Sb95246

УДК 519.8 ББК 22.183.4я73

Б91

Бурков Е. А., Матвеева И. В., Пирог В. П.

Б91 Решение задач линейной оптимизации с помощью Microsoft Excel: учеб.- метод. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2017. 26 с.

ISBN 978-5-7629-1989-0

Рассмотрены способы построения математических моделей базовых типов задач линейного программирования и методы их решения с помощью редактора электронных таблиц Microsoft Excel.

Рекомендуется для проведения лабораторных работ по курсу «Методы оптимизации» направления 09.03.02 «Информационные системы и технологии», а также для студентов технических и экономических специальностей, чья подготовка предполагает решение задач линейной оптимизации.

УДК 519.8 ББК 22.183.4я73

Рецензент: кафедра АСУ Обнинского института атомной энергетики – филиала Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ» (ИАТЭ НИЯУ «МИФИ»).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебно-методического пособия

2

3

ВВЕДЕНИЕ

В учебно-методическом пособии рассмотрено несколько базовых типов задач линейного программирования, приведены способы построения математических моделей подобных задач, а также даны рекомендации по их решению с помощью редактора электронных таблиц Microsoft Excel.

Пособие содержит описание серии лабораторных работ, проводимых в рамках дисциплины «Методы оптимизации» при подготовке студентов по направлению 09.03.02 «Информационные системы и технологии».

Каждая лабораторная работа включает в себя помимо вариантов учебных задач определенного типа следующую информацию:

–теоретическое описание математических моделей задач линейного программирования определенного типа и методики их построения;

–методики и конкретные примеры решения задач линейного программирования с различными видами ограничений;

–рекомендации по решению рассмотренных задач линейного программирования с помощью редактора электронных таблиц Microsoft Excel.

Учебно-методическое пособие может быть рекомендовано к использо-

ванию как в учебных целях, так и с целью решения практических задач линейной оптимизации с помощью редактора электронных таблиц Microsoft Excel. Кроме того, данное пособие может быть рекомендовано к ознакомлению инженерно-техническим и научным работникам, чья сфера деятельности предполагает решение практических задач линейной оптимизации.

4

1.ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИХ РЕШЕНИЕ

СПОМОЩЬЮ MICROSOFT EXCEL

1.1. Краткие теоретические сведения

Общей задачей линейного программирования (ЗЛП) называется задача о нахождении максимума (минимума) линейной функции

x j 0, j 1,l; l n.

Функция F(X) называется целевой функцией. Ограничения (1.2) называются основными. Решение X (x1, x2, , xn ) приведенной системы огра-

ничений, при котором функция F(X) принимает максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным планом ЗЛП. Все остальные решения системы ограничений называются допустимыми планами.

Стандартной или симметричной задачей называется ЗЛП, в которой все основные ограничения заданы неравенствами и все переменные задачи неотрицательны. Основной или канонической задачей называется ЗЛП, в которой все ограничения заданы равенствами и все переменные неотрицательны.

Для нахождения оптимального плана ЗЛП применяется симплексный метод, основанный на идее последовательного улучшения решения задачи, исходя из первоначального решения (опорного плана), найденного некоторым способом.

Число линейно независимых переменных в системе ограничений обычно меньше общего числа переменных ЗЛП. Любые m переменных системы m

5

линейных уравнений с n переменными (m < n) называются базисными или основными, если определитель матрицы с размером m × m коэффициентов при них отличен от нуля. Остальные (n – m) переменных называются свобод-

ными или неосновными.

Симплексный метод позволяет улучшать план задачи наиболее рациональным способом, опираясь на критерии оптимальности решения. Критерий оптимальности решения при отыскании максимума линейной функции симплексным методом можно сформулировать следующим образом: если в выражении линейной функции через свободные переменные отсутствуют положительные коэффициенты при свободных переменных, то решение оптимально. Критерий оптимальности решения при отыскании минимума линейной функции: если в выражении линейной функции через свободные переменные отсутствуют отрицательные коэффициенты при свободных переменных, то решение оптимально.

На практике удобнее для выяснения вопроса: является ли найденный план оптимальным, пользоваться оценками переменных, которые вычисляются по формуле

i 1

Тогда критерии оптимальности решения формулируются иначе. При отыскании максимума функции: если оценки всех переменных неотрицательны, то значение целевой функции максимально и решение оптимально. При отыскании минимума функции: если оценки всех переменных неположительны, то значение целевой функции минимально и решение оптимально.

Первоначальное допустимое решение определяется методом выравнивания, который основан на введении дополнительных переменных, позволяющих преобразовать неравенства в равенства, или М-методом − методом искусственного базиса. Практические расчеты при решении реальных задач, если не используется ЭВМ, проводят в так называемых симплексных таблицах.

Рассмотрим одну из часто решаемых симплексным методом оптимизационных задач − задачу о распределении ресурсов. Предприятие производит три вида продукции: телевизоры, мониторы и моноблоки. Технологические коэффициенты, определяющие затраты того или иного ресурса на производство одной единицы продукции каждого вида, а также количества запасов

6

соответствующих ресурсов, используемых при выпуске этих изделий, и прибыль, получаемая предприятием-производителем от реализации одной единицы каждого вида продукции, приведены в табл. 1.1. Требуется таким образом спланировать выпуск продукции, чтобы получать наибольшую прибыль.

ство мониторов, а x3 − количество моноблоков, выпускаемых предприятием.

Тогда, например, затраты по ресурсу «Пластиковые формы» на данном предприятии, согласно заданным технологическим коэффициентам определяются зависимостью 2,5x1 1,7x2 2,1x3 . При этом затраты по ресурсу «Пластико-

вые формы» не должны превышать 150 единиц, заданных в качестве имеющегося на предприятии запаса, т. е. ограничение по ресурсу «Пластиковые формы будет иметь вид: 2,5x1 1,7x2 2,1x3 150. Аналогичным образом

могут быть составлены ограничения по остальным ресурсам.

Поскольку количество выпущенной продукции не может быть отрицательной величиной, естественно потребовать, чтобы введенные переменные были больше либо равны нулю.

Решение задачи оптимизации заключается в нахождении таких количеств выпускаемой продукции, которые обеспечивают целевой функции F( X ) 3,0x1 1,0x2 2,0x3 максимальное значение при заданных ограниче-

ниях по количеству имеющихся на предприятии ресурсов. Каждое из решений системы ограничений будет допустимым решением (планом) для данной задачи. Оптимальным называется то из допустимых решений, при котором целевая функция имеет максимальное значение. Оптимальных решений может быть как множество, так и не быть вообще, или может существовать единственное оптимальное решение.

Полная математическая модель рассматриваемой задачи о распределении ресурсов будет иметь следующий вид:

7

x1 0, x2 0, x3 0.

Решив систему ограничений (1.4), например, симплексным методом, получим следующий оптимальный план: x1 26, x2 0, x3 0; при этом

F( X ) 78.Следовательно, для заданных ограничений по ресурсам максимально возможная прибыль предприятия составляет 78 условных денежных единиц, которая достигается при выпуске только телевизоров. Однако в ходе развития производства ограничения по одному или нескольким видам ресурсов могут изменяться. В этом случае будет изменяться и оптимальное решение задачи. В рассматриваемой задаче достаточно увеличить ресурс «трудозатраты», чтобы предприятию стало выгодно выпускать и другие виды продукции.

Таким образом, решая задачу о распределении ресурсов, на основе полученного оптимального решения можно выявить определяющие ограничения и дать рекомендации по направлениям дальнейшего развития производства.

1.2. Инструкция по использованию редактора Microsoft Excel для решения ЗЛП

1. Ввести условие задачи:

а) создать экранную форму для ввода условия задачи:

–переменных,

–целевой функции (ЦФ),

–ограничений,

–граничных условий;

б) ввести исходные данные в экранную форму:

–коэффициенты ЦФ,

–коэффициенты при переменных в ограничениях,

–правые части ограничений;

в) ввести зависимости из математической модели в экранную форму:

–формулу для расчета ЦФ,

–формулы для расчета значений левых частей ограничений;

8

г) задать ЦФ (в окне «Поиск решения»):

–целевую ячейку,

–направление оптимизации ЦФ;

д) ввести ограничения и граничные условия (в окне «Поиск решения»):

–ячейки со значениями переменных,

–граничные условия для допустимых значений переменных,

–соотношения между правыми и левыми частями ограничений.

2.Решить задачу:

а) установить параметры решения задачи (в окне «Поиск решения»); б) запустить задачу на решение (в окне «Поиск решения»); в) выбрать формат вывода решения (в окне «Результаты поиска реше-

ния»).

1.3.Порядок решения

1.Найти оптимальное решение ЗЛП, соответствующей номеру выбранного варианта, с помощью редактора электронных таблиц Microsoft Excel.

2.Найти оптимальное целочисленное решение ЗЛП, соответствующей номеру выбранного варианта, с помощью редактора электронных таблиц

Microsoft Excel.

3.Подготовить отчет по результатам выполненной лабораторной рабо-

ты.

1.4.Варианты заданий

Вариант 1:

F(X ) 5x1 7x2 6x3 9x4 8x5 max;

0,7x1 0,9x2 1,5x3 2,3x4 1,8x5 50 000,

0,4x1 1,1x2 0,5x3 1,3x4 2,8x5 32 000,0,5x1 1,8x3 0,7x4 2x5 40 000,

2,2x1 1,4x2 0,8x3 0,9x4 15 000,x j 0 j 1,5 .

9

Вариант 2:

F( X ) x1 4x3 8x4 12x5 min;

10