LS-Sb90926

остается внутри тела. Теплосодержание тела в безразмерных величинах равно средней по сечению пластины температуре:

Видно, что сумма ряда (1.24) есть выражение (1.28) без τ . Этот прием расчета температурного поля в регулярном режиме универсален. Объединяя выражения (1.23) и (1.28), получаем известную формулу

Этот ряд быстро сходится, так как затухание членов ряда идет по экспоненте.

22

Важный частный случай нагрева внешними источниками тепла (внешним потоком), пригодный для расчета печного нагрева и учета тепловых потерь при индукционном нагреве, получается из выражения (1.29) при α → 0 :

1.3.3. Температурное поле в цилиндре

Рассмотрим использование S -функций при расчете температурного поля в цилиндре, нагреваемом в длинном индукторе. Температурное поле считается однородным и совпадающим с температурным полем цилиндра бесконечной длины.

Уравнение теплопроводности для одномерного случая осесимметричного поля в цилиндрической системе координат имеет вид

На первом этапе нагрева, когда нагреваемая заготовка полностью сохраняет ферромагнитные свойства, функция распределения источников тепла имеет вид

В промежуточном режиме нагрева поверхностный слой металла находится в немагнитном состоянии, а внутренние слои сохраняют магнитные свойства. В этом случае с достаточной точностью для теплового расчета можно считать, что

где α2 = 1 − (ξ R ) – параметр, характеризующий степень проявления поверхностного эффекта на втором этапе; ξ – глубина активного слоя, ξ ≤ k ( k – горячая глубина проникновения тока).

Решение уравнения теплопроводности при заданном формулой (1.32) распределении источников дает переходную адиабатическую характеристику ϕ2 (α2 , β, τ) = τ + S2 (α2 ,β, τ) . Значения S2 -функций также протабулированы.

В горячем режиме нагрева, когда толщина немагнитного слоя металла больше глубины проникновения электромагнитного поля, распределение внутренних источников тепла будет следующим:

производные.

Решение уравнения теплопроводности с заданным (1.33) распределением дает ϕ3 (m, β, τ) = τ + S3 (m, β, τ) . Значения S3 -функций протабулированы.

1.3.4. Способы учета тепловых потерь

Тепловые потери с поверхности нагреваемого тела в случае индукционного нагрева под закалку или кузнечного нагрева обусловлены конвекцией и излучением. Плотность теплового потока с нагретой поверхности при конвекции определяется законом Ньютона − Рихмана qc = αc (Ts − T0 ) , где αc – коэффициент теплоотдачи при конвективном теплообмене в процессе нагрева на воздухе; Ts – температура поверхности, T0 – температура окружающей среды (воздуха). Плотность теплового потока, обусловленного излучением, определяется законом Стефана − Больцмана qr = Сsε(Ts4 − T04 ), где Cs =

24

терь с поверхности qs = qc + qr = αs (Ts − T0 ) , где αs = αc + αr .

При нагреве под поверхностную закалку время нагрева мало, а удельная

мощность велика (до 10 4 Вт/см2), поэтому тепловые потери с поверхности можно не учитывать, в то время как при сквозном нагреве тепловые потери имеют один порядок с удельной мощностью, выделяющейся в заготовке. Для уменьшения потерь с поверхности применяется теплоизолирующая футеровка. Тепловые потери через футеровку пропорциональны температуре ее внутренней поверхности и коэффициенту теплопроводности материала футеровки. Как правило, коэффициент теплопроводности большинства теплоизоляционных материалов увеличивается с ростом температуры. В момент окончания нагрева температура внутренней поверхности футеровки максимальна и, следовательно, тепловые потери наибольшие. Уровень начального нагрева футеровки зависит от типа индукционного нагревателя. В нагревателе периодического действия температура футеровки в момент смены загрузки близка к конечной температуре. В нагревателе непрерывного действия температура футеровки у входа нагревателя меньше конечной температуры футеровки примерно во столько раз, сколько заготовок размещается в нагревателе. Таким образом, в нагревателе периодического действия всегда в начале нагрева очередной заготовки существует тепловой поток от внутренней поверхности футеровки к поверхности заготовки, а через некоторое время его направление меняется на обратное. В нагревателях методического действия направление теплового потока может меняться несколько раз в течение нагрева.

Размеры тепловой изоляции индуктора выбираются так, чтобы полный КПД, равный произведению электрического и термического КПД, был максимальным. Термический КПД индуктора в конце нагрева должен быть не менее 0,7–0,8.

Для теплового расчета можно использовать адиабатические переходные характеристики. Если интервалы линейности удельной мощности и теплофизических свойств нагреваемой среды совместить с холодным, промежуточ-

25

ным и горячим режимами нагрева, то при N = 3 и при τ3 − τ2 > τp получим квазистационарное распределение температуры в конце нагрева:

где, как и прежде, группа координат β1, β2 , β3 для краткости обозначена одной буквой β .

Формула (1.34) не учитывает тепловых потерь. Если плотность тепловых потерь, по аналогии с удельными мощностями, аппроксимировать тремя ступенями, q01 , q02 и q03 , то при квазистационарном режиме в конце нагрева справедливо условие

i = 1, 2, 3; S0 p (β) = S p (α3, β) при α3 → ∞ .

Распределение температуры с учетом тепловых потерь можно определить как

Если условно обозначить координату центра нагреваемого тела β = 0 , а ко-

Из последних двух формул видно, что распределение температуры по сечению заготовки зависит только от K i3 и Kiq3 (от p03 и q03 соответственно).

26

2.УСКОРЕННЫЙ НАГРЕВ

2.1.Постановка задачи оптимального управления индукционным нагревом

2.1.1. Общие понятия

Пусть состояние прямолинейного движения тела определяется функцией x1 (t ) и скоростью x2 (t ) . На движение можно влиять выбором ускорения u (t ) . Движение моделируется уравнениями

xɺ1 = x2 ; xɺ2 = u .

Итак, состояние объекта, описываемое системой обыкновенных дифференциальных уравнений, меняется под внешним воздействием u (управление).

Пусть объект имеет более сложную структуру и его состояние описыва-

ется функциями x1 (t ), x2 (t ) , ¼, xn (t ) . Это фазовые координаты объекта.

пространство точек называется пространством управления. Если x0 = x (t0 ) есть начальное состояние объекта, то состояние x (t ) должно однозначно определяться заданием x0 и u (t ) . Соответствующую кривую в пространстве

состояний, исходящую из точки x0 , называют траекторией.

В общем случае на u (t ) накладываются ограничения в виде подмножества в пространстве управления

u1 (t ) ≤ α1; u2 (t ) ≤ α2 ;

ur (t ) ≤ αr.

Это область управления U .

27

При одинаковом исходном (начальном) состоянии под воздействием различных допустимых управлений получают различные функции состояния

и, следовательно, различные процессы (u(t), x (t)) . Имеет смысл говорить о

процессе, который в некотором роде оптимален. Тогда говорят об оптимальном процессе, соответствующее управление называют оптимальным управлением, соответствующие состояние – оптимальным, а соответствующую кривую – оптимальной траекторией.

Сформулируем основную задачу. Пусть задана динамическая система

xɺ = f ( x, u, t ) с начальным условием x (t0 ) = x0 и областью управления U . Следует найти такое допустимое управление и соответствующую траекторию, при которых для конечного фиксированного момента времени t1 верно выражение

n

J= ∑ ci xi (t ) = cx (t1 ) = min ,

i=1

где ci - заданные постоянные (весовые функции); J - функционал. Системы, состояние которых характеризуется поведением во времени

набора конечного числа функций одной переменной, описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями и называются системами с со-

средоточенными параметрами (ССП), или сосредоточенными системами.

На практике любой технический объект управления имеет определенные геометрические размеры. Функция, характеризующая его состояние, изменяется в пределах области, занимаемой объектом, и зависит от времени и от пространственных координат. Системы, состояние которых описывается функциями нескольких аргументов, зависящими как от времени, так и от пространственных координат, называют системами с распределенными па-

раметрами (СРП), или распределенными системами.

Любой реальный объект, для которого пренебрежение пространственной зависимостью функции состояния невозможно, представляет собой СРП. Огромное число реальных управляемых процессов различной природы (электромагнитное и температурное поля, поля концентраций, перемещений, деформаций, напряжений, скоростей, давлений, потенциалов и т. д.) относятся к СРП. Типичным примером СРП является система управления нагревом массивных металлических заготовок перед последующими технологически-

28

ми операциями обработки давлением (прокатка, прессование, штамповка и др.).

При индукционном нагреве создается пространственная неравномерность распределения температуры, которую необходимо учитывать для достижения заданных конечных температурных кондиций, определяемых требованиями процесса пластической деформации нагретых заготовок. Если нагрев производится в методическом нагревателе, принцип работы которого базируется на неравномерном распределении температуры по длине нагревательной установки, то моделирование температурного поля возможно как для СРП. К числу СРП относятся системы, создаваемые по традиционным и новейшим технологиям в различных областях техники, зачастую нереализуемые без построения соответствующих систем автоматического управления.

Принципиальные особенности СРП по сравнению с ССП:

1.Состояние СРП описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными уравнениями, а также системами уравнений различной природы, включая и обыкновенные дифференциальные уравнения.

2.В СРП принципиально расширен класс управляющих воздействий за счет возможности включения в их число пространственно-временных управлений, описываемых функциями нескольких аргументов – времени и пространственных координат. Становится непригодной стандартная техника исследования ССП.

3.Пространственно-распределенные функции состояния и управляющие воздействия в СРП, даже традиционные в плане постановки задач управления, не имеют аналогов в задачах управления ССП.

Отмеченные особенности приводят к необходимости обобщений важнейших категорий теории управления на случай СРП и создания нового аппарата для их анализа и синтеза на базе не характерных для теории управления математических средств.

Реализация систем управления объектами с распределенными параметрами резко усложняется за счет необходимости пространственно-распреде- ленного контроля состояния объекта и наблюдения за результатами процесса управления с использованием соответствующих сигналов обратных связей, а также за счет необходимости построения регуляторов с пространственно-рас- пределенными управляющими воздействиями. Решение этой весьма сложной

29

и актуальной проблемы достигается сочетанием фундаментальных исследований в области общей теории управления с поиском нестандартных инженерных решений.

2.1.2. Понятие ускоренного нагрева

Наличие внутренних источников тепла при индукционном нагреве позволяет получить более высокую производительность сквозного нагрева по сравнению с производительностью пламенных печей и печей сопротивления (электрических печей). Распределение источников тепла по сечению неравномерное, потому что плотность индуцированных токов уменьшается с глубиной, а плотность внутренних источников тепла пропорциональна квадрату плотности тока.

При ярко выраженном поверхностном эффекте, когда глубина проникновения тока в несколько раз меньше характерного размера нагреваемого тела, плотность тока уменьшается с глубиной по экспоненте. Когда глубина проникновения тока больше размеров поперечного сечения нагреваемого тела, плотность индуцированного тока изменяется по линейному закону, а плотность источников - по квадратичному.

Таким образом, в случае двустороннего нагрева пластины или осесимметричного нагрева цилиндра основное количество внутренних источников тепла сосредоточено у поверхности нагреваемого тела, а в центре поперечного сечения источники отсутствуют. Прогрев происходит главным образом за счет теплопроводности. Скорость нагрева зависит от перепада температуры между поверхностью и центром.

Если в начале нагрева поднять температуру поверхности тела до нужного конечного значения и поддерживать ее постоянной, то прогрев сердцевины будет протекать с максимально возможной скоростью. Так реализуется ускоренный нагрев. При этом продолжительность процесса прогрева до заданного перепада температуры между центром и поверхностью минимальна. Ускоренный нагрев достигается регулированием мощности, выделяющейся в нагреваемом теле.

Оптимизация индукционных нагревателей – один из наиболее перспективных путей повышения эффективности индукционного нагрева. Суть ее заключается в разработке мероприятий по управлению нагревом и по конструированию нагревателей. Цель оптимизации – достичь наилучшего эф-

30

фекта в каком-либо техническом или технико-экономическом смысле.

В наиболее общей постановке задачи оптимизации рассматривается экономический критерий оптимизации, например полная стоимость нагрева металла. При этом отдельные компоненты такого критерия учитывают:

∙производительность процесса;

∙точность получения заданного температурного поля;

∙расход электрической энергии;

∙потери металла на образование окалины;

∙характеристики оборудования (стоимость, срок службы, амортизационные и эксплуатационные расходы).

Формирование подобного (глобального) критерия оптимальности как аналитической функции фазовых координат (траекторий) системы является большой самостоятельной задачей, на современном этапе далекой от завершения. Значительно проще поддаются решению задачи оптимизации с критерием, составленным применительно к самому процессу нагрева. Связь процесса нагрева с конструкцией нагревателя реализуется в виде ограничений, накладываемых на процесс управления нагревом. Можно выделить три задачи такого плана:

1. Задача на минимум времени. Необходимо определить режим нагрева, обеспечивающий за минимальное время нагрев изделия до заданной температуры с заданными градиентом и точностью по всему объему нагреваемого тела при заданных ограничениях по мощности, по допустимым термонапряжениям, по максимальной температуре.

2. Задача на максимум точности. Необходимо определить режим нагрева, обеспечивающий за фиксированное время минимальное отклонение результирующего температурного поля от заданного при прочих ограничениях, указанных в первой задаче (пример – градиентный нагрев). Подобная постановка задачи эквивалентна требованию обеспечения наилучшего качества нагрева в условиях фиксированной производительности. Она характерна для нагревателей, работающих в условиях жестко фиксированного цикла работы, например, ковочного устройства.

3. Задача на минимум расхода электроэнергии. Необходимо обеспечить режим нагрева с заданными параметрами температурного поля на выходе при минимальном расходе электроэнергии.

Существует также задача минимизации потерь на окалину, но ее реше-

31