rQ3PkAPUVO

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

_________________________________

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

_____________________________________

ИНТЕГРАЛЬНАЯ И ВОЛОКОННАЯ ОПТИКА

Методические указания к практическим занятиям

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2015

УДК 621.382

Интегральная и волоконная оптика: методические указания к практичес-

ким занятиям / сост.: Д. С. Агафонова, А. И. Сидоров. СПб: Изд-во СПбГЭТУ

«ЛЭТИ», 2015. 32 с.

Содержит краткие общие сведения и методики расчетов для проведения практических занятий по курсу «Интегральная и волоконная оптика». Описа-

ны явления на границе раздела сред, понятие волноводной моды, связанные волноводы, оптические композитные среды, волоконно-оптические линии связи. Даны рекомендации по методике расчетов.

Методические указания предназначены для магистров направления

210143.68 – « Квантовая и оптическая электроника».

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2015

2

ВВЕДЕНИЕ

Оптические волноводы представляют собой протяженные структуры, внутри которых могут распространяться электромагнитные волны в видимой и инфракрасной областях спектра. В простейшем случае оптический волновод представляет собой диэлектрический стержень круглого сечения (волокно) или прямоугольного сечения с поперечным размером, сравнимым с длиной волны. Несмотря на такую простоту распространение электромагнитной волны в подобной структуре существенно отличается от ее распространения в свободном пространстве или в диэлектрическом стержне с поперечным размером, много большим длины волны. Описанием свойств оптических волноводов и созданием на их основе новых оптических устройств для передачи и обработки информации занимается специальное направление науки и техники – волоконная и интегральная оптика. Оптические волокна используются в волоконно-оптических линиях связи (ВОЛС) и позволяют передавать большие объемы информации на расстояния в десятки тысяч километров. Интегрально-оптические устройства на основе оптических волноводов обладают сверхвысоким быстродействием и малой мощностью управления. Возможность передачи больших объемов информации и обработки этой информации с высокой скоростью и малыми энергозатратами на управление определяет бурное развитие интегральной и волоконной оптики в настоящее время.

В данных методических указаниях основное внимание уделено физическим принципам формирования и распространения волноводных мод в оптических волноводах, условиям осуществления электромагнитной связи для пары планарных волноводов, методам описания композитных сред с нанообъектами и функционированию ВОЛС при ограничении по мощности оптического сигнала. Цель данных методических указаний – дать необходимые представления о методиках моделирования соответствующих физических явлений и параметров элементов интегральной и волоконной оптики и сформировать навыки самостоятельной интерпретации полученных результатов.

3

1. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОТРАЖЕНИЯ И СДВИГА ФАЗ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД

Целью работы является изучение явлений на границе раздела двух диэлектрических сред при распространении электромагнитного излучения.

Предмет исследования – изучение эффектов и законов оптики, приводящих к волноводному распространению электромагнитной волны.

1.1. Общие сведения

Основным свойством оптического волновода является способность каналировать электромагнитную энергию оптического диапазона. В лучевом приближении это свойство волновода иллюстрирует рис. 1.1.

1 Волновод на рисунке представ-

ляет собой трехслойную (1–3) струк-

2

туру из материалов с разными оптическими свойствами. В случае каналирования луч распространяется по центральному слою 2.

Очевидно, что такое распро-

3

странение луча возможно при условии его отражения от границ между средами. Поэтому рассмотрим законы оптики, описывающие отражение и преломление света на границе между двумя средами с показателями преломления n1 и n2 (рис. 1.2).

Из граничных условий можно вывести [1], [2] три основных закона, описывающих свойства лучей при отражении и преломлении:

1. θ3 = θ1 (угол падения равен углу от-

ражения).

2. sin θ2/sin θ1 = n1/n2 (закон Снелли-

уса).

3. Законы Френеля.

Рассмотрим подробнее законы Френе- Рис. 1.2 ля для компонент электрического поля волны. Амплитуды электрического поля

4

падающей (Е1), отраженной (Е3) и преломленной (Е2) волн связаны следую-

щими соотношениями:

для случая, когда вектор электрического поля (Е) перпендикулярен плоскости падения излучения (TE-поляризация), и соотношениями:

для случая, когда вектор электрического поля (Е) параллелен плоскости падения излучения (TМ-поляризация).

Коэффициенты отражения (R) и пропускания (T) могут быть определены по следующим формулам:

Рассмотрим важный для оптических волноводов случай, при котором излучение полностью отражается от границы двух сред (R = 100 %). Данная ситуация реализуется при угле падения, большем критического угла θс. Кри-

тический угол падения определяется из выражения sin(θc ) = n2 n1 .

Из приведенного выражения следует, что эффект полного внутреннего отражения может возникать лишь при выполнении условия n1 > n2. Это условие также является необходимым для каналирования излучения.

Зависимость коэффициента отражения на границе двух сред от угла падения показана на рис. 1.3, а. Отметим, что для ТМ-поляризации коэффициент отражения достигает нуля при угле Брюстера θБр = arctg n2/n1.

Рассмотрим некоторые важные эффекты, возникающие при полном внутреннем отражении.

1. При отражении от границы двух сред происходит сдвиг фазы отраженной волны. Величина сдвига фазы задается выражением

для случая ТЕ-поляризации падающего излучения и выражением

5

100

π

Рис. 1.3

для случая ТМ-поляризации. Зависимости сдвига фазы отраженной волны от угла падения показаны на рис. 1.3, б.

2. Полное внутреннее отражение сопровождается смещением пучка вдоль оси z (сдвиг Гуса– Хеншена). Это происходит за счет проникновения излучения за границу двух сред в виде затухающей волны (рис. 1.4). Величина смещения пучка по оси z задается следующим соотношением:

для случая ТЕ-поляризации и соотношением

для случая ТМ-поляризации. Здесь k – волновое число (k = 2π/λ). Сдвиг фазы при отражении волны от границы сред и сдвиг Гуса– Хеншена существенно влияют на особенности распространения оптических сигналов в диэлектрических волноводах.

1.2.Задания

Всоответствии со своим вариантом (табл. 1.1) произвести расчет коэффициентов отражения и сдвига фаз на границе раздела двух сред и проанализировать результаты.

6

Для этого выполнить следующие задания:

1.Построить зависимости коэффициента отражения и сдвига фаз от угла падения для произвольной электромагнитной волны.

2.Определить критический угол падения.

3.Построить зависимости кажущейся глубины проникновения (x) и величины смещения пучка (z) от угла падения для произвольной электромагнитной волны.

1.3.Содержание отчета

Вотчете по практической работе необходимо представить: 1. Цель работы.

2. Краткое описание явлений на границе раздела двух сред, в том числе

возникновения полного внутреннего отражения.

3.Графики рассчитанных зависимостей.

4.Величину критического угла.

5.Объяснения происхождения экстремумов на полученных зависимостях, если такие имеются.

6.Пояснения относительно физических эффектов, возникающих в вашем случае, и их роли в оптических волноводах.

7.Выводы.

2. ПОСТРОЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛЕЙ НАПРАВЛЯЕМЫХ МОД

ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОГО ПЛАНАРНОГО ВОЛНОВОДА

Целью работы является изучение распространения электромагнитного

излучения внутри планарного оптического волновода.

7

Предмет исследования – изучение распределения компонент электри-

ческого поля для ТЕ- и ТМ-направляемых мод и изучение влияния типа моды на степень проникновения излучения в обкладки волновода.

2.1. Общие сведения

Методы расчета параметров оптических волноводов можно разбить на две основные группы: методы геометрической оптики и методы электродинамики. Методы геометрической оптики отличаются простотой и наглядностью и в ряде случаев позволяют получить достаточно точное описание характеристик волновода. Методы электродинамики, основанные на решении уравнений Максвелла, являются более громоздкими. В то же время, они дают более полное и точное описание свойств волновода. В частности, они позволяют получить распределение поля электромагнитной волны в волноводе с учетом ее поляризации и описать волноводы сложной структуры.

Электродинамические методы расчета оптических волноводов основаны на решении уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла описывают распространение электромагнитных волн в пространстве.

Электромагнитная волна характеризуется векторами электрического и магнитного полей – Е и Н. Тремя другими векторами – D (вектор электрического смещения), В (вектор магнитной индукции) и j (плотность тока) характеризуется влияние среды на распространение волны. Уравнения Максвелла задают связь между указанными векторами:

rot H – 1/ c ∂D/∂t = 4π/cj, rot E+1/c ∂B/∂t = 0.

Данные векторные уравнения дополняются двумя скалярным соотношениями

div D = 4πρ; div B = 0,

где ρ – плотность зарядов.

Кроме того, приведенные ранее уравнения дополняются тремя материальными уравнениями, которые учитывают влияние поля волны на вещество. Для неподвижной и изотропной среды они имеют вид

j = σE, D = εE, B = µH.

Здесь σ – удельная проводимость среды; ε и µ – диэлектрическая и магнитная проницаемости среды соответственно.

8

При практическом расчете оптических волноводов уравнения Максвелла используются в виде волновых уравнений. В большинстве задач можно использовать скалярные волновые уравнения и пренебрегать быстро меняющимся множителем exp(– iωt). Тогда решение скалярного волнового уравнения для гармонической волны в общем случае будет иметь вид

Е(x, y, z) = А(x, y) exp(– iβz) и Н(x, y, z) = B(x, y) exp(– iβz).

Неизвестные постоянные А(x, y) и В(x, y) могут быть определены из конкретных граничных условий задачи.

Рассмотрим пример расчета характеристик мод планарного волновода методом решения волнового уравнения для ТЕ-поляризации волны [3]. Центральный слой волновода (рис. 2.1) имеет показатель преломления n1 и тол-

щину 2а. Диэлектрические слои, окружающие волновод, имеют показатели преломления n2 и n3. Профиль показателя преломления – ступенчатый.

x = 0

n3

φ

x

n1

z

φ

x = −2 a

n2

Рис. 2.1

Для формирования направляемых мод необходимо, чтобы показатель преломления центрального слоя был больше показателей преломления окружающих сред: n1 > n2, n1 > n3. Пусть, для определенности, n2 ≥ n3. Тогда константа распространения β заключена в интервале

n1k ≥ β ≥ n2k ≥ n3k.

При поиске решения примем во внимание следующие факторы. Так как в положительном и в отрицательном направлениях по оси y волновод неограничен, то распределение полей мод в этих направлениях однородно. Следовательно, все производные по y в волновых уравнениях обращаются в ноль. Кроме того, зависимость поля моды от координаты z задается множителем exp(– iβz). В этом случае задача сводится к одномерной и скалярные волновые уравнения электрической компоненты поля волны Е = Еy для трех областей волновода (см. рис. 2.1) можно записать следующим образом:

9

¶2 E3 - r 2 E3 = 0 , x ³ 0;

¶x2

¶2E1 +q2E1 =0 , -2a £ x £0; ¶x2

¶2E2 - p2E2 =0 , -2a ³ x. ¶x2

Здесь r, p и q – определяются как

Граничные условия для данной геометрии волновода заключаются в непрерывности касательных компонент векторов Е и Н и их производных на границах раздела сред:

E3(x = 0) = E1(x = 0), E2(x = –2 a) = E1(x = –2 a);

Для нахождения вида решений волновых уравнений воспользуемся уже известным свойством направляемых мод – их поле должно затухать вне центрального слоя волновода. Кроме того, известно, что функции, описывающие распределение поля волноводных мод, могут быть как четными, так и нечетными. С учетом свойств волноводных мод и условий непрерывности на границах раздела можно сразу задать конкретный вид решений волновых уравнений для трех областей волновода:

Неизвестные константы А и В могут быть найдены подстановкой данных решений в выражения для граничных условий. Необходимо напомнить, что для получения полного выражения для электрической компоненты поля вол-

ны, полученные выше решения требуется умножить на exp(– iωt)·exp(– iβz).

Аналогичным образом могут быть получены решения для Н-компоненты волноводной моды.

10