rQ3PkAPUVO

Исключив из этих уравнений отношение A/B, получим характеристическое уравнение для ТЕ-мод:

tg2aq = ( p + r )q . q2 − pr

С точностью до Nπ это уравнение совпадает с характеристическим уравнением, полученным методами геометрической оптики.

Для ТМ-моды распределение компоненты магнитного H и электрического Е полей в поперечном сечении будет иметь вид

Таким образом, метод решения волновых уравнений позволяет определить не только параметры волноводных мод, но и пространственное распределение компонент поля электромагнитной волны, распространяющейся в волноводе.

Для обозначения моды, в распределении поля которой имеется N узлов, используется обозначение TEN или TMN. Для низшей (основной) моды N = 0. На рис. 2.2 приведены распределения электрического поля для ТЕ0- и ТЕ1-мод.

Определим число направляемых

мод, используя условие отсечки β =

Рис. 2.2

= n2k, которое на языке модового опи-

11

сания означает нарушение локализации поля излучения и расплывание этого поля в область с n2. Общее число направляемых ТЕ и ТМ-мод

Усредненное по времени значение потока энергии Р в волноводе равно интегралу по поперечному сечению волновода от компоненты вектора Пойтинга Sz в направлении оси z:

Интеграл в выражении для Р следует разложить на три слагаемых, соответствующих трем слоям волновода. Тогда полная мощность задается выражением

где – эффективная ширина волновода (ТЕ-мода), кото-

рая на языке модового описания является расстоянием между точками в областях с n2 и n3, в которых интенсивность поля падает в е раз по отношению к значению интенсивности на соответствующих границах раздела. Таким образом, w оказывается мерой проникновения поля в оболочку волновода. Для ТМ-мод w определяется выражением

12

2.2.Задания

Всоответствии со своим вариантом (табл. 2.1) произвести расчет планарного трехслойного оптического волновода и проанализировать результаты.

Для этого выполнить следующие задания:

1. Построить распределение электрического поля в поперечном сечении трехслойного планарного волновода для ТЕN- и ТМN-направляемых мод для заданных N.

2.Определить количество направляемых ТЕ- и ТМ-мод в волноводе.

3.Определить эффективную ширину для каждой моды.

4.Определить долю мощности от общей мощности излучения, распространяющегося в сердцевине волновода.

5.Построить зависимости эффективной ширины и доли мощности в сердцевине волновода от номера моды.

2.3.Содержание отчета

Вотчете по практической работе необходимо представить: 1. Цель работы.

2. Краткое описание методики расчета волновода.

3. Графики рассчитанных зависимостей.

4. Определенное количество направляемых мод.

13

5.Ваши комментарии, основанные на проведенном расчете, относительно влияния типа направляемой моды на распределение полей в поперечном сечении и значений найденных параметров.

6.Ваши рассуждения относительно последствий установленных закономерностей с точки зрения практического использования оптических волноводов.

7.Выводы.

3. РАСЧЕТ СВЯЗАННЫХ ВОЛНОВОДОВ

Целью работы является изучение явления электромагнитной связи для планарных оптических волноводов.

Предмет исследования – изучение влияния параметров волноводов и межволноводной среды на коэффициент связи волноводов.

3.1. Общие сведения

Электромагнитная волна, распространяющаяся в волноводе в виде волноводной моды, имеет компоненты поля, выходящие за пределы сердцевины волновода (см., например, рис. 2.2). Эти компоненты поля существуют в виде затухающей электромагнитной волны, амплитуда которой экспоненциально уменьшается по мере удаления от границы сердцевины волновода. Однако если рядом с волноводом на малом расстоянии расположен другой волновод, то затухающая волна может проникать в этот волновод и возникнет электромагнитная связь между двумя волноводами. В этом случае при определенных условиях мощность оптического сигнала может переходить из одного волновода в другой, и наоборот. Система из двух и более оптических волноводов, между которыми существует электромагнитная связь, называется связанными волноводами.

Рассмотрим некоторые свойства системы из двух связанных планарных волноводов, расположенных на расстоянии d друг от друга (рис. 3.1). Для описания системы двух связанных волноводов могут быть использованы методы теории возмущений. Второй волновод

Рис. 3.1 рассматривается как возмущающий фактор, приводящий к изменению показате-

14

ля преломления первого волновода [4], [5]. Теория возмущений позволяет получить систему из двух уравнений, описывающих амплитуды поля А(z) в двух связанных волноводах:

∂A1,2 = k1,2 A2,1 exp( i (β2 − β1)z).

∂ z

Здесь индексы 1 и 2 относятся к первому и второму волноводам соответственно; K – коэффициент связи между волноводами; β – константа распро-

В этом выражении k0 – волновое число; R = R(x, y) – поперечные компоненты поля мод; δn – возмущающая добавка к показателю преломления первого волновода.

Практический интерес представляет случай, когда связь между волноводами максимальна. Такая связь возникает при выполнении условия фазового синхронизма – равенства фазовых скоростей мод в двух волноводах. При этом

∆β = β1 – β2 = 0, k1 = k2 = k.

В данном случае система уравнений, описывающая компоненты поля A(z) связанных мод, примет простой вид:

Отсюда можно получить выражения для компонент поля мод связанных волноводов в условиях фазового синхронизма:

A1 = A0 cos ( k z)exp(− iβ z);

A2 = − iA0 sin( k z)exp(− iβ z).

Здесь А0 – константа, определяемая из граничных условий; β = β1 = β2. В вы-

ражение для А1 входит функция cos(kz), а в выражение для А2 – функция sin(kz). Это означает, что амплитуды поля мод в первом и во втором волноводах изменяются по периодическому закону вдоль направления распространения электромагнитных волн. Причем при увеличении мощности волны в од-

15

ном волноводе происходит уменьшение мощности волны во втором волноводе (рис. 3.2), т. е. происходит периодическая перекачка мощности из одного волновода в другой. Полная перекачка мощности из первого волновода во второй происходит на расстоянии z = = L (рис. 3.2). Параметр L называется длиной связи и в условиях фазового синхронизма определяется из выра-

жения

L = πk/2.

Для двух одинаковых (n2 = n4)

планарных волноводов с ТЕ-модами

Рис. 3.2

при ∆β = 0 и условии (n2 – n3)/n2 << 1

выражение для коэффициента связи примет вид

ент связи экспоненциально зависит от расстояния между волноводами d, а также является функцией показателей преломления волноводов n2 и среды между ними n3. Изменяя данные параметры, можно изменять коэффициент связи и тем самым управлять процессом перекачки мощности из одного волновода в другой.

Связанные волноводы широко используются в волоконной и интегральной оптике. Области применения связанных волноводов – для распределения оптических сигналов между волноводами, в направленных ответвителях, мультиплексорах, оптических переключателях, волноводных решетках и волноводных фильтрах. Связанные волноводы используются также для оптической накачки волоконных лазеров.

На рис. 3.3, а показан направленный ответвитель на основе связанных волноводов. В этом устройстве часть мощности оптического сигнала переходит из основного волновода во второй волновод, имеющий с основным электромагнитную связь. Доля мощности, перешедшей во второй волновод, зависит от длины связи L и расстояния между волноводами.

На рис. 3.3, б показан волноводный фильтр, состоящий из кольцевого волноводного резонатора, связанного с основным волноводом. Кольцевой ре-

16

2. Определить три набора оптимальных параметров (z, d) по набору входных данных (λ, D, n2, n3):

а) при полной перекачке оптической мощности во второй волновод;

б) при заданной доле перекачанной мощности P2.

3. Определить максимальное расстояние между волноводами для задан-

ных деления по мощности P2 и набору параметров (λ, D, n2, n3) при z = 2 мм.

3.3.Содержание отчета

Вотчете по практической работе необходимо представить: 1. Цель работы.

2. Краткое описание явления электромагнитной связи в оптических вол-

новодах.

3.Графики рассчитанных зависимостей.

4.Таблицы наборов оптимальных параметров.

5.Значение максимального расстояния между волноводами и описание методики ее определения.

6.Ваши комментарии, основанные на проведенном расчете, относительно влияния исходных параметров волноводов и окружающей среды на электромагнитную связь между волноводами.

7.Описание применения данного физического явления в интегральной

иволоконной оптике.

8.Выводы.

4. РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ КОМПОЗИТА

Целью работы является изучение основных методов расчета оптических свойств композитной среды, содержащей наночастицы.

Предмет исследования – расчет коэффициентов поглощения композитной среды.

4.1. Общие сведения

Оптический композитный материал представляет собой прозрачную среду, содержащую включения из инородных материалов. Наличие инородных включений позволяет изменять показатель преломления и коэффициент поглощения среды в широких пределах, изменять ее окраску; получать среды с новыми нелинейно-оптическими свойствами. Оптические композиты широко применяются в оптике. Примерами оптических композитов являются

18

стекла, содержащие наночастицы полупроводников или металлов, стеклокерамики, суспензии наночастиц в жидкостях и др.

Для расчета оптических свойств композитных материалов могут быть использованы два метода. Первый метод основан на вычислении коэффициента пропускания композитной среды с учетом поглощения и рассеяния. Во втором методе определяется эффективная диэлектрическая проницаемость композитной среды без учета светорассеяния. Рассмотрим кратко оба метода расчета.

Коэффициент пропускания Т слоя среды толщиной d определяется как

Т = Евых/Е0.

Здесь Евых – энергия прошедшего через среду излучения; Е0 – энергия пада-

ющего излучения. Для композитной среды, содержащей частицы одного типа с концентрацией N и с известными сечениями поглощения и рассеяния σa и

σs, в приближении однократного рассеяния энергия излучения прошедшего через слой среды строго по оси z (рис. 4.1, а) выражается как

Eвых = E0exp[– σeNd] = E0exp[– ( σa + σs)Nd].

Следовательно, коэффициент пропускания можно представить в виде

Т = exp[– ( σa + σs)Nd].

Приближение однократного рассеяния предполагает, что при прохождении через среду каждый луч пучка излучения претерпевает рассеяние не более одного раза (см. рис. 4.1, а). При многократном рассеянии лучи в среде по крайней мере несколько раз взаимодействуют с частицами, каждый раз претерпевая рассеяние (см. рис. 4.1,

б). Очевидно, что приближение однократного Рис. 4.1 рассеяния справедливо для тонких слоев среды и/или малой концентрации частиц.

Если композитная среда содержит несколько типов частиц, то выражение для коэффициента пропускания примет вид

19

Здесь индекс i соответствует группе частиц с одинаковыми характеристиками.

Оптическими характеристиками частиц являются сечение поглощения σa, сечение рассеяния σs и сечение экстинкции σe. Сечения поглощения и рассеяния определяются следующим образом:

σa = Wa/S, σs = Ws/S,

где Wa – скорость поглощения энергии частицей; Ws – скорость рассеяния энергии частицей; S – количество энергии, падающей в единицу времени на единичную площадку в сечении частицы. Единица измерения сечений поглощения и рассеяния – квадратные сантиметры. Сечение экстинкции представляет собой сумму сечений поглощения и рассеяния:

σe = σa + σs.

Для описания частиц в дипольном приближении удобно использовать понятие поляризуемости частицы δ. Поляризуемость характеризует поляризацию частицы как диполя под действием электромагнитной волны:

p = εhδE.

Здесь р – вектор дипольного момента; εh – диэлектрическая проницае-

мость среды, в которой находится диполь; Е – вектор электрического поля электромагнитной волны.

Показатель преломления n и диэлектрическая проницаемость ε среды связаны соотношением ε = n2. Для среды с поглощением показатель преломления является комплексной величиной n* = n – ik , где k – коэффициент экс-

тинкции, связанный с коэффициентом поглощения α соотношением

α = 4π kλ .

Приведем полезные выражения для расчета сечений поглощения и рассеяния простейших типов наночастиц и наноструктур в дипольном приближении [6].

Сферическая наночастица:

20