LS-Sb90324

где V> и V=

FПJ<>K = V> <>'FD ; FПH<=I = V= <='FD,

–

величины, зависящие от геометрической формы

безразмерные

2N

2N

сечения.

Как

правило, эти слагаемые значительно

меньше остальных, и ими

а перемещение, вызванное этой силой, –

обобщенным перемещением.

Потенциальную энергию всего стержня найдем, проинтегрировав

выражение для FП:

2>'FD + W 2='FD

+ W )'FD

+ W V><>'FD + W V=<='FD.

П = W

2+'FD

+ W

X

2N?O

X

2 ?>

X

2 ?=

X

2

X

2N

X

2N

Теперь рассмотрим стержень длиной

, жестко защемленный одним

концом. Известны геометрические характеристики стержня ,

?>, ?O, модуль

нормальной упругости материала

, модуль упругости при сдвиге

.

К

свободному

торцу

стержня

последовательно

Nприложим

растягивающую силу

, скручивающий момент

и изгибающий момент

Накопленная в

стержне

потенциальная энергия2к

упругой деформации

численно2и.

)'

равна работе каждой из этих внешних сил:

^

к

и

= 0;

2 при ≠ 0, 2 = 2

П = ]

2к'FD

при 2к ≠ 0, = 2и = 0;

2N?O

2и'FD

при 2и ≠ 0, 2к = = 0.

2 ?>

Рассмотрим

производные

от

энергии

упругой

деформации по

[

LП

2к

LП

2и

LП

соответствующей обобщающей силе:

= ∆Θ; L2к

= ?> = ∆φ.

L

=

= ∆ ; L2к

= N?O

целого. Тело испытывает деформацию под действием

обобщенных сил

, ', . . . , . Энергию упругой деформации выразим функцией этой группы

сил: П = ПH , ', . . . , I. Если одной из внешних сил, например

, придать

П = П + LП F .

небольшое приращение F , то энергия упругой деформации возрастет:

сначала была приложена бесконечно

Возьмем другой случай. Допустим,L

малая сила

, вызывающая бесконечно малое перемещение. Работой силы

можно пренебречьF

как бесконечно малой величиной второго порядка по

сравнениюF

с работой приложенных затем сил

. Потенциальная

энергия упругой деформации, вызванной этими силами, ', . .,. ,по-прежнему равна

П. В точке приложения силы произойдет конечное перемещение

δ , при

котором малая сила F , приложенная вначале, совершит работу

δ F .

Тогда накопленная потенциальная энергия

.

Потенциальная энергия деформации неП зависит= П + δ отF порядка

, в котором

LП

следовательно,

прикладываются силы, поэтому П = П и,

откуда

П + L F = П + δ F ,

LП

δ = L .

растяжения-сжатия. Перемещение определяется по формуле

L)

δр = 8

) L

FD.

H Iпр

Для

определения перемещения

крайней

правой точки стержня необходимо записать

выражения для нормальной силы

на

каждом

грузовом

участке, продифференцировать)

их по

перемещение по обобщенной силе

L2>

δр = 8

2> L

FD

J ?>Kпр

и угловое перемещение (угол поворота)

L2>

θ = 8

2>

L2

FD.

J ?>Kпр

23

Для определения перемещения крайней правой точки стержня

необходимо записать выражения для изгибающего момента 2>

на каждом

грузовом участке,

продифференцировать

их по силе

для

линейного

перемещения и по

для угла поворота, а затем найти

значения перемещений2

на каждом участке.

Значение J ?>Kпр

рассчитывается для каждого

грузового участка исходя из данных о реальной

конструкции. Для третьего грузового участка,

состоящего

из двух

элементов (см. рис. 4.2, а),

Рис. 4.6

расположенных параллельно:

πi

A

A

A

A

A

πg

J ?>Kпр

=

?>

+ '

?>', ; ?> =

−

,

причем осевой момент инерции

рассчитывается отдельно для каждого

?>

4

4

элемента внутри этого участка.

б

а

в

Рис. 4.7

схемы с одной степенью свободы.

Допустим, система, представленная на рис. 4.8,

выведена из состояния статического равновесия.

Инерционный элемент с приведенной массой

пр

перемещен на .

Внешние R& возбуждающие

силы отсутствуют.

Составим уравнение движения,

пользуясь вторым

Рис. 4.8

Rj = .

Введя обозначение

= −kпрR+.

ω

'

=

kпр

получим

пр,

Rj + ω

R

= 0.

Получим

+

'

+

R+ = m

9n.

Составим характеристическое уравнение по методу Эйлера

V' + ω' = 0,

V' = −ω' ,

V = ± ω.

: pn удобно

Для дальнейшего анализа показательные функции

m

pn и

m

Постоянные

R

= q sin ωu + v cos ωu.

представить тригонометрическими:

+

интегрирования определяют из начальных условий. При

перемещение

скорость

+

, следовательно,

&

Выражениеu = 0

свободногоR+ = R&,

движенияRy =возбужденной0

системыv = R , qносит= 0.

гармонический характер:

Введенную ранее величинуR+ =(числоR& cos колебанийωu.

за время

) называют

угловой собственной частотой колебанийω

, рад·с – 1

:

2π

ω = zk

пр

.

пр⁄

Кроме угловой определяют линейную собственную частоту колебаний {, Гц:

{ =

ω

=

1

|

kпр

2π

2π

пр

.

одной степенью свободы (рис. 4.9, б). Она состоит из безынерционного

участка длиной l с приведенной изгибной жесткостью

J ?>Kпр и

сосредоточенной приведенной массы пр.

,

Массу последнего участка представим как сосредоточенную массу

приложенную в центре масс последнего участка. Массы всех остальныхс

участков – распределенные массы р

= ρ ~ , р' = ρ'~', . . . , р = ρ ~ .

Тогда приведенная масса

+ 0,23 р,

пр = с

26

где р = р + р' + + р .

Коэффициент жесткости для

участка с жесткой заделкой с одной

стороны

3J ?>K

k =

A .

а

б

Рис. 4.9

следовательно, приведенная жесткость

1

1 ;

A

=

A

+

'A

+ +

A

.

= 8

K

K'

K

kпр

k

3J ? Kпр

3J ?

3J ?

3J ?

>

>

>

>

3J ?>Kпр

б:

Коэффициент жесткости для схемы на рис. 4.9,

Тогда

kпр =

A

.

1

kпр

1

|

3J ?>Kпр

{ = 2π

| пр

= 2π

J

соср

р

K

A

.

+ 0,23