LS-Sb90325

При этом гамильтониан имеет вид

где Q1, Q2 – диагональные матрицы размерностью п×п и т×т соответствен-

но, элементами которых являются весовые коэффициенты q1i и q2j критерия качества. При выборе весовых коэффициентов будем исходить из предположения, что максимально допустимые значения всех переменных состояния должны вносить в суммарную ошибку (2.9) равный вклад. Исходя из этого можно записать:

Для нахождения соотношения между q11 и q22 будем предполагать, что полный вклад в суммарную ошибку максимально допустимых ошибок переменных состояния должен равняться вкладу максимально допустимых сигналов управления:

21

Из решения уравнений (2.14) и (2.16) можно искать линейное соотношение между состоянием х и соответствующей сопряженной переменной ψ . Но по-

скольку требуется синтезировать закон управления, используя только информацию о текущих значениях переменных состояния, необходимо искать матричное преобразование Р(t) в виде

где ψ и х удовлетворяют во все моменты времени уравнениям (2.15) и (2.16).

Беря производную от (2.18), получим

Подстановка выражения (2.19) в (2.15) и (2.17) дает уравнение

Так как требуется найти преобразование, справедливое при всех х, уравнение (2.20) удовлетворяется, если матрица коэффициентов х в (2.20) тождественно равна нулю. Это произойдет при значениях Р, удовлетворяющих матричному дифференциальному уравнению

Уравнение (2.21) и есть матричное уравнение Риккати. Оптимальный закон управления при этом будет равен:

где коэффициенты Р находятся интегрированием в обратном времени уравнения Риккати.

Изложенный метод определения оптимального закона управления не учитывает случайного внешнего воздействия, действующего на гребную электрическую установку. Учет случайного внешнего воздействия вида (2.6) или (2.7) можно осуществить путем соответствующего расширения вектора состояния объекта. Сущность этого приема состоит в следующем. Пусть объект управления описывается векторным линейным дифференциальным уравнением

ностями (2.6), (2.7) можно получить из сигнала «белый шум», если пропу-

22

стить его через фильтр, амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) которого, Н (jω) определяется из условия

где Sб.ш. (ω) = 1. Определив таким, образом АФХ фильтра и перейдя из ча-

стотной области во временную, получим векторное дифференциальное уравнение, описывающее случайное внешнее воздействие

где L – матрица размерности п1×п1; x1 – вектор дополнительных переменных

состояния размерности n1; ω – « белый шум». Для случая случайных внеш-

них воздействий, спектральные плотности которых имеют вид (2.6) и (2.7), п1

= 2. Таким образом, случайное внешнее воздействие будет представлено как фильтр, на входе которого действует сигнал вида «белый шум». Определение значений коэффициентов матрицы L было изложено в 1.2. Расширение вектора состояния объекта управления производится дополнением к векторному дифференциальному уравнению объекта (2.23) векторного дифференциального уравнения (2.25), описывающего случайное внешнее воздействие. В ре-

При определении оптимального закона управления для объекта управления, описываемого векторным дифференциальным уравнением (2.26), нельзя использовать критерий качества (2.2) из-за случайного характера внешних воздействий. В этом случае при определении оптимального закона управления необходимо использовать критерий качества

где Dxi, Duj – дисперсии переменных состояния и сигналов управления, опре-

деляемые техническим заданием на проектируемую систему. Из теории линейных оптимальных систем управления известно, что оптимальный закон управления (2.22) для объекта управления (2.8), оптимизируемого по критерию качества (2.4), полностью совпадает с оптимальным законом управления

23

для объекта управления (2.26), оптимизируемого по критерию качества (2.28). Таким образом, наличие «белого шума» w в уравнении (2.26) не изменяет решения (2.22), приводя лишь к увеличению минимальной величины критерия. Перепишем оптимальный закон управления (2.22) в виде

u = Kxɶ , (2.29)

где K – матрица коэффициентов обратных связей; xɶ – расширенный вектор состояния, включающий переменные состояния, относящиеся к внешнему воздействию. Структурная схема оптимальной автоматической системы при полностью измеряемом векторе состояния представлена на рис. 2.1.

Рассмотрим пример синтеза системы управления ГЭУ оптимальной при действии случайного морского волнения для математической модели ГЭУ:

Для синтеза оптимального регулятора, как и в случае синтеза регулятора оптимального, в свободном движении, воспользуемся функцией Con-

trol System Toolbox [K P e] = lqr(A, B, Q, S, N).

Рис. 2.1

Рассмотрим пример синтеза системы управления ГЭУ оптимальной при действии случайного морского волнения. Структурная схема ГЭУ переменно-постоянного тока приведена на рис. 1.1. Математическая модель ГЭУ в матричном виде получена в (1.1). Математическая модель фильтра во временной области имеет вид (1.23). Математическая модель расширенного объекта имеет вид:

Матрицы расширенного объекта А, В и Q имеют вид соответственно

24

Задание для расчета матрицы коэффициентов закона регулирования с использованием функции lqr в Matlab имеет следующий вид:

ktv=59; Ty=0.012; Tm=1.0; ki=0.1156; Ta=0.3; kv=80; kp=0.05; kn=1100; A=[-2/Tm ki/Tm 0 - kv 0; -kn/Ta -(ku*kp+1)/Ta ku/Ta 0 0 ; 0 0 -1/Ty 0 0;0 0 0 0 1;0 0 0 -0.516 -0.296];

B=[0; 0; ktv/Ty 0 0]; q11=1/3*(18.0/161*0.1)^2; q22=(161*1/2795*0.1)^2*q11; q33=(161*1/922*0.1)^2*q11;

Q=[q11 0 0 0 0; 0 q22 0 0 0; 0 0 q33 0 0; 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0]; K=lqr(A, B, Q, 1).

В результате была получена матрица коэффициентов закона регулирования K=[К1 К2 К3 К4 К5].

2.3.Введение в закон управления информации

овозмущающем воздействии

Так как внешние воздействия в виде морского волнения и льда в процессе управления измерить практически невозможно, то и реализация оптимального закона управления в виде (2.29) становится нереальной. Чтобы реа-

25

лизовать оптимальный закон управления по неполным измерениям вектора переменных состояния, необходимо решить задачу восстановления неизменяемых переменных состояния. Существует несколько методов восстановления не измеряемых переменных состояния. Здесь будет использован метод, использующий информацию о текущем значении измеряемых переменных состояния и их производных. Сущность метода состоит в следующем. Запишем матрицу Ф в развернутом виде. В матрице (30) элементы с индексом от 1 до n соответствуют переменным состояния объекта управления, а элементы с индексами n + 1 и п + 2 – переменным состояния внешнего воздействия. Выразим переменные состояния внешнего воздействия через переменные

состояния объекта управления и производные от i переменной состояния объекта управления. Из i-гo уравнения системы (2.26) имеем

Из n + 2-го уравнения определим хn+1:

Подставляя в (2.34) вместо хn+2 его значение из (2.31) и производя пере-

группировку членов, окончательно получим

26

Формулы (2.31) и (2.35) позволяют выразить переменные состояния внешнего воздействия через переменные состояния управляемого объекта и производные от переменной состояния с индексом i. Подставив получен-

ные выражения (2.31) и (2.35) для хп+1 и хп+2

в закон управления (2.29), получим оптимальный закон управления для случая не измеряемых внешних воздействий, который будет иметь следующий вид:

хi, ... , хn, xɺi, ɺɺxi .

Структурная схема оптимальной автоматической системы для случая не измеряемых внешних воздействий приведена на рис. 2.2. Рассмотрим пример. В 2.2 был получен закон управления ГЭУ, оптимальный при действии случайного морского волнения для случая, когда предполагается, что морское волнение возможно измерить:

Выразим переменные состояния, относящиеся к внешнему воздействию v и у, через производные от частоты вращения ГЭД. Из первой строки (1.1) имеем

27

Продифференцируем (2.38) и заменим производную от ia из (1.1) имеющимся выражением:

y = vɺ = (−2 / Kv )nɺ+ (Ki / Kv )iɺa + (−Tm / Kv )nɺɺ= (−2 / Kv )nɺ+

+ (Ki / Kv )[(−Kn / Ta )n + ((Ku K p +1) / Ta ))ia + (Ku / Ta )ud ] + (−Tm / Kv )nɺɺ. (2.39)

Преобразуем выражение (2.39)

y = vɺ = (−2 / Kv )nɺ+ (Ki / Kv )(−Kn / Ta )n + (Ki / Kv )((Ku K p +1) / Ta ))ia +

(2.40)

+ (Ki / Kv )(Ku / Ta )ud + (−Tm / Kv )nɺɺ.

Подставляя (2.38)–(2.40) в оптимальный закон (см. в 2.2) для случая измеряемого морского волнения, получим оптимальный закон управления ГЭУ, для случая неизмеряемого морского волнения:

U y.з = (−K1 − K4 2/Kv − K5 (Ki /Kv )(Kn /Ta ))n + (−K2 + K 4 Ki /Kv −

− K5 (Ki /Kv ) /Ta )ia + (−K3 + K5 (Ki /Kv )Ku /Ta )ud + (−K 4Tm /Kv − (2.41) − K5 2/ (2 /Kv ))nɺ + (−K5Tm /Kv )nɺɺ.

Реализация закона управления (2.41) это один из возможных вариантов синтеза системы управления ГЭУ в случае не измеряемого морского волнения. Другой вариант это реализация наблюдателя морского волнения с использованием выражения (2.38), а уже от полученного сигнала морского волнения взятие производной, для получения скорости изменения сигнала морского волнения (y). Последний вариант приведен на рис. 2.3.

Рис. 2.3

Если в результате расчета дисперсии переменных состояния оказывается, что они не соответствуют требованиям технического задания на систему,

необходимо изменить весовые коэффициенты qij критерия качества и повто-

рить расчет оптимального управления.

28

2.4.Синтез оптимальных автоматических систем управления ГЭУ

сучетом действия гармонического возмущения

Представляет интерес изменение точности работы системы управления ГЭУ, если заменить при синтезе оптимальной системы управления случайное морское волнение на гармоническое. С этой целью выражение (1.23) необходимо записать в виде

Далее процесс синтеза системы управления ГЭУ полностью совпадает с подобным процессом при действии случайного морского волнения за исключением критерия оптимальности, который теперь должен иметь вид (2.2).

Рассмотрим пример синтеза системы управления ГЭУ оптимальной при действии случайного морского волнения.

Структурная схема ГЭУ переменно-постоянного тока приведена на рис. 1.1. Математическая модель ГЭУ в матричном виде получена в (1.1). Математическая модель фильтра во временной области имеет вид (2.41). Математическая модель расширенного объекта приведена в 2.2.

Задание для расчета матрицы коэффициентов закона регулирования с использованием функции lqr в Matlab имеет вид

ktv=59; Ty=0.012; Tm=1.0; ki=0.1156; Ta=0.3; kv=80; kp=0.05; kn=1100; A=[-2/Tm ki/Tm 0 - kv 0; -kn/Ta -(ku*kp+1)/Ta ku/Ta 0 0 ; 0 0 -1/Ty 0 0;0 0 0 0 1;0 0 0 -0.516 -0.296];

B=[0; 0; ktv/Ty 0 0]; q11=1/3*(18.0/161*0.1)^2; q22=(161*1/2795*0.1)^2*q11; q33=(161*1/922*0.1)^2*q11;

Q=[q11 0 0 0 0; 0 q22 0 0 0; 0 0 q33 0 0;0 0 0 0 0 ;0 0 0 0 0]; K=lqr(A, B, Q, 1)

В результате была получена матрица коэффициентов закона регулиро-

вания K=[К1 К2 К3 К4 К5].

В случае неизмеряемого гармонического морского волнения применяется методика, изложенная в 2.3.

29

3.ИССЛЕДОВАНИЕ СИНТЕЗИРОВАННЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ СЛУЧАЙНОГО МОРСКОГО ВОЛНЕНИЯ

Анализ данных эксплуатации судов показывает, что более 60 % общего ходового времени судно движется в условиях волнения интенсивностью свыше трех баллов. Поэтому проектирование гребных электрических устано-

вок (ГЭУ) необходимо вести методами, учитывающими случайный характер возмущений. Целесообразно использовать машино-ориентированные мето-

ды. Синтез автоматических систем управления ГЭУ обычно производится на основе линейной математической модели объекта и требует проверки каче-

ства функционирования с учетом случайного волнового воздействия. Моде-

лирование на ЭВМ с учетом случайных внешних воздействий позволяет из-

бежать сложных и дорогостоящих экспериментов при исследовании воздей-

ствия на судно случайного волнового возмущения. Особенно эффективен предполагаемый метод когда математическая модель автоматизированной ГЭУ является нелинейной.

3.1. Разработка генератора волнового возмущения с заданными спектральными характеристиками

Как было показано в 1.2, сигналы со спектральными плотностями (2.5) и (2.6) можно получить из сигнала «белый шум», если пропустить его через фильтр, амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) которого, H(jω), опреде-

ляется из условия:

где Sб.ш(ω) = 1.

Таким образом, случайное внешнее воздействие (морское волнение) бу-

дет представлено как фильтр, на входе которого действует сигнал вида «бе-

лый шум».

Схему случайного внешнего воздействия создадим в пакете Matlab. Matlab выполняет множество компьютерных задач для поддержки научных и инженерных работ, начиная от сбора и анализа данных до разработки приложений. Среда Matlab объединяет математические вычисления, визуализацию и мощный технический язык. Встроенные интерфейсы позволяют получить быстрый доступ и извлекать данные из внешних устройств, файлов, внешних

30