LS-Sb90926

УДК 621.365.63 (075) ББК З 292.3я7

Ц18

Царевский В. В., Печенков А. Ю., Галунин С. А.

Ц18 Частные вопросы теплообмена теплопроводностью при индукционном нагреве: электронное учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2013. 48 с.

ISBN 978-5-7629-1458-1

Cодержит материал, отсутствующий или недостаточно освещенный в рекомендуемой литературе по дисциплинам «Индукционный нагрев» и «Энергоаудит». Рассмотрение аналитических методов исследования процессов управления сквозным нагревом доведено до математических соотношений, удобных при практических расчетах с помощью программ типа MathCad.

Предназначено для подготовки бакалавров, обучающихся по направлению 140400 – «Электроэнергетика и электротехника», а также может быть полезно инженерно-техническим работникам и студентам других специальностей.

УДК 621.365.63 (075) ББК З 292.3я7

Рецензенты: кафедра электротехники и электротехнологий СПбГПУ; канд. техн. наук В. С. Федорова (ПГУПС).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве электронного учебного пособия

ВВЕДЕНИЕ

Теоретической моделью процесса высокочастотного нагрева являются уравнения Максвелла, теорема Гаусса в применении к электрическому полю, распространенная с помощью постулата Максвелла на любые (в том числе неоднородные) среды, а также принципы непрерывности магнитного потока и электрического тока. Физическая сущность уравнений Максвелла лучше раскрывается при представлении их в интегральной форме.

Для определения электромагнитного поля в каждой точке пространства уравнения Максвелла, постулат Максвелла и принципы непрерывности магнитного потока и электрического тока представляются в дифференциальной форме. Далее приводятся уравнения Максвелла в дифференциальной форме, которые используются для моделирования индукционного нагрева проводниковых материалов:

δ = J; D = ee0E; B = mm0H; J = gE.

Уравнение, определяющее принцип непрерывности линий тока для системы (В.1), является избыточным, поскольку δ = rot H , div δ = div (rot H ) = 0 , так

как расхождение вихря любого вектора тождественно равно нулю.

В ряде случаев вместо системы (В.1) уравнений первого порядка удобнее решать уравнение второго порядка относительно напряженности магнитного поля H . Если для кусочно-непрерывной среды в пределах непрерывности считать µ и g постоянными, то можно записать:

rot (rot H) = -Ñ2H ; -Ñ2H = -gmm0 ∂¶H . t

Таким образом, получаем искомое уравнение Ñ2H - gmm0 (¶H¶t ) = 0 .

Аналогичным образом можно получить уравнение относительно напряженности электрического поля. Предлагаем читателю решить эту задачу самостоятельно.

4

1. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ ИНДУКЦИОННОМ НАГРЕВЕ

1.1. Температурное поле движущихся источников тепла

1.1.1. Баланс тепловой энергии в «точке»

Перенос теплоты происходит за счет теплопроводности, конвекции, излучения или комбинации этих способов. Теплопроводность – перенос теплоты, обусловленный неоднородным распределением температуры, посредством движения микрочастиц в среде. Конвекция – перенос теплоты макроскопическими элементами среды при их перемещении. Излучение – процесс распространения теплоты электромагнитными волнами (фотонами), обусловленный температурой и физическими свойствами излучающего тела.

Температурное поле имеет скалярную T ( x, y, z, t ) и две векторные характеристики: q ( x, y, z, t ) , называемую плотностью теплового потока, и grad T , определяющую значение и направление максимальной скорости ро-

еся изотермические поверхности, каждая из которых имеет одну и ту же температуру (T + T , T , T − T и т. д.). Если в какой-либо точке M изотермической поверхности (рис. 1.1) провести к ней нормаль n в сторону роста температуры, то можно определить градиент температурного поля

где i, j, k – единичные векторы прямоугольной декартовой системы координат. Векторная характеристика температурного поля – плотность теплового потока q – в выбранной точке направлена по той же нормали в сторону максимальной скорости уменьшения температуры и определяется законом теплопроводности Фурье

Температурное поле в детали (рис. 1.2, б) «сжимается» перед индуктором и «растягивается» за ним. Деформация температурного поля обусловлена поступлением справа в зону распределения источников холодного материала детали со скоростью движения индуктора. В предельном случае (при v = 0 ) уравнение (1.5) вырождается в нестационарное дифференциальное уравнение теплопроводности в нелинейной среде

Если система координат испытывает трансляционное (поступательное) перемещение по отношению к телу и вектор скорости перемещения имеет три составляющие в перемещающейся системе координат, то уравнение (1.6) приобретает иной вид. В этом случае изменение температуры за интервал времени dt , которое наблюдается в точке M = M ( x, y, z, t ) этой подвижной

ставляющая – изменение температуры с течением времени в неподвижной точке пространства, вторая – изменение температуры, обусловленное перемещением наблюдателя, жестко связанного с подвижной системой координат. За время dt наблюдатель переместится на расстояние ds = vdt , в результате чего попадет в точку с другим значением температуры. Эта вторая составляющая имеет значение ds grad T = (v grad T )dt , где v – вектор скорости

подвижной координатной системы по отношению к телу; grad T – локальный температурный градиент. При выводе уравнения теплопроводности, основанном на составлении теплового баланса, для элемента объема тела учитывается только первая составляющая, поэтому из наблюдаемого изменения

возникшее в результате движения системы координат. Таким образом, в системе координат, совершающей трансляционное перемещение со скоростью v , уравнение теплопроводности принимает следующий вид:

Случай, когда система координат совершает не только трансляционное (поступательное), но и вращательное перемещение, характеризуется вектором угловой скорости ω . Если v – вектор скорости рассматриваемой точки относительно неподвижной системы координат, то можно записать известное из динамики твердого тела соотношение v = v0 + [ω× r] , где v0 – вектор скорости поступательного перемещения начала координат; r – радиус-вектор точки M в подвижной системе; [ω× r] = (ωy z − ωz y ) i + (ωz x − ωx z ) j +

+ (ωx y − ωy x) k (ωy z − ωz y ) i + (ωz x − ωx z ) j + (ωx y − ωy x) k – векторное про-

изведение.

Уравнение теплопроводности (1.7) принимает следующий вид:

T (M , t ) − v grad T (M , t ) − [ω× v]grad T (M , t ) = t

Это уравнение можно использовать, например, при моделировании непре- рывно-последовательной закалки валиков. Для достижения равномерного нагрева валики вращают при поступательном перемещении относительно индуктора.

1.1.3. Квазистационарный режим.

Быстродвижущийся источник тепла

Если w0 от времени не зависит, то после переходного процесса наступает квазистационарный режим. Система координат здесь привязана к полю источников. Уравнение (1.7) упрощается ( ¶T ¶t = 0 ):

Это дифференциальное уравнение квазистационарного режима. Для системы координат, связанной с источниками, v = const и v ¹ dxdt .

9

В линейной среде ( λ = const ) уравнение (1.9) можно преобразовать к ви-

ду Ñ2T = - w0 ( x, y, z) . Решением уравнения (1.8) будет стационарное темпе- l

ратурное поле T = T ( x, y, z ) .

Плотность теплового потока qx , обусловленного градиентом температуры относительно оси X , и плотность теплового потока qw , обусловленного внутренними источниками теплоты, можно найти с помощью соотношений

qx = −λ ∂T и qw = w0vtн . В качестве критерия быстрого движения источника

∂x

(индуктора) принимается отношение

Определение. Режимом быстрого движения индуктора называют та-

кой процесс, когда количество тепла, передаваемого источником, много больше тепла, текущего по направлению движения за счет теплопроводно-

сти.

10