LS-Sb90926

ние почти всегда сопряжено со значительным увеличением времени нагрева, что нецелесообразно. Эта задача не имеет собственного практического значения, если не предусматривать в конструкции нагревателя специальных мер по защите поверхности нагреваемых тел. Вторая задача на максимум точности нагрева также чрезмерно академична и не имеет прикладного значения, хотя ей и посвящено большое количество работ.

Таким образом, наиболее актуальной является первая задача – максимального быстродействия, к тому же при ее решении, как правило, автоматически решается третья задача, т. е. обеспечивается минимальный расход электроэнергии. Рассмотрим данную задачу подробнее.

Время нагрева заготовки tн = tн ( p0 (t ), q0 (t ), f (t )) является функциона-

лом от законов изменения удельной мощности, тепловых потерь и частоты тока. Возможно трехканальное управление:

а) управление частотой тока (практически не используется);

б) управление удельной мощностью тепловых потерь. Значение q0 нарастает к концу нагрева и существенно влияет на температурное поле. Влияние это двоякое. С ростом q0 распределение температуры по сечению

Tп - температура на поверхности заготовки. При глубинном нагреве возможен перегрев внутренних слоев. В то же время увеличение тепловых потерь сокращает время нагрева, так как позволяет поднять уровень мощности в заготовке. Очевидно, q0 и, следовательно, толщина тепловой изоляции должны варьироваться с целью минимизации энергозатрат при ограничении по температуре в точке максимума;

Ставится задача определения закона управления мощностью при произвольном изменении Ki (τ) . Воспользуемся критериальной формой уравнения теплопроводности

Примем Ki (τ) = Ki0 = const . Тогда, как было показано ранее, решением уравнения (2.1) будет θ (β, τ) = Ki0ϕ (α, β, τ) . Если же Ki (τ) - любая гладкая

функция, то решение уравнения (2.1) можно найти с помощью интеграла наложения:

При решении интегрального уравнения (2.2) воспользуемся операторным методом и приведем его основные положения. С помощью операторного метода, или преобразования Лапласа, функция-оригинал f (t ) переводится в

33

функцию-изображение f (s) , или, короче, оригинал f (t ) – в изображение

=−1{ f (s)}. Преобразование функций операторным методом осуществляется

спомощью таблицы соответствий (см., например, [1]) и правил (теорем) отображения выполняемых над функциями операций.

Интегральная комбинация функций Ki (τ) и ϕ′ (τ − ξ) , содержащаяся в правой части уравнения (2.2), называется сверткой этих функций и символически обозначается Ki ϕ′ (читается: «функция Ki , свернутая с функцией ϕ′ »). Итак, имеется следующее правило (теорема) о свертке:

τ

∫ Ki(τ)ϕ′(τ − ξ)dξ = Ki ϕ′ K ϕ'.

0

Следовательно, уравнение (2.2) в изображениях примет вид θ = Ki ϕ, откуда

Ki = θϕ′ . Таким образом, поставленная задача решена в изображениях. Чтобы найти решение в оригиналах, необходимо найти изображения θ и

ϕ '. Вид изображения θ определяется заданным режимом нагрева. При определении изображения ϕ ' следует иметь в виду, что его оригиналом является производная ϕ′ . Воспользуемся теоремой дифференцирования для оригинала

ϕ′ sϕ − ϕ(0) и учтем тот факт, что всегда ϕ (0) = 0 . В результате имеем

ϕ′ sϕ и ϕ '= sϕ . Окончательным решением в изображениях поставленной задачи будет

2.1.4. Аппроксимация переходных характеристик

Оригиналы переходных характеристик содержат ряды, поэтому получить их изображения практически невозможно. В то же время основная составляющая переходной характеристики – S -функция – по характеру зависимости от τ близка к экспоненте (см. рис. 1.9).

Оказалось возможным представить S -функцию в переходной характе-

34

ристике ϕ (α, β, τ) = τ + S (α, β, τ) в виде комбинации экспонент:

где S p (α, β) , как и прежде (см. 1.3.2), характеризует регулярный режим нагрева. Если τ01 = τ02 = τ00 , то

Допустимость предложенной аппроксимации исследована для S (m,β, τ) при β = 1; 0,9; 0 . Установлено, что переходную характеристику для центра цилиндра (β = 0 ) следует определять по формуле (2.4), когда t01 ¹ t02 , а для поверхности (β = 1; 0,9 ) – по формуле (2.5), когда t01 = t02 . Необходимые данные для расчета этих характеристик приведены в табл. 2.1 (для β = 0 ) и 2.2 (для β = 1 ).

Таким образом, формулы (2.4), (2.5) и табл. 2.1 и 2.2 могут служить основой для определения закономерностей управления мощностью при различных режимах нагрева.

35

Как видно из (2.7), искомый закон управления мощностью имеет импульсную составляющую бесконечной амплитуды, действующую нулевое время, благодаря которой мгновенно устанавливается заданная температура

убывающая по экспоненте, обеспечивает постоянство температуры на поверхности.

Для того чтобы найти время нагрева τн до заданного перепада темпера-

ходная (перед нагревом) температура, обычно 293 К. Закон роста средней

37

температуры был определен ранее как

температуры между поверхностью и центром нагреваемого сплошного цилиндра τн , надо задать соответствующее перепаду конкретное значение θср и

2.2.2. Управление мощностью с начальной ступенькой

Рассматрим режим управления мощностью более близкий к реальности по сравнению с предыдущим режимом. Управление нагревом в нем осуществляется в два этапа. На первом этапе мощность задается в виде ступеньки. Уровень ее определяется технико-экономическими соображениями. На втором этапе управление мощностью осуществляется по закону, обеспечивающему поддержание заданной температуры на поверхности.

38

Ставится задача определения длительности τ0 первого этапа нагрева, в течение которого при заданном уровне мощности Ki0 ступеньки температура поверхности достигнет заданного значения θп . На втором этапе устанавливается закон изменения мощности Ki (τ − τ0 ) , обеспечивающий поддержа-

Здесь ϕ1 (α, β, τ) – переходная характеристика первого этапа. В дальнейшем, для краткости она будет обозначаться ϕ1 (τ) .

Если же Ki (τ) – любая гладкая функция, содержащая в том числе ступеньку, то решение уравнения можно найти с помощью интеграла наложения

q(b, t) = ∫τ Ki (t)j¢(t - x)dx, который при τ > τ0 можно разделить на два инте-

0

грала: