя перемещения в балках прямоугольного поперечного сечения, для которых отношение высоты сечения к длине пролета h L 15, перерезывающие силы следует учитывать обязательно.

При расчете статически неопределимых рам с большими значениями указанного отношения h L 15 ошибка, вызванная неучетом нормальных и перерезывающих сил, становится существенной, особенно для высокой рамы.

Следует иметь в виду, что в реальных балочных, рамных и арочных конструкциях отношение h L обычно меньше 1/10. Поэтому при определении перемещений в общей формуле Мора вполне допустимо сохранить лишь изгибающие моменты.

Для определения перемещений строим эпюры изгибающих моментов в основной системе отдельно от заданной нагрузки (состояние Р) и от каждой единичной силы: x1 = 1 (состояние 1); x2 = 1 (состояние 2); …; xn = 1 (состояние n).

Ординаты соответствующих эпюров обозначим, как обычно, через

M yp , M y1, M y2 , …, M yn .

Тогда на основании (1.6) найдем

23

Удельные перемещения, имеющие одинаковые индексы и называемые главными коэффициентами канонических уравнений, определяются следующим образом:

Эти перемещения положительны.

Удельные перемещения, имеющие неодинаковые индексы и называемые побочными коэффициентами, определяются по формулам

имогут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Втех случаях, когда кроме внешних нагрузок нужно учесть и влияние температуры, порядок расчета остается прежним. Свободные члены канонических уравнений (2.4) при этом представляют собой перемещения в основной системе, зависящие не только от заданных нагрузок, но и от изменения температуры:

δ11x1 δ12x2 δ1nxn 1P 1T ;

................................................................ (2.5)

δn1x1 δn2x2 δnn xn nP nT ,

где iT – перемещения в основной системе по направлению силы Xi , вызванное изменением температуры.

Определив коэффициенты δik и четыре свободных члена iP и iT из системы линейных уравнений (2.5) находим значения лишних неизвестных усилий x1, x2, ..., xn . Далее обычным способом строим эпюры внутренних усилий N, Q, M y в элементах системы. Иногда строить эпюры удобно методом сложения

эпюров Мура с эпюрами M y1, M y2, ..., M yn , предварительно умноженными на

Q Q1x1 Q2x2 ... QP;

N N1x1 N2x2 ... NP.

Следует отметить, что буквенный вид канонических уравнений остается неизменным при любом возможном варианте основной системы. Изменяется лишь смысл лишних неизвестных и геометрический смысл перемещений. Например, при выборе в качестве лишних неизвестных внутренних сил в каких-либо сече-

24

ниях коэффициенты в канонических уравнениях представляют собой соответствующие взаимные перемещения сечений по направлению лишних неизвестных усилий.

На рис. 2.3 показана трижды статически неопределимая плоская рама (рис. 2.3, a) и два варианта основной системы (рис. 2.3, б, в). Для любой трижды статически неопределимой системы канонические уравнения имеют вид

При выборе основной системы по первому варианту (рис. 2.3, б) система уравнений (2.6) выражает требование равенства нулю перемещений сечения А по направлениям x1, x2, x3.

Второй вариант основной системы (рис. 2.3, в) образован разрезом ригеля. Поскольку в плоской системе в сечениях действуют три силовых фактора (нормальная сила, перерезывающая сила и изгибающий момент), то к сторонам разреза следует приложить в качестве лишних неизвестных указанные силовые факторы x1, x2, x3, выражающие взаимное действие обеих частей системы друг на друга в данном сечении. При таком выборе основной системы уравнения (2.6) выражают равенство нулю полных взаимных перемещений сторон разреза по направлениям лишних неизвестных.

Третье уравнение системы (2.6) означает равенство нулю перемещения по направлению x3, т. e. взаимного угла поворота сторон разреза под действием заданной нагрузки и лишних неизвестных усилий.

25

Приняв в качестве лишних неизвестных внутренние усилия, во многих случаях можно значительно упростить расчет. Например, если исходная система симметрична (по конфигурации и расположению жесткостей), то основную систему выгодно строить также симметричной, приняв при этом, что некоторые побочные коэффициенты канонических уравнений будут равны нулю. Так, при расчете симметричной рамы (рис. 2.3, a) основную систему целесообразно получить разрезом горизонтального стержня (ригеля) посередине (рис. 2.4, a). При этом основная система будет также симметричной. Тогда в числе лишних неизвестных будем иметь симметричные усилия x1, x3 и кососимметричные усилия x2.

Эпюры изгибающих моментов от усилий x1 = 1, x2 = 1 и x3 = 1 показа-

ны на рис. 2.4, б–г. Следует заметить, что эпюры M y1 и M y3 симметричны,

а эпюр M y2 кососимметричен. Перемножение симметричного эпюра на ко-

сосимметричный дает в результате нуль.

Определим перемещение δ12 δ21. Здесь удобно применить способ Верещагина – перемножение эпюров, где результат вычисления интеграла есть произведение площади одного эпюра на ординату другого, взятого под центром тяжести площади первого эпюра:

Рис. 2.4

26

Таким образом, система уравнений (2.6) упрощается и примет вид

эпюр М ур также кососимметричен (рис. 2.4, а) и перемещение 1p 3 p 0.

Тогда из первого и третьего уравнений (2.7) следует, что симметричные усилия в месте разреза равны нулю: x1 0, x3 0.

Следует отметить, что когда нагрузка симметрична, то эпюр М ур также симметричен и 2 p 0. Тогда из второго уравнения (2.7) следует, что косо-

симметричное усилие x2 0.

Как было показано ранее, коэффициенты и свободные члены системы канонических уравнений представляют собой перемещения в основной системе, вызванные действием единичных неизвестных сил и приложенной нагрузкой. Они определяются перемножением эпюров изгибающих моментов. При перемножении эпюров (использование метода Верещагина) могут быть допущены ошибки, что может дать значительные погрешности в определении перемещений. При этом результат решения канонических уравнений будет неверным.

Для оценки ошибки необходимо проводить проверку полученных коэффициентов системы канонических уравнений.

Построчная проверка:

– загрузим основную систему одновременно всеми лишними неизвестными, равными единице, и построим от них в основной системе эпюр изгибающих моментов. Его ординаты обозначим через M ys . Тогда для каждого

сечения системы имеем

My M y1 M y2 ... M yn;

–умножим суммарный эпюр на каждый из единичных эпюров поочередно. При этом получим суммарные значения коэффициентов при неизвестных, входящих в каждое из уравнений системы канонических уравнений:

n

δ1s δ1i δ11 δ12 δ13 δ1n; i 1

27

где δ1s , δ2s , δ3s , ..., δns – суммы коэффициентов в строке.

Проверка вычисленных коэффициентов (перемещений), входящих в первое каноническое уравнение, состоит в сопоставлении их суммы с величиной δ1s , т. е. для каждой k-й строки

n

δki δks. i 1

Для универсальной проверки составим сумму коэффициентов канонического уравнения δ1s , δ2s , δ3s , ..., δns :

Значит, δ δss.

28

Собственно универсальная проверка состоит в следующем:

1. Алгебраическим сложением определяется сумма всех найденных коэффициентов (единичных перемещений), входящих в систему канонических уравнений:

2. Проверяется выполнение условия δ δss.

Для отыскания ошибок в определении коэффициентов пользуются нера-

венством δiiδik δik2 .

Для проверки значений коэффициентов канонических уравнений, зависящих от нагрузки, поступают следующим образом:

заданной нагрузки в основной системе;

– проверяют выполнение условия

n

ip 1p 2 p ... np sp.

i 1

Для оценки погрешности расчета можно ограничиться универсальной проверкой. Для определения ошибки при вычислении коэффициентов рекомендуется проводить построчную проверку.

Приведенные формулы и рассуждения рассмотрены на примерах стержневых систем, испытывающих деформацию изгиба, однако все полученные математические зависимости справедливы для систем любого вида. Различие заключается лишь в форме выражений для вычисления коэффициентов (2.4).

29

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица П.1

Механические характеристики конструкционных материалов

30