LS-Sb90926

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

w1 (α1, β) =

при 0 ≤ β ≤ α1;

w1 (α1, β) =

при 0 ≤ β ≤ α1;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2021

Размер:

493.96 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

сти, А/м; ρ – удельное сопротивление, Ом×м; μ – относительная магнитная проницаемость; f – частота, Гц.

Если ток в индукторе изменяется, то изменяется и H me , причем сразу на всей поверхности. Соответственно, во всех точках нагреваемого тела изменяется плотность индуцированных токов, следовательно, плотность источников тепла изменяется всюду одновременно. Таким образом, представляется возможность разделить переменные:

w	( x, y, z,t ) =	p0 (t )	w ( x, y, z ) .	(1.12)

0		R

Здесь R – базовый (наиболее характерный для тел данной формы) размер те-
ла; w ( x, y, z ) – безразмерная функция, зависящая от координат.
Строго говоря, выражение (1.12) справедливо для немагнитного тела (
μ = 1 ) или для ферромагнитных нагреваемых тел, если принять				μ = const.

На самом деле для ферромагнитных тел μ = μ (H ) . В этом случае закон распределения внутренних источников тепла приобретает сложную зависимость от p0 (t ) .

Уравнение теплопроводности на интервале линейности можно представить в безразмерных числах подобия:

∂θ - Ñ2q = Ki (t ) w(a, b , b

, b

(1.13)

¶t

p0 (t ) R

где τ =

Ki (t )

–

число Фурье (безразмерное время);

– число

l (T

- T

)

Кирпичева (безразмерная удельная мощность);

θ =

T − Tн

–

относительная

T0 - Tн

температура;

α =

R - безразмерный параметр,

характеризующий степень

проявления поверхностного эффекта;

– глубина проникновения электро-

магнитного

поля

в материал нагреваемого

тела;

β1 = x R ,

β2 = y R ,

β3 = z R – относительные координаты;

Tн , T0 –

начальная и базовая темпе-

ратуры соответственно.

Условием теплоотдачи с поверхности тела является

∂θ = -Bi q,

(1.14)

¶n

где n – безразмерный орт нормали к поверхности нагрева; Bi = (a0 R )l – число Био, характеризующее интенсивность тепловых потерь; α0 – коэффициент теплоотдачи с поверхности.

Начальным условием для каждого интервала линейности служит распределение температуры в конце предыдущего интервала. Для первого интервала при τ = 0

q(0) = 0 .

(1.15)

1.2.2. Переходная и импульсная характеристики нагрева

Примем мощность, выделяющуюся в нагреваемом теле, постоянной, т. е. Ki (t ) = Ki (0) . Тогда решение уравнений (1.12) и (1.13) при условиях (1.14) и (1.15) будет иметь вид

θ(τ) = Ki (0)j (a, b1, b2 , b3, t, Bi) .

(1.16)

Функция j (a, b1, b2 , b3, t, Βi) описывает температурное поле в нагре-

ваемом теле при единичной мощности ( Ki = 1) как реакцию тела на нагрев после включения единичной мощности (для краткости при записи этой функции будем указывать только ее зависимость от τ как j (t) , опуская аргумен-

ты (a, b1, b2 , b3, Bi) ). Это аналог переходной характеристики электрической

цепи. В этом случае (при p	0	(t ) = 1)	w	=	δ1 (t )	w ( x, y, z ) , где d	(t ) – единич-

			0		R	1

ная ступенчатая функция. Аналитически ее можно представить (рис. 1.3. а) следующим образом:

				δ (t ) =	0			при	t < 0,
				1				при	t > 0.
					1			при	t > 0.
Единичную ступенчатую функцию, смещенную на td > 0 , можно запи-
сать в виде
				δ1 (t − td )	=	0		при	t < td ;
				δ1 (t − td )	=	1		при	t > t .
										d
При этом, если p	0	(t ³ t	d	) = 1 , то w		=	δ1 (t − td )			w ( x, y, z ) (рис. 1.3. б).
При этом, если p		(t ³ t		) = 1 , то w		=				w ( x, y, z ) (рис. 1.3. б).
					0			R
								R

1	δ1(t)	1	δ1(t – td)
1		1

t	td	t
а		б

Рис. 1.3

– t1/2	0	t1/2	t	t
		а		б
	f1
	f1

– t1/2	0	t1/2	t	t	t
		в			г
		Рис. 1.4

Производная ϕ′(τ) описывает температурное поле при мощности в виде

бесконечно короткого импульса как реакцию тела на нагрев импульсом. Это аналог импульсной характеристики электрической цепи. Импульсная характеристика нагрева представляется с помощью единичной импульсной функции, которую обозначим δ0 (t ) . Чтобы определить эту функцию, рассмотрим две функции:

∙	f1 (t ) , линейно возрастающую				от		нуля до единицы на интервале
(− t1 2, + t1 2) и равную единице при t ³ t1							2 (рис. 1.4, а);
∙ первую производную		f2 (t) =	df1 (t)
						, представляющую собою прямо-

					dt
угольный импульс длительностью t1					и амплитудой 1 t1 (рис. 1.4, б). Пло-
щадь,	ограниченная f2 (t ) ,	равна единице независимо от значения t1 . При
t1 ® 0	амплитуда функции	f2 (t ) будет стремиться к бесконечности, а дли-
тельность импульса – к нулю. Таким образом, получена единичная импульс-
ная функция (рис. 1.4, в)
	lim f2	(t ) = d0 (t ) = ¥ при t = 0;
					0		при t ¹ 0.
Функция, смещенная на время td				(рис. 1.4, г), может быть записана как
	d0	(t - td ) =		¥ при t = td ;
					0 при t ¹ td .

Итак, ступенчатое воздействие –					это включение источника единичной
мощности «на постоянно», импульсное воздействие – включение бесконечно
мощного источника на нулевое время нагрева.

1.2.3. Применение интегралов наложения для расчета температурного поля при переменной мощности

При переменной мощности температурное поле можно рассчитать, придав изменению мощности ступенчатый характер (рис. 1.5). Пусть Ki (τ) – любая гладкая функция. Представим ее в виде конечного числа ступеней и выполним их наложение, используя формулу (1.16):

θ(τ) = Ki(0)ϕ(τ) + Ki(ξ

)

− Ki(0)

ϕ(τ− ξ

) + Ki(ξ

) − Ki(ξ

) ϕ(τ− ξ

) + ... =

= Ki (0)ϕ(τ) + ∑

Ki(ξn+1 ) − Ki (ξn )

ϕ(τ − ξn+1 )(ξn+1 − ξn ).

ξn+1 − ξn

Ki(τ)	Ki(τ)
	Ki(τ)
	Ki(	)
	i(ξ22)
	Ki(i(ξ11))
	Ki(0)i(
ξ1	ξ2	τ
ξ1	ξ2	τ
1	2
	Рис. 1.5

При n → ∞

				τ	(ξ)ϕ(τ − ξ)dξ ,
				′		(1.17)
				θ (τ) = Ki(0)ϕ(τ) + ∫ Ki		(1.17)
				0
где	Ki′(τ) =	∂Ki	;	ξ – вспомогательная переменная. Это интеграл наложения
где	Ki′(τ) =	∂τ	;	ξ – вспомогательная переменная. Это интеграл наложения
		∂τ

(интеграл Дюамеля) по переходной характеристике.

Интегрируя (1.17) по частям, можно найти вторую форму записи интеграла наложения:

θ(τ) = Ki(0)ϕ (τ) + ϕ (τ− ξ)Ki(ξ)	ξ=τ	τ	′	(τ− ξ)(−1)d ξ =
	ξ=τ	τ	′
	ξ=0	− ∫ Ki(ξ)ϕ
	ξ=0	− ∫ Ki(ξ)ϕ
		0
			τ	′	(τ− ξ)d ξ.
				′
= Ki(0)ϕ (τ) + ϕ(0)Ki(τ) − ϕ (τ)Ki(0) + ∫ Ki(ξ)ϕ
			0

Так как ϕ(0) = 0 , то θ(τ) = ∫τ Ki(ξ)ϕ′(τ − ξ)dξ .

Используя терминологию теории электрических цепей, функцию ϕ(τ) назовем переходной характеристикой, а ϕ′(τ) – импульсной.

Формула (1.17) справедлива при единственном ограничении: числа Био должны быть одинаковыми на всех интервалах. Если это неприемлемо, например, в случае футерованных нагревателей методического действия, можно принять Bi = 0 ( α0 = 0 , адиабатический процесс). Тепловые потери можно учесть другими известными методами.

1.3.Расчет температурных полей с использованием S-функций

1.3.1.Температурное поле в пластине. Постановка задачи

При двухстороннем симметричном индукционном нагреве стальных листов, ширина которых в пять и более раз превосходит толщину, плотность тока постоянна по всей поверхности, за исключением углов. Температурное поле в средней части пластины описывается одномерным уравнением теплопроводности

	x	0
	β	0
	β	0
	1	0
	1
	R0
	d
	Рис. 1.6

∂θ −

∂2θ

= Ki w (α, β) ,

(1.18)

∂τ

∂β2

где β = 2 x d

–

относительная

координата; d – толщина

пластины. Точка x = 0

(β = 0)

лежит на поверхности пла-

стины, а точка

x = d 2

(β = 1)

–

в центре поперечного се-

чения пластины (рис. 1.6). Напомним, что

Ki =

p0 (τ)d

p0 (τ) R0

;

2λ (T0 − Tн )

λ (T0 − Tн )

τ =

4at

;

= d 2 .

Функция w (α, β) зависит от режима нагрева. В холодном режиме нагрева, когда металл пластины еще обладает магнитными свойствами,

где α1 = 2 x1 d ; x1 = 1, 46 e .

В промежуточном режиме распределение внутренних источников тепла приближается к ступенчатой форме:

где α 2 = 2ξd = ξ R0 , R0 = d 2 , ξ – глубина активного слоя с внутренними источниками. Параметр α2 может изменяться в интервале 0...0, 5 ; α2 = 0, 5 – предельное значение при индукционном нагреве пластин.

В горячем режиме нагрева, когда толщина слоя, прогретого выше точки магнитных превращений, больше глубины проникновения электромагнитного поля, распределение внутренних источников тепла имеет вид

		h ch (1 − β) h − cos (1 − β) h
	w =			,

	3		sh h − sin h

где h = α3 = d ,	– глубина проникновения поля в немагнитный металл.
При любом	распределении		внутренних источников тепла wi (αi , β)

(i = 1, 2, 3) и нулевом начальном условии температурное поле в пластине пропорционально переходной характеристике θi (β, τ) = Ki ϕi (αi , β, τ, Bi) .

Если (1.18) решать при адиабатических краевых условиях ( Bi = 0 ), то ϕi (αi , β, τ) = τ + Si (αi , β, τ) . Все S -функции протабулированы. При ярко выраженном поверхностном эффекте, когда частота тока столь велика, что α1 → 0 , α2 → 0 , h → ∞ , значения всех S -функций совпадают: S1 (0, β, τ) =

= S2 (0, β, τ) = S3 (∞, β, τ) = S0 (β, τ) . Функция S0 (β, τ) описывает температурное поле в пластине при воздействии внешнего теплового потока.

В качестве примера определения S -функций рассмотрим промежуточный режим нагрева пластины. Функция внутренних источников тепла w (α, β) определена формулами (1.19). Индекс 2 в примере опущен. Уравнение теплопроводности в этом случае приобретает вид

∂θ − ∂2θ = Ki w (α, β) . ∂τ ∂β2

Решением его будет равенство θ(β, τ) = Ki ϕ(α, β, τ) , где Ki = Ki (0) = Ki0 и ϕ удовлетворяет уравнению

∂ϕ	−	∂2ϕ	= w (α, β)	(1.20)
∂τ		∂β2
с начальным условием ϕ (0) = 0	и граничными условиями второго рода на

поверхности (вследствие адиабатического характера процесса) и в плоскости

симметрии соответственно:	∂ϕ		= 0	,	∂ϕ	= 0 . Решение уравнения
	∂β				∂β
		β=0				β=1

(1.20) будем искать в виде ряда Фурье

	a0 (τ)
ϕ (β, τ) =		+ ∑ an (τ)cos nπβ ,	(1.21)
ϕ (β, τ) =	2	+ ∑ an (τ)cos nπβ ,	(1.21)
	2	n=1

где a0 (τ) и an (τ) – неизвестные функции; nπ – собственные числа; cos nπ – собственные функции задачи. Форма записи (1.21) удовлетворяет граничным

условиям. С целью определения a0 (τ) и an (τ)

правую часть (1.20) разлага-

ем в ряд Фурье w (α, β) =

∞

+ ∑ bn cos nπβ , где

n=1

= ∫ w dβ = ∫

dβ = 1;

(1.22)

2sin nπα

bn = 2∫ wcos nπβdβ = 2 ∫

cos nπβ =

nπα

Подставляя в уравнение (1.20) члены нулевого порядка из рядов (1.21) и

d (a0

(1.22), находим

− 0

= 1,

= τ + const,

= τ , где const = 0 из-за

dτ

начального условия. Аналогично, для n-го члена получаем:

dan cos nπβ + an (nπ)2 cos nπβ = bn cos nπβ dτ

или


			dan	+ a		(nπ)2 = b .
				+ a		(nπ)2 = b .
			dτ		n		n
			dτ
Решение дифференциального уравнения такого рода при нулевых крае-
вых условиях известно:	a =		bn		1− e−n2π2τ		. Теперь решение (1.21) приоб-
вых условиях известно:	a =				1− e−n2π2τ		. Теперь решение (1.21) приоб-
	n	n2π2
		n2π2

ретает вид

ϕ (α, β, τ) = τ +

∞

sin nπα

−n2π2

∑

cos nπβ 1 − e

(1.23)

απ3 n=1

Второе слагаемое правой части (1.23) называют S-функцией, т. е.

S (α, β, τ) =

∞ sin nπα

−n2π2τ

∑

cos nπβ

− e

απ3 n=1

1.3.2. Понятие регулярного режима нагрева

Из (1.23) видно, что уже при τ = 0,35 значение e−π2 0,35 ≈ 0,03 пренебрежимо мало по сравнению с единицей. Следовательно, при τ > τp = 0,35

наступает режим, при котором S-функция перестает зависеть от τ , а переходная характеристика начинает линейно зависеть от τ . Этот режим называют регулярным. Решение в нем может быть записано как θ = Ki0ϕp =

		, где
= Ki0	τ + S p (α, β)	, где
		S p (α, β) =	2	∞	sin nπα
				∑		cos nπβ	(1.24)
				∑	n3	cos nπβ	(1.24)
			απ3 n=1		n3

от τ не зависит.

При τ → ∞ внутренний тепловой поток не зависит от времени. Так как теплоотдача во внешнюю среду отсутствует (процесс адиабатический), то постоянство теплового потока приводит к линейному росту температуры во всех точках тела с постоянной скоростью (рис. 1.7). В частности, температура поверхности θп и центра θц пластины при τ > τp растет линейно (рис. 1.8).

θ
		∂θ	= 0
		∂β	= 0
			β=0,1
0	1	β
	Рис. 1.7

θ		θп
θ

		θц










		τ







0	τp
	Рис. 1.8

Примером адиабатического процесса можно считать нагрев в индукторе с идеальной тепловой изоляцией. Если нет тепловых потерь с поверхности нагреваемой заготовки, то Bi = (α0 R )λ = 0 , что возможно, в частности, когда коэффициент теплоотдачи с нагреваемой поверхности α 0 = 0 (не путать с

характеристикой поверхностного эффекта α = R ). В этом случае lim θ = ∞ .

τ→∞

S(α,β,τ)				Таким образом, при t ³ tp в регу-
S(α,β,τ)				Таким образом, при t ³ tp в регу-
	β = 0		Spп	лярном режиме ϕ(α, β, τ) = τ + Sp (α, β) =
				= ϕp (α, β, τ) и	S p (α, β) не зависит от

	β < 1		Sp






				времени (рис. 1.9). При τ = 0 все S , в том








0	β = 1		τ	числе S p , равны нулю, так как ϕ = 0 .
			Spц	В зоне регулярности решение (1.13)










	Рис. 1.9			принимает вид
	θ p	= Ki0ϕ p (α, β, τ > τ p ) = Ki0 τ + S p (α, β) .

Это уравнение прямой θp = θp (τ) . Скорость роста температуры одинакова во всех точках сечения тела:

	∂θp	= Ki0 .	(1.25)

	∂τ
В регулярном режиме уравнение теплопроводности с учетом (1.25) при-
нимает вид
Ki0 - Ñ2q = Ki0w(a, b) .			(1.26)

Для одномерных полей (1.26) имеет простые аналитические решения при любых видах функции w (α, β) . Для всех режимов нагрева S-функции определены и протабулированы: ϕ (αi , β, τ) = τ + Si (αi , β, τ) , i = 1, 2, 3. При ярко выраженном поверхностном эффекте, когда частота тока столь велика, что α1 → 0 , α2 → 0 , h → ∞ , значения всех S -функций совпадают:

S1 (0, β, τ) = S2 (0, β, τ) = S3 (∞, β, τ) = S0 (β, τ) .

Функция S0 (β, τ) описывает температурное поле в пластине при воздей-

ствии внешнего теплового потока. Ряд (1.24) плохо сходится. Его сходимость можно улучшить, рассмотрев отдельно регулярный режим. В этом случае уравнение для переходной характеристики jp = τ + S p (α, β) определяется подстановкой ее в (1.20):

1 - d 2jp db2 = w (a, b) .

Для решения используются нулевые граничные условия ∂ϕ p = 0 .

∂β β=0;1

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.2021626.97 Кб1LS-Sb90434.pdf
#
13.02.2021258.48 Кб3LS-Sb90913.pdf
#
13.02.2021310.11 Кб10LS-Sb90920.pdf
#
13.02.2021254.81 Кб9LS-Sb90922.pdf
#
13.02.2021590.25 Кб16LS-Sb90923.pdf
#
13.02.2021493.96 Кб5LS-Sb90926.pdf
#
13.02.20211.13 Mб24LS-Sb92720.pdf
#
13.02.2021313.73 Кб7LTPNCxELAA.pdf
#
13.02.2021343.66 Кб8NDVwWO28D2.pdf
#
13.02.2021251.21 Кб3nriU4Wrw3m.pdf
#
13.02.2021295.77 Кб2o4B27JBzCT.pdf