Sb95747

Методика построения НЧ-части желаемой ЛАХ имеет некоторые различия для вариантов А и Б.

Вариант А. Основное требование состоит в том, чтобы точная (не асимптотическая!) ЛАХ следящей системы не проходила ниже контрольной точки A (рис. 2, а) с координатами ( ωк , Lк), где частота ωк

равна частоте входного гармонического воздействия ωi , а ордината Lк, дБ

частоту ωi , как на рис. 2, а. Это связано с тем, что при других вариантах расположения НЧ-части (на рис. 2, а они показаны штриховыми линиями) возникают осложнения: если ω1 ωi , то добротность системы оказывается

завышенной по сравнению с расчетным значением, определяемым выражением (4.1), и, следовательно, требуются завышенные значения коэффициентов усиления предварительных усилителей; если же ω1 ωi ,

то могут возникнуть трудности с сопряжением НЧ- и СЧ-частей ЛАХ, синтезируемых на основе различных требований.

С учетом изложенного рекомендуется следующий порядок построения НЧ-части желаемой амплитудной характеристики.

1. Определить Lк по формуле (5.1).

12

2. Построить контрольную точку Α1 с координатами ωк и L1 Lк 3 ,

дБ (ординаты точной и асимптотической ЛАХ на сопрягающей частоте отличаются на 3 дБ).

3. Через контрольную точку провести асимптоты с наклонами –20 и

– 40 дБ/дек.

Рекомендуется после этого графически определить по построенной НЧ-части значение добротности и убедиться, что оно совпадает со значением, найденным по формуле (4.1).

Вариант Б. Входное воздействие произвольной формы с ограниченными скоростью изменения ω0 max и ускорением ε0 max должно быть пересчитано на эквивалентное гармоническое

θiэ(t) θi эmsinωi эt

по формулам

Основное требование, налагаемое на НЧ-часть ЛАХ, состоит в том, что ее точный график не должен заходить в запретную область, граница которой отмечена штриховкой на рис. 2, б. Ордината точки А определяется формулой

Порядок построения НЧ-части ЛАХ следующий.

1.Определить Lкэ по формуле (5.2).

2.Построить контрольную точку ( ωiэ, L1), где L1 Lкэ 3, дБ.

3.Провести через нее асимптоты с наклонами –20 и –40 дБ/дек.

Как и в предыдущем случае, рекомендуется по графику ЛАХ определить значение добротности системы и сравнить со значением, найденным по формуле (4.2).

5.2. Средне- и высокочастотная части желаемой ЛАХ

Вариант М. Наиболее простой способ построения СЧ-части по заданному значению показателя колебательности предусматривает следующую последовательность действий.

13

1.Определить частоту ω0 пересечения продолжения второго участка ЛАХ с осью частот (см. рис. 1) графически или по формуле

ω0 ωi D ω .

2.Найти сопрягающую частоту ω2 как

ω2 ω0 MM 1 .

3.Задаться значениями сопрягающих частот ω3 и ω4 с учетом

ограничения T34 Tm , где T34 ω3-1 ω-41, а

M (M 1) Tm ω0(M 1) .

Не следует сильно занижать значение T34 по сравнению со значением Tm , так как это может повлечь за собой необходимость реализации

завышенных значений коэффициентов усиления схемы управляющей части системы, а также снизит ее помехозащищенность. По той же причине нежелательно, чтобы частота ω4 превышала частоту ω3 более чем в 2–2,5

(рекомендуемый вариант). Можно также выбрать ω3 4 2T34 (ЛАХ типа

–1/–2/–1/–3). Иногда для упрощения процедуры синтеза или вида корректирующей цепи выбирают одну из указанных частот равной какойлибо сопрягающей частоте ЛАХ нескорректированной системы.

4. На частотах ω2 , ω3 и ω4 произвести изломы ЛАХ в соответствии

с рис. 1.

Таким образом, желаемая ЛАХ следящей системы оказывается полностью сформирована. Для последующего выполнения синтеза корректирующего устройства необходимо на лист с графиком желаемой ЛАХ нанести также график ЛАХ нескорректированной системы. Необходимо помнить, что начальные участки обеих характеристик должны совпадать; кроме того, эти ЛАХ должны иметь одинаковые наклоны последнего участка.

Вариант h. Частотные методы синтеза желаемой ЛАХ по заданным значениям перерегулирования и времени регулирования отличаются значительным разнообразием. Рассмотрим наиболее употребительные из них.

14

Метод В.В.Солодовникова

Он может быть применен в тех случаях, когда требуется спроектировать систему с перерегулированием не менее 18 %. Как показывает практика, показатели качества системы с ЛАХ, синтезированной данным методом, часто существенно отличаются от значений, используемых в качестве исходных данных при синтезе. Это объясняется тем, что используемые в рассматриваемом методе соотношения между показателями качества переходной характеристики и некоторыми параметрами частотных характеристик системы предполагают, что вещественная частотная характеристика замкнутой системы P(ω) имеет вполне определенный типовой вид и удовлетворяет

некоторым количественным требованиям, чего гарантировать заранее, естественно, нельзя. Построение желаемой ЛАХ по методу Солодовникова выполняется в следующем порядке.

1. Определение частоты среза ωc . Ее значение следует задать равным

или несколько превышающим значение, найденное по номограмме [2, рис. 7.5]. По заданному значению перерегулирования с помощью кривой σ(Pmax ) номограммы определяют соответствующее значение Pmax . Затем

по значению Pmax с помощью кривой tp (Pmax ) определяют значение коэффициента c в равенстве tp cπωс . Поскольку значение tp задано, из последнего равенства находят ωc .

В некоторых справочниках и учебниках вместо величины сπωc на номограмме указывается сπωп, где ωп есть верхняя граница интервала

частот, где вещественная характеристика положительна. В этом случае сначала указанным ранее способом находят ωп, после чего задают частоту

среза как ωс (0,6...0,9)ωп. Заметим, что частоту среза можно определять

и по приближенной формуле, используемой в изложенной далее упрощенной методике.

2.Построение среднечастотной асимптоты. Ее проводят через точку

ωс на оси абсцисс с наклоном –20 дБ/дек.

3.Сопряжение среднечастотной асимптоты с НЧ-частью ЛАХ. Его выполняют с помощью асимптоты с наклоном –40 (иногда –60) дБ/дек,

15

причем так, чтобы в интервале частот, где 0 L(ω) L , имелся избыток

указанные величины можно найти и иначе – с помощью приводимой во многих справочниках номограммы для определения вещественной частотной характеристики системы с единичной обратной связью по ЛЧХ разомкнутой системы. На указанной номограмме находят две кривые, соответствующие значениям P Pmax и P Pmin 1 Pmax , и заключают

их в прямоугольник. Его размерами будут удвоенные значения искомых величин.

Практически сопряжение СЧ- и НЧ-частей ЛАХ выполняют следующим образом. Сначала ограничивают СЧ-участок точкой, для которой значение ЛАХ составляет Lγ. Если СЧ-участок не пересекся с НЧ-

частью, то следует продлить его до пересечения со второй асимптотой. Если же он пересекся с НЧ-частью, то, в общем случае, необходимо сместить СЧ-участок вправо – так, чтобы его граничная точка попала на вторую асимптоту. Далее надо оценить избыток фазы в точке сопряжения СЧ- и НЧ-частей ЛАХ (т. е. на частоте ω2 ). Он должен удовлетворять

условию (5.3). Для определения значения фазы рекомендуется (как в данном случае, так и в аналогичных ситуациях на этапе синтеза желаемой ЛАХ и приближенного анализа качества системы) использовать формулу [3] для приближенной оценки значения ЛФХ минимально-фазовой системы по ее ЛАХ:

где (ωx ) – значение фазы в градусах на частоте ωx , а L – перепад ЛАХ (дБ) на интервале в две декады с частотой ωx посередине.

Обычно условие (5.3) легко выполняется. Если избыток фазы превышает значение γmin более чем на 5...10º, то для повышения точности

синтеза рекомендуют уменьшить избыток фазы, для чего следует сместить вторую асимптоту вправо (идя тем самым на сокращение СЧ-участка) или

16

увеличить ее наклон, что менее желательно, так как приведет к усложнению коррекции.

4. Сопряжение среднечастотной асимптоты с ВЧ-частью ЛАХ. СЧучасток с наклоном –20 дБ/дек необходимо ограничить справа точкой, для которой значение ЛАХ составляет Lγ (частота ω3 ). После этого надо

сформировать ВЧ-часть желаемой ЛАХ, выполнив изломы на частотах ω3 и ω4 . Метод требует, чтобы в интервале частот, в котором Lγ L(ω) 0 ,

удовлетворялось неравенство (5.3). Обычно его трудно выполнить, но следует, по крайней мере, стремиться обеспечить максимальный избыток фазы на частоте ω3 , для чего рекомендуется в разумных пределах увеличивать протяженность участка с наклоном –40 дБ/дек.

Использование номограмм Честната-Майера

Для построения СЧ- и ВЧ-частей желаемой ЛАХ могут быть использованы номограммы Честната-Майера [4], позволяющие для систем, имеющих характерные (типовые) ЛАХ с четырьмя участками, определять основные показатели качества переходной характеристики и амплитудной частотной характеристики замкнутой системы. Для синтеза желаемой ЛАХ эти номограммы используются следующим образом.

1.Задаются типом желаемой ЛАХ. В данной курсовой работе следящая система рассматривается как динамическая система третьего порядка, поэтому целесообразно выбрать характеристику типа –1/–2/–1/–3 (при необходимости по окончании синтеза можно выполнить сопряжение двух последних асимптот небольшим участком с наклоном –40 дБ/дек).

2.Задаются отношением ω3 ωc , выбрав его из ряда 1, 2, 4, 8 и ∞.

3.По результатам пп. 1 и 2 выбирают соответствующую пару номограмм, расположенных одна под другой.

4.По заданному значению перерегулирования определяют относительное значение максимума переходной характеристики Hm (в [4]

эта величина обозначена как (CR ) p ). Например, если σ 20 % , то

Hm 1,2 .

5.По построенной НЧ-части желаемой ЛАХ определяют значение L1

ординаты на первой сопрягающей частоте (см. рис. 1).

17

6. Для данного значения Hm по верхней номограмме находят значение ω1ωc . Для этого в соответствии со значением L1 выбирают на номограмме нужный график. Поскольку графики даны только для дискретного ряда значений L1 (80, 60, 40, 30 и 20 дБ), обычно требуется интерполяция.

7.Так как значение ω1 известно по результатам синтеза НЧ-части, по ω1ωc находят значение частоты среза ωc .

8.Для найденного значения ω1ωc по нижней номограмме (выбрав

значение времени регулирования tp . Последнее сравнивают со значением,

указанным в задании на курсовую работу.

9. Если найденное значение времени регулирования превышает заданное, следует попытаться добиться желаемого результата, повторив расчет для другого значения ω3 ωc . Если это не удается, необходимо

увеличить значение частоты среза.

10. Через точку на оси абсцисс графика ЛАХ, соответствующую найденному значению ωc , проводят асимптоту с наклоном –20 дБ/дек:

влево – до пересечения с НЧ-частью ЛАХ, вправо – до частоты ω3 .

11.От последней точки проводят вправо высокочастотную асимптоту

снаклоном –60 дБ/дек.

Упрощенное построение желаемой ЛАХ

Как указывалось в предисловии, для варианта h неплохие по степени соответствия исходным данным результаты дают упрощенные методики построения желаемой ЛАХ. Некоторые из них можно найти в [2]. При использовании этих методик рекомендуется при необходимости оценки значения фазы по ЛАХ применять формулу (5.4). Как и в случае использования описанных ранее методик, целесообразно дополнять упрощенную процедуру синтеза моделированием желаемой системы на ЭВМ.

Мы рекомендуем следующую упрощенную методику построения средне- и высокочастотной частей желаемой ЛАХ.

1. Определить частоту среза по формуле

18

c kt0р ,

в которой коэффициент k0 определяется эмпирическим выражением

среднечастотную асимптоту желаемой ЛАХ с коэффициентом наклона –20 дБ/дек, ограничив ее слева и справа частотами 2 a2 c и 3 a3 c .

Рекомендуется принять a3 равным 4 или 2. после чего вычислить коэффициент a2 по эмпирическим формулам

a2 0,01z( 0,567z3 3,1z 2 0,733z 8,60)

(для a3 4 ) или

a2 0,01z(0,104z3 0,542z 2 3,4z 2,54)

(для a3 2 ).

Если левый конец среднечастотного участка оказался левее второй асимптоты низкочастотной части ЛАХ, то необходимо весь среднечастотный участок сдвинуть вправо (не изменяя длин его левого и правого плеч) – так, чтобы его левая граничная точка попала на вторую асимптоту низкочастотной части ЛАХ. Разумеется, частота среза при этом примет новое значение, отличное от рассчитанного ранее.

Если же левый конец среднечастотного участка оказался правее второй асимптоты, то следует через эту граничную точку провести новую вторую асимптоту параллельно исходной, а первую асимптоту низкочастотной части продолжить до пересечения со второй.

3. Через правую граничную точку среднечастотного участка провести вправо участок с коэффициентом наклона –40 дБ/дек, ограничив его частотой 4 (6...8) c , после чего провести последний участок с

коэффициентом наклона –60 дБ/дек.

После построения желаемой ЛАХ необходимо промоделировать на ЭВМ желаемую систему (введя единичную обратную связь!) по методике,

19

описанной далее в разделе 6, выполнив приведенную там программу исследований. Наиболее важная задача моделирования – выяснить, не оказались ли показатели качества желаемой системы – значение М для варианта М и значения и tр для варианта h – хуже значений, указанных в

задании.

В случае если значение tр окажется больше заданного, следует

увеличить частоту среза ЛАХ. Если же значения М или превышают заданные, то надо увеличить протяженность среднечастотного участка ЛАХ, имеющего коэффициент наклона –20 дБ/дек, сдвинув вправо частоты3 и 4 (в некоторых случаях может потребоваться также увеличение c ).

После этого необходимо повторить моделирование желаемой системы.

6. МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ЭВМ ЖЕЛАЕМОЙ СИСТЕМЫ

Ввиду некоторой неточности существующих методов синтеза желаемой ЛАХ необходимо с помощью моделирования на ЭВМ определить, в какой степени в системе, имеющей полученную желаемую ЛАХ, выдерживаются указанные в задании требования к точности и динамическим свойствам. Это имеет смысл еще и потому, что свойства скорректированной системы всегда будут несколько отличаться от свойств желаемой системы. Если впоследствии выяснится, что свойства скорректированной системы отличаются от требуемых, то важно знать, вызвано это недостатками коррекции или ошибками еще на этапе синтеза желаемой ЛАХ.

Для моделирования можно использовать любое доступное стандартное программное обеспечение, например пакет MATLAB.

Подготовка к моделированию заключается в составлении структурной схемы следящей системы по желаемой ЛАХ системы. Удобно, например, представить передаточную функцию разомкнутой системы как произведение передач вида

Здесь Dω– добротность по скорости, Ti = ωi-1(i = 1,..,4).

В результате моделирования необходимо определить:

20