Sb98339

H – спектр сигнала b в базисе Хаара;

X – спектр сигнала x в адаптируемом базисе 1-го или 2-го типа;

iF(n) – восстановление сигнала по n первым коэффициентам разложения в базисе Фурье;

iW(n) – восстановление сигнала по n первым коэффициентам разложения в базисе Уолша;

iH(n) – восстановление сигнала по n первым коэффициентам разложения в базисе Хаара;

iX(n) – восстановление сигнала по n первым коэффициентам разложения в адаптируемых 1-го и 2-го типа;

dFl – получение и вывод графика скорости сходимости ряда разложения в базисе Фурье для метрики приближения в среднем;

dWl – получение и вывод графика скорости сходимости ряда разложения в базисе Уолша для метрики приближения в среднем;

dHl – получение и вывод графика скорости сходимости ряда разложения в базисе Хаара для метрики приближения в среднем;

dFs – получение и вывод графика скорости сходимости ряда разложения в базисе Фурье для метрики приближения в среднеквадратическом;

dWs – получение и вывод графика скорости сходимости ряда разложения в базисе Уолша для метрики приближения в среднеквадратическом;

dHs – получение и вывод графика скорости сходимости ряда разложения в базисе Хаара для метрики приближения в среднеквадратическом;

dFm – получение и вывод графика скорости сходимости ряда разложения в базисе Фурье для метрики равномерного приближения;

dWm – получение и вывод графика скорости сходимости ряда разложения в базисе Уолша для метрики равномерного приближения;

dHm – получение и вывод графика скорости сходимости ряда разложения в базисе Хаара для метрики равномерного приближения;

Dl – получение и вывод совместных графиков скорости сходимости рядов разложений в базисах Фурье, Уолша и Хаара для метрики приближения в среднем;

Ds – получение и вывод совместных графиков скорости сходимости рядов разложений в базисах Фурье, Уолша и Хаара для метрики приближения в среднеквадратическом;

11

Dm – получение и вывод совместных графиков скорости сходимости рядов разложений в базисах Фурье, Уолша и Хаара для метрики равномерного приближения;

Sl – получение и вывод совместных графиков скорости сходимости рядов разложений в адаптируемых базисах для метрики приближения в среднем;

Ss – получение и вывод совместных графиков скорости сходимости рядов разложений в адаптируемых базисах для метрики приближения в среднеквадратическом;

Sm – получение и вывод совместных графиков скорости сходимости рядов разложений в адаптируемых базисах для метрики равномерного приближения.

Русификация текста осуществляется в опции «Print» выбором шрифта

Times New Roman.

Управление блоками программы «БАЗИС» производится мышью, ввод числовых параметров и изменение режимов графического отображения осуществляется с клавиатуры. Многооконное представление графической информации позволяет одновременно рассматривать и анализировать четыре графика либо во «вложенной» форме, либо в неперекрывающемся виде. Для количественного подтверждения приводимых графиков также используется форма числового ряда с достаточной для практики степенью точности вычисляемых коэффициентов разложения и других показателей. В случае необходимости может быть вызван режим укрупнения требуемого графика.

В указаниях к лабораторным работам приводится цель работ, раскрывается их содержание и назначается порядок выполнения. К каждой лабораторной работе дается индивидуальное задание, содержащее сведения о характере и количественном описании анализируемых сигналов, виде спектральных характеристик и т. д.

Отчет по выполненной лабораторной работе должен включать:

–краткие общие сведения;

–математическое описание сигналов, зашумленных процессов и соответствующих спектральных характеристик;

–результаты исследования и необходимые графические материалы;

–выводы по работе.

12

4. ЦИКЛ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Лабораторная работа № 1. Моделирование сигналов анализируемых объектов,

анализ спектральных характеристик

втрадиционных ортогональных базисах Фурье, Уолша, Хаара

1.Общие сведения. В работе в качестве тестовых данных используются детерминированные элементарные и составные сигналы и реализации шумовых процессов с равномерным и нормальным законами распределения плотности вероятности. Предполагается, что в режиме нормального функционирования исследуемый объект характеризуется формой колебания элементарного вида (например, сигнал гармонического вида). В режиме развивающейся аномалии в анализируемых данных могут присутствовать всплески, экспоненциальные функции и др.

В реальных условиях колебания обычно представляют собой смешанные случайные процессы 1-го и 2-го типов. Реализация смешанного СП 1-го типа представляет собой смесь элементарного детерминированного сигнала с шумовой реализацией. Реализация смешанного СП 2-го типа является смесью составного детерминированного сигнала с шумовой реализацией СП.

Спектральный анализ анализируемых колебаний выполняется в тради-

ционных базисах Фурье, Уолша и Хаара. Для этого задается команда на выполнение преобразования в соответствующем базисе, а также команда на вывод графиков в требуемом окне. Спектры в базисе Фурье предусматривают вычисление и вывод графиков вещественной и мнимой составляющих,

атакже амплитудного и фазового спектров.

2.Цель работы. Моделирование и исследование степени изменчивости элементарных и составных детерминированных сигналов и зашумленных процессов анализируемых объектов, приобретение навыков составления моделей сигналов детерминированной и случайной природы, освоение спектрального подхода при получении спектральных характеристик анализируемых сигналов и процессов в различных базисах ортогональных функций.

3.Содержание работы. Для заданной размерности N = 2n и функционального вида сигнала и аддитивного шума необходимо изучить поведение исследуемых данных в динамике их изменения. Изменением параметров сигнала и шумовой реализации сформировать набор моделируемых колебаний

иосуществить визуальное выявление характерных признаков в форме сигнала, разброс его мгновенных значений, локальных и периодических составляющих.

13

Отметить влияние параметров сигнала на поведение и изменение характера исследуемых особенностей сигнала. Выполнить спектральный анализ сигналов детерминированной и случайной природы в базисах Фурье, Уолша и Хаара. Провести сравнение полученных спектральных характеристик для различных базисов и отметить их отличительные особенности.

4. Порядок выполнения работы.

1.Ознакомиться с описанием работы программы «БАЗИС», изучить возможности меню и ввести по заданию преподавателя показатель степени n размерности анализируемого сигнала.

2.В соответствии с заданным вариантом детерминированного элементарного сигнала, составного детерминированного сигнала и шумового воздействия получить графики этих процессов и реализаций смешанных СП 1-го

и2-го типов.

3.Осуществить путем вариации параметров изменение характера как самих сигналов, так и шумовых реализаций и реализаций смешанных СП 1-го и 2-го типов. Подобрать такие значения параметров шумового воздействия, при которых характерные особенности (например, локальные всплески) детерминированных сигналов визуально перестают наблюдаться.

4.Записать и сохранить графики анализируемых колебаний для двух крайних случаев («чистый» сигнал и «чистый» шум) и трех промежуточных значений параметров шума. Отметить степень изменчивости аномального выброса в детерминированном сигнале в зависимости от уровня шума.

5.Получить графики спектральных амплитудных и фазовых характеристик

вбазисе Фурье для отмеченных ранее вариантов исследуемых процессов

ивыявить отличительные особенности в частотной области.

6.Повторить эксперимент при получении вещественного и мнимого спектров и проанализировать поведение исследуемых особенностей.

7.Записать и сохранить полученные спектральные характеристики для последующего анализа и сравнения графиков спектральных характеристик

вдругих базисах ортогональных функций.

8.Выполнить эксперименты п. 6 для базиса Уолша, записать и сохранить спектральные характеристики Уолша.

9.Выполнить эксперименты п. 6 для базиса Хаара, записать и сохранить спектральные характеристики Хаара.

10.Подготовить отчет по работе, включающий в себя задание на выпол-

нение работы, численные значения варьируемых параметров сигналов, шумов

14

и реализаций смешанных (зашумленных) процессов, распечатки соответствующих вариантов сигналов и шумовых воздействий, а также спектральных характеристик в сопоставляемых базисах. Выполнить графическое сравнение диагностируемых сигналов и спектров в различных базисах и сделать выводы по полученным результатам.

Лабораторная работа № 2. Исследование свойств и особенностей функций

базисных систем Фурье, Уолша, Хаара и адаптируемых базисов

1. Общие сведения. Базисы Фурье, Уолша и Хаара представляют собой полные системы ортонормированных функций (векторов). Полнота базиса обеспечивает возможность представления с помощью его функций произвольной квадратично-интегрируемой функции (вектора).

15

Базис Фурье состоит из дискретных комплексно-экспоненциальных функций (векторов). Эти функции имеют многозначный (многоуровневый) характер. Базис Уолша состоит из двузначных вещественных функций (векторов), базис Хаара – из трехзначных вещественных функций (векторов).

С точки зрения приближения базис Фурье, как и базис Уолша, обеспечивает среднеквадратическую сходимость рядов разложения для гладких и кусочноступенчатых функций с интегрируемым квадратом. Базис Хаара обеспечивает наряду со среднеквадратичной также и наилучшую равномерную сходимость для функций с локальной изменчивостью.

Для осуществления преобразований в цифровом виде выполняют дискретизацию функций и представляют наборы базисных функций в виде матриц. Так, например, матрицы базисов Фурье, Уолша и Хаара при N = 8 имеют вид соответственно для каждого базиса.

Положительные и отрицательные элементы матрицы базиса Уолша, а также элементы первых двух строк матрицы Хаара обозначены знаками +/– . Все сопоставляемые базисы имеют алгоритмы быстрых преобразований (БП). Смысловой основой построения алгоритмов БП является устранение избыточности в матрицах, обусловленной повторяющимися группами значений:

–для базиса Фурье Ф – совокупности от w0 до w–3;

–для базиса Уолша W – совокупности +/– значений;

–для базиса Хаара X – совокупности +/– ; +2/– 2 …

Избыточность матриц, обусловленная повторяющимися группами элементов, позволяет выполнить факторизацию матрицы Фурье, т. е. осуществить ее разложение в виде произведения трех факторизованных матриц:

16

что приводит к существенному сокращению количества операций, необходимых для выполнения преобразования.

17

Возможность унифицировать структуру факторизованной матрицы позволила сформулировать задачу разработки обобщенного ортогонального оператора, который включает в себя матрицы известных базисов, а также новые матрицы, принимающие ортогональный вид. Простейшим вещественным ортогональным ядром такого оператора является матрица 2*2:

Для базиса Уолша имеется ядро с углом-параметром 4 . Совокупность

ортогональных ядер с углами-параметрами 4 и 0 приводит к базису Хаара.

Обобщенное ортогональное ядро, включающее в себя как вещественные, так и комплексные значения элементов, имеет вид:

Угол φ может быть произвольным как внутри факторизованной матрицы, так и для всех факторизованных матриц. То же относится и к показателям степени для дискретных комплекснозначных экспоненциальных функций. Такое большое разнообразие матриц позволяет выбрать из них наиболее подходящие к форме изучаемого сигнала.

Для решения прикладных задач все более широко используются методы цифровой обработки сигналов (ЦОС), реализующие спектральные преобразования исходных сигналов. Спектральные методы ЦОС предназначены для выявления закономерностей в анализируемых данных, установления сходства и отличительных особенностей сравниваемых сигналов. Основная проблема в реализации типовых спектральных методов ЦОС состоит в том, что для диагностирования зашумленных процессов спектральные характеристики обладают невысокой информативностью, особенно, если дефекты скрыты в помехах. При этом требуется преобразовывать большие информационные потоки, которые, как правило, априорно не определены, что в свою очередь приводит к исключительно большим вычислительным затратам. Поэтому основная цель спектральной обработки в прикладных задачах состоит в сокращении размерности обрабатываемых информационных массивов с сокращением или незначительным ухудшением их формы, вида, свойств за ограниченное время. Для достижения этой цели в работе используются адаптируемые

18

базисы 1-го и 2-го типов. Далее рассмотрены основные положения метода формирования АБ-1 и АБ-2, наилучшим образом приспособленных к классу квазипериодических (ритмических) случайных процессов.

К ритмическим относятся СП x = {x(l, t)}, где l – номер реализации (l = 1, 2, 3…), имеющие периодическое поведение статистических характеристик (среднего по множеству m, дисперсии D, автокорреляционной функции R). В тех случаях, когда информация о корреляционных свойствах СП отсутствует или ею можно пренебречь, на первый план выходит задача построения системы базисных функций, приспособленной к имеющимся статистическим характеристикам и в первую очередь к математическому ожиданию циклического СП:

Обычно формальное использование априорных данных осуществляется на основе математической модели изучаемого явления. К наиболее характерным разновидностям априорных сведений о СП относятся сведения о классе диагностируемых СП, свойствах явления, порождающего эти процессы, статистических характеристиках СП.

Введем следующие ограничения на исследуемые классы СП. Пусть анализируемые классы СП представлены наборами реализаций, для которых имеется возможность зафиксировать (измерить) максимальное (аmax) и ми-

нимальное (аmin) амплитудные значения, а также вычислить максимальный разброс max (среднеквадратичное значение) конкретных реализаций относи-

тельно среднего по множеству.

Будем считать компактным множеством реализаций такой их набор, при котором

На рис. 2.1 приведены реализации двух классов СП: а) с равновероятным характером отклонений; б) с локальным характером отклонений.

В рассматриваемых на рисунке классов анализируемых СП необходимо отметить их различные нестационарные свойства относительно математического ожидания и/или дисперсии, а также их происхождение, обусловленное физическими особенностями некоторого колебательного механизма с явно выраженной ритмичностью колебаний, причем период Т отдельных реализаций не остается фиксированным. Однако период эталона (в частности, математического ожидания) есть величина постоянная; это ограничение необходимо для установления граничных моментов времени при формировании системы функций, приспособленной к данному классу СП.

19

x(t)

amax σmax

amin

а

x(t)

amax

σmax

0

t

amin

б

Рис. 2.1. Реализации двух классов случайных процессов

Будем рассматривать классы анализируемых СП с равновероятным и локальным характерами отклонений реализаций от эталона, представляющего собой, в частности, математическое ожидание СП.

Под адаптируемым базисом понимается система ортогональных векторов, первый из которых совпадает с эталоном – математическим ожиданием анализируемого СП, удовлетворяющего условиям (2.1) и (2.2), а остальные векторы формируются исходя из требований по обеспечению наивысшей скорости сходимости ряда разложения в выбранной метрике приближения.

Обратимся к методам формирования адаптируемых спектральных операторов с целью компактного представления ритмического СП {x(t)} с известным математическим ожиданием m:

20