Sb98339

спектрального представления некоторого эталона класса СП, интерпретируемого как реализация СП в режиме нормального функционирования (норма), в виде его математического ожидания (2.3) одним ненулевым коэффициентом. При этом конкретные реализации анализируемого класса СП описываются минимумом значимых коэффициентов разложения при заданной точности восстановления (аппроксимации) в метриках равномерного C и среднеквадратического L2 приближений.

Процедура формирования АБ заключается в следующем.

На первом этапе для заданного счетного множества реализаций СП {X} = {xlt}, l = [1, L], отыскивается среднее по множеству, представленное в векторном виде

где символ т означает транспонирование вектора.

Далее на втором этапе, используя (2.4) в качестве эталона СП, будем сопоставлять ему в спектральной области пространство минимальной размерности, т. е. один спектральный коэффициент, отличный от нуля.

Согласно теореме Парсеваля, величина данного спектрального коэффициента численно равна среднеквадратическому значению, вычисленному по известным отсчетам эталона. При разложении эталона по найденному адаптируемому базису количество нулевых коэффициентов равно (N – 1), что эквивалентно наивысшей скорости сходимости спектра. Очевидно, что отклонения конкретных реализаций xit от эталона [mi]т во временной области

будут вести к появлению новых коэффициентов в спектральной области, а также к изменению величины основного ненулевого коэффициента в большую или меньшую сторону, причем степень этого изменения определяется характером и уровнем отличия сопоставляемых реализаций СП. Учет ненулевых коэффициентов позволяет при выборе величины порога в соответствующей метрике достигать заданной ошибки приближения.

Запишем матричное уравнение для определения необходимых углов-

21

На основе прямого ортогонального преобразования

[U]т = (1/N) [ ] [m]т

запишем аналогичное матричное уравнение для [m]т в случае вещественного базиса [ ]

поскольку

[ ]–1 = (1/N)[ ]–1.

Выразим матрицу [ ]т = [ ] через обобщенное ортогональное ядро

где в матричных микроблоках использована условная запись матричноядерного представления вида

В (2.7) на основании условия (2.5) из всей матрицы [ ] в восстановлении вектора [mi]т участвуют только элементы 1-го столбца. В общем виде их можно получить перемножением факторизованных матриц в соответствии с (2.7). В результате получим совокупность уравнений для искомых угловпараметров:

Поделив соседние уравнения друг на друга, находим следующие выражения для углов { 31}т, определяющие параметры ядер факторизованной матрицы [G3]:

tg 31 =m2/m1; tg 32 = m4/m3; tg 33 = m6/m5; tg 34 =m8/m7. (2.8)

22

Далее, поступая аналогичным образом и учитывая (2.8), можно найти для углов-параметров матриц [G1] и [G2] следующие зависимости:

В общем случае при N = 2n, справедливы следующие соотношения для углов-параметров, входящих в ядра [Vri] матриц [Gr]:

N /2 mi2

i=1

Полученные численные значения углов-параметров (2.9) и (2.10) общим количеством (N – 1), дополненные ненулевым коэффициентом разложения

однозначно синтезировать первую функцию АБ, а остальные формировать целенаправленным образом, исходя из дополнительных степеней свободы.

Общее число степеней свободы для обобщенного ортогонального оператора равно n2n–1, поэтому существует возможность широкого варьирования (n2n–1 – 2n) = 2n–1(n – 2) степенями свободы, размещение которых в факторизованных матрицах [Gr] позволяет учитывать тот или иной характер отклонений конкретных реализаций СП от эталона.

Углы-параметры rk = var не зависят от отсчетов эталонного вектора

[m]т, что позволяет провести дальнейшую адаптацию базиса под те или иные требования (уменьшение объема памяти ЭВМ, сокращение времени вычислений, повышение скорости сходимости в заданной метрике, упрощение вида базисных функций).

23

В частности, для экономии памяти ЭВМ целесообразно принять условие

12 = 13 = 14 = 11; 23 = 21; 24 = 22. (2.11)

При использовании закономерности (2.11) расстановки угловпараметров ядер намного упрощается процедура их определения в случае необходимости уточнения разложения при увеличении размерности N = 2n исходных данных. При этом ранее вычисленные значения углов остаются без изменения и расчет новых углов-параметров производится только для добавляемых матриц [Gr].

Полученный ортонормированный базис, который может быть назван адаптируемым базисом 1-го типа (АБ-1), приспособлен к равновероятным отклонениям от эталона – математического ожидания, и в записи через обобщенную форму прямого произведения принимает вид

[ ] = [( 11)4] [( 21)2; ( 22)2] [( 31), ( 32), ( 33), ( 34)].

К числу самых важных требований в задаче адаптации базиса относится обеспечение максимально возможной скорости сходимости ряда разложения в выбранной метрике приближения. Решение этой задачи необходимо связывать с характером отклонений ансамбля реализаций исследуемого СП от эталона класса.

Для локального отклонения реализаций от эталона на малом интервале наиболее высокую скорость сходимости в метрике С обеспечивает базис, функции которого отличаются локальным поведением на [0, Т] и равны нулю на его большей части. Из традиционных систем функций такой особенностью обладает базис Хаара, который формируется из ядер двух типов. Одно из них имеет нулевые значения элементов ядер, т. е. = 0, что и обеспечивает его специфический вид, характеризуемый локализацией базисных векторов с изменяемым интервалом кратности 2.

Свойство наилучшего равномерного приближения, присущее базису Хаара для широкого класса аналитических функций, можно придать и сформированному адаптируемому базису, если после процедуры приспособления приравнять к нулю оставшиеся углы-параметры, т. е. добавить только одну степень свободы, удовлетворяющую условию:

23 = 24 = 1k = 0, k = 2…4.

В этом случае базис, приспособленный к локальным отклонениям от эталона, будем называть адаптируемым базисом 2-го типа (АБ-2). Его формирование осуществляется на основе следующего соотношения:

24

Сформированный на основе (2.12) базис в случае его применения для анализа процессов с равновероятными отклонениями отсчетов реализации от эталона уже не обеспечивает минимизации числа коэффициентов разложения,

вотличие от АБ-1, построенного на основе условия (2.11).

2.Цель работы. Изучение и анализ поведения ортонормированных базисов с алгоритмами БП на основе компьютерного формирования функций

традиционных (известных) базисных систем (Фурье, Уолша и Хаара)

инетрадиционных (новых) базисов.

3.Содержание работы. В работе изучаются традиционные и адаптируемые системы базисных функций для оперативного выполнения спектрального разложения анализируемых сигналов с помощью алгоритмов быстрых преобразований. Традиционные базисы Фурье, Уолша и Хаара относятся к системам базисных функций с неизменяемыми во времени функциями, и с этой точки зрения их принято считать базисами с фиксированными функциями.

Адаптируемые базисы представляют собой наборы изменяемых во времени функций, наилучшим образом приспособленных к виду анализируемых данных (в частности, к форме диагностических колебаний). В зависимости от степени и характера изменчивости этих колебаний (равновероятном или локальном на всем интервале наблюдения реализации) различают два вида адаптируемых базисов: адаптируемый базис 1-го типа (АБ-1) и адаптируемый базис 2-го типа (АБ-2) соответственно. Если базисы Фурье, Уолша и Хаара имеют универсальный характер поведения своих функций, то адаптируемые базисы, напротив, представляют собой наборы функций с варьируемыми мгновенными значениями в зависимости от вида анализируемых сигналов. Очевидно, что такая особенность АБ позволяет их использовать только для конкретного класса сигналов. Для других классов сигналов требуется пересчет соответствующих параметров базисных функций – степеней свободы – и формирование новой совокупности функций. Особенно эффективно использование базисных функций для анализа сигналов, близких по форме, но отличающихся незначительным образом, или на малых локальных отрезках времени, или во всех точках интервала наблюдения. Далее приведены основные математические соотношения для формирования традиционных и адаптируемых ортогональных базисов.

25

4. Порядок выполнения работы.

1.Для заданного размера N = 128 сформировать первые восемь функций базиса Фурье, 16-ю, 32-ю и 127-ю функции базиса Фурье; первые восемь функций базиса Уолша, 16-ю, 32-ю и 128-ю функции базиса Уолша, первые восемь функций базиса Хаара, 16-ю, 32-ю и 128-ю функции базиса Хаара.

2.Для заданного размера N = 512 сформировать группу функций с но-

мерами 9–16 для базиса Фурье. Повторить аналогичные эксперименты для базисов Уолша и Хаара.

3. По полученным в работе № 1 сигналам детерминированного вида, а также зашумленным процессам построить первые восемь функций адаптируемых базисов 1-го и 2-го типов для каждого вида сигнала и зашумленного процесса.

4.Записать и сохранить построенные базисные функции.

5.По результатам проведенных экспериментов выполнить сравнение сформированных базисных функций и установить их отличие друг от друга.

6.Подготовить отчет по выполненной работе, содержащий краткие общие сведения о методах формирования ортогональных базисов; графики детерминированных сигналов и зашумленных процессов с выбранными параметрами; графики функций базисных систем Фурье, Уолша, Хаара, АБ-1

иАБ-2; выводы по работе.

Лабораторная работа № 3.

Спектральные методы контроля формы анализируемых сигналов

ипроцессов на основе критериев аппроксимации

1.Общие сведения. При исследовании обрабатываемых колебаний важное значение имеет контроль формы и степень ее изменчивости во времени. В частности, диагностируемые колебания для режима развивающегося дефекта имеют нестационарный характер относительно того или иного параметра (амплитудных значений, протяженности, математического ожидания, дисперсии, корреляционной функции и других характеристик).

Одним из универсальных в оценке точности контроля формы является подход на основе теории аппроксимации, использующий критерии сравнения эталонной формы (например, режим нормального функционирования диагностируемого объекта) сигнала и искаженной формы (режим аномалии или процесс развивающегося дефекта).

26

В работе используются критерии приближения в среднем и в среднеквадратическом, а также критерий равномерного приближения. В первом случае сравнение сигналов и контроль их формы осуществляются по наиболее простому показателю – среднему значению ошибки приближения. Во втором – по ее среднеквадратическому значению (дисперсии). В третьем случае – по характеру отклонений мгновенных значений от эталона, не превышающих заданный коридор.

На величину ошибки сравниваемыхсигналовв основномвлияет выбранный базис разложения, величины спектральных коэффициентов и их количество. В работе рассматриваются разложения сигналов детерминированного, составного вида и смешанных процессов двух типов по различным системам базисных функций, изученных в предыдущих работах.

Спектральные методы контроля формы базируются на описании сигналов и реализаций СП с помощью их ортогональных преобразований на заданном интервале наблюдения [0, Т]. Задача контроля формы сводится при этом к отысканию такой системы координатных векторов, которая обеспечивает минимальную ошибку приближения min при фиксированном числе координат Nфикс или минимальное число координат Nmin при фиксированной ошибке приближения фикс. При такой постановке есть возможность теоретически оценить достижимые нижние границы (inf или inf N) и сравнить их с практически получаемыми значениями и N в выбранном базисе для оценки его эффективности.

Особое значение представляет решение задачи отыскания таких ортогональных базисов, которые на конечном интервале обеспечивают не только среднеквадратическое, но и равномерное приближение.

Для оценки равномерной сходимости обобщенных ортогональных разложений обычно используют выражение

приближением (х, N) с помощью функции Лебега LN (t) согласно (3.1). Для полиномов Чебышева функции Лебега имеют вид: LN (t) ≤ 2+lgN,

для тригонометрических полиномов: LN (t) ≤ 3+lgN, для систем функций Уолша: LN (t) ≤ 1+ entier[log2N], для системы функции Хаара: LN (t) = 1.

27

Между ортогональным рядом и ортогональным разложением имеется существенное различие. Оно состоит в том, что частные суммы ортогонального

N

разложения fN (t) Fn n (t) отличаются от частных сумм всех других

n 0

ортогональных рядов для {φn(t)} свойством минимальности, заключающимся в том, что для интегрируемой в пространстве L2 функции f(t) и произвольной полной ортонормированной системы {φn(t)} среди всех линейных выраже-

N

ний вида SN (t) An n (t) величина среднеквадратической ошибки при-

n 0

ближения IN b f (t) SN (t) 2dt достигает своего минимального значения

a

только при fN (t) = SN (t).

Наконец, общим свойством коэффициентов разложения по полной системе функций является то, что повышение порядка сходимости N2 > N1 всегда приводит к улучшению приближения:

fN2 (t) f (t)2 fN1 (t) f (t)2 .

Сравнительный анализ традиционных базисов в задачах аппроксимации СП показывает, что по сравнению с базисом Фурье базисы кусочнопостоянных функций Уолша и Хаара более точно воспроизводят средние значения на всех участках интервала наблюдения. При этом также исключается появление ложных всплесков на приближаемой функции (что характерно для базиса Фурье вследствие эффекта Гиббса, присущего преобразованию Фурье для сигналов конечной протяженности).

2.Цель работы. Изучение и анализ спектральных методов контроля формы анализируемых процессов на основе критериев аппроксимации.

3.Содержание работы. В работе изучаются спектральные методы контроля формы сигналов в режимах нормального функционирования и развивающейся аномалии (дефекта) в условиях воздействий реализаций шумовых процессов. Изучению и анализу подвергаются сигналы и процессы, сформированные в лабораторной работе № 1, а также методы спектральных преобразований на основе традиционных и адаптируемых базисов (лабораторная работа № 2). В качестве критериев аппроксимации используются

28

типовые меры приближения в среднем, среднеквадратическом и в метрике равномерного приближения.

4. Порядок выполнения работы.

1.СформироватьспектрФурьеэлементарногодетерминированногосигнала.

2.Сформировать спектр Фурье составного детерминированного сигнала.

3.Повторить пп. 1–2 для базиса Уолша.

4.Повторить пп. 1–2 для базиса Хаара.

5.Повторить пп. 1–2 для АБ-1.

6.Повторить пп. 1–2 для АБ-2.

7.Выполнить аппроксимацию по критерию приближения в среднем элементарного детерминированного сигнала для базиса Фурье по одному, пяти, десяти и двумстам сохраненным коэффициентам разложения.

8.Выполнить аппроксимацию по критерию приближения в среднем составного детерминированного сигнала для базиса Фурье по одному, пяти, десяти и двумстам сохраненным коэффициентам разложения.

9.Выполнить аппроксимацию по критерию приближения в среднем реализации смешанного СП 1-го типа для базиса Фурье по одному, пяти, десяти

идвумстам сохраненным коэффициентам разложения.

10.Выполнить аппроксимацию по критерию приближения в среднем реализации смешанного СП 2-го типа для базиса Фурье по одному, пяти, десяти

идвумстам сохраненным коэффициентам разложения.

11.Повторить п. п. 7–10 для среднеквадратического критерия аппроксимации.

12.Повторить пп. 7–10 для критерия равномерного приближения.

13.Повторить пп. 7–10 для базиса Уолша.

14.Повторить пп. 7–10 для базиса Хаара.

15.Повторить пп. 7–10 для АБ-1.

16.Повторить пп. 7–10 для АБ-2.

17.Повторить пп. 11–12 для базиса Уолша.

18.Повторить пп. 11–12 для базиса Хаара.

19.Повторить пп. 11–12 для АБ-1.

20.Повторить пп. 11–12 для АБ-2.

Полученные результаты сохранить и записать в файл. Отчет должен содержать краткие общие сведения по работе, распечатки полученных графиков и выводы по работе.

29

Лабораторная работа № 4. Спектральные методы фильтрации зашумленных анализируемых процессов

1. Общие сведения. При выборе метода фильтрации процессов в виде реализаций СП и сигналов с локальными изменениями на временных подынтервалах необходимо учитывать, что методы разложения в базисах Фурье и Уолша уступают по точности приближения разложению Хаара. Это обусловлено тем, что конечный ряд в соответствующем базисе с числом членов N ≤ M не позволяет точно воспроизвести локальные изменения. Фильтр на основе спектральных коэффициентов в базисе Хаара, напротив, за счет локального характера своих функций позволяет эффективно отфильтровать шумовые компоненты и достаточно точно обеспечить воспроизведение формы анализируемого процесса с соответствующими импульсными значениями.

В отношении же тех обрабатываемых СП, для реализаций которых характерным является равномерный характер различий мгновенных значений для любого момента времени, наиболее целесообразно руководствоваться среднеквадратичнымсреднестатистическимкритерием. Егосутьсостоитвследующем.

Известно, что для реализаций широкого класса СП сходимость рядов Фурье–Уолша и Фурье–Хаара в пространстве L2 одинакова. Согласно теоре-

ме Парсеваля, справедливо соотношение

С учетом нормировки по энергии и при использовании записи ядра Дирихле базисной системы

где m[ 2N ] – среднеквадратическое среднестатистическое отклонение, R(τ) – нормированная автокорреляционная функция (АКФ) реализации x(t), а Кnn(τ) – «базисная автокорреляция» от φn(t). Из (4.2) и (4.3) следует, что сходимость ряда Фурье по выбранному базису определяется его ядром Дирихле.

30