Наличие интегрирующей обратной связи ухудшает устойчивость замкнутой системы управления. Таким образом, необходимо найти оптимальный закон управления для моделей (4.7) и (4.8).

Для приведения уравнений объекта управления (4.7) к виду (4.2) используются следующие обозначения: x(t) = ϕ(t),ω(t),β(t), zg (t) т, y (t) = x(t); тогда матрицы, входящие в (4.2), примут следующий вид:

где I – единичная матрица. Из выражения (4.1) видно, что матрицу C можно не учитывать. Аналогичным образом можно привести уравнения объекта

(4.8) к виду (4.2).

Значения коэффициентов матриц состояния A и управления B системы уравнений (4.2) приведены в табл. 2.1. Значение коэффициента a23 опреде-

ляется при выполнении расчетов балансировочных режимов судна.

При решении задач синтеза оптимальной системы стабилизации судна следует использовать весовые матрицы следующего вида:

4.3.Синтез закона управления СВП по заданным собственным частотам

Вслучае, когда к системе стабилизации предъявляются требования по качеству динамики переходного процесса, удобно использовать метод синтеза регулятора по собственным частотам. Пусть математическая модель имеет вид (4.2), а искомый регулятор состояния – (4.3).

Динамика замкнутой системы описывается уравнением

x(t) = Acx(t) =(A − BK )x(t)

и определяется собственными частотами матрицы Ac или корнями характеристического полинома

D(s) = det[sI −(A − BK )]= sn + dn−1(K )sn−1 + + d1(K )s + d0 (K ).

24

Коэффициенты характеристического полинома очевидным образом зависят от вектора коэффициентов регулятора K .

Если требуемое качество динамики задается в виде совокупности собственных частот s01, s02, , s0n , то можно записать желаемый характеристический полином замкнутой системы:

сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, полученных приравниванием коэффициентов желаемого и рассчитываемого характеристических полиномов при одинаковых степенях:

Для скалярного управления система уравнений (4.9) всегда имеет единственное решение, если пара матриц (A, B) управляема. Однако следует за-

метить, что если заданные собственные частоты имеют высокий порядок кратности, то система уравнений становится плохо обусловленной, что приводит к значительным вычислительным трудностям и погрешностям.

Если управляемый объект имеет несколько каналов управления, то система (4.9) будет иметь в m раз больше неизвестных, чем уравнений (m – количество каналов управления). В этом случае задача имеет бесконечное множество решений, в связи с чем применение синтеза по собственным частотам затруднительно.

Постановка задачи синтеза по заданным собственным частотам предполагает выбор вида и корней желаемого характеристического полинома. Для этой цели удобно использовать стандартные характеристические полиномы, имеющие общую форму и разные корни, нормированные по одной (базовой) частоте s0 . Применяются следующие формы стандартных полиномов:

биномиальный полином – Dn (s)=(s + s0 )n ;

полиномы Баттерворта – Dn (s) = n∏2(s2 + 2ζis0 p + s02 ); ζi =sin(π2n).

i=1

25