sb000253

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Варианты математических моделей судов

2. Стандартные характеристические полиномы

Общая форма полиномов (нормирование по базовой частоте ω0 ):

An (s) n ai ω0n−i si.

= ∑

i=0

Одинамических свойствах систем, имеющих рассматриваемые характе-

ристические полиномы, можно судить по переходным характеристикам:

11

Полиномы Баттерворта

Полиномы минимизирующие функционал I = ∞∫ [1 − h1(t)]2dt

12

управления между заданными точками управляющее воздействие должно быть максимально по модулю и менять знак не более двух раз.

Таким образом, результатом рассматриваемой задачи является набор из трех параметров: первый момент переключения – t1, второй момент переключения – t2 и момент завершения управления (выключения управления) – T . Для определения этих параметров предполагается использовать MATLAB-функцию FMINSEARCH. Для успешной работы этой функции необходимо задать начальную точку поиска в пространстве [t1, t2, T ] .

С целью определения начального приближения решим вспомогательную задачу управления для упрощенного объекта управления. В данном случае возможно отдельное рассмотрение уравнений для x2 и x3 из (П4.1), поскольку эти уравнения не зависят от x1.

Вспомогательная задача заключается в том, чтобы перевести упрощенный объект из состояния x2 = 0 , x3 = 0 в состояние x2 = 0 , x3 = 0 , используя два момента переключения. При решении рассматриваемой задачи момент t1 выберем произвольно, а моменты t2 и T определим графическим методом на основе построения линии переключения в обратном времени.

Для решения вспомогательной задачи удобно использовать MATLAB-

скрипт MainP4.m. Файл MainP4.m

%Построение линии переключения(обратное время, %упрощенный объект)

tlp=1;

[t,x]=ode45('odefunP4',[0 tlp],[0 0]); plot(x(:,1),x(:,2),'r')

hold on

%Обеспечение подбора t2 и T(прямое время, полный объект) global t1 t2 T %Для передачи в odefunP4_2

t1=1.0; %Выбрано произвольно t2=1.812;

T=2.06;

ti=T; %При подборе t2 ti=t2; при подборе T ti=T [t,x]=ode45('odefunP4_2',[0 ti],[1 0 0]); plot(x(:,2),x(:,3),'b')

Файл odefunP4

function f=odefunP4(t,x)

u=-1;

f=[ -(-x(1)+2*x(2)+u);-(-2*x(2)+u)];

14

Файл odefunP4_2

function f=odefunP4_2(t,x)

global t1 t2 T %Прием данных от MainP4 %Изменение управления в соответствии с моментами

%переключения или выключения if t<t1

u=-1; elseif t<t2 u=1;

else

u=-1;

end

if t>T u=0;

end

%Расчет правых частей матмодели объекта f=[ x(2);-x(2)+2*x(3)+u;-2*x(3)+u];

Приведенный скрипт выполняет построение линии переключения в плоскости x2x3 и построение фазовой траектории объекта управления в соответствии с моментами переключения или выключения [t1, t2, T ] , заданными

в программе.

Работа с программой для определения второго момента переключения выполняется следующим образом:

∙параметр t1 задается произвольно;

∙параметр ti задается равным t2 для ограничения времени построения фазовой траектории:

∙параметр t2 подбирается так, чтобы соответствующая этому значению траектория прикоснулась к линии переключения;

∙значение t2, соответствующее соприкосновению фазовой траектории и линии переключения объявляется моментом второго переключения;

∙значения параметров t1 и t2 сохраняются для последующих экспери-

ментов.

Работа с программой для определения момента выключения выполняется следующим образом:

∙ параметры t1 и t2 сохраняют свои значения после предыдущих экспериментов;

15

∙параметр ti задается равным T для ограничения времени построения фазовой траектории;

∙параметр T подбирается так, чтобы к моменту времени t = T фазовая траектория пришла в требуемую конечную точку x2 = 0 , x3 = 0 .

После окончания подбора значения параметра T запоминается величина x1(T ) , которая объявляется точкой промежуточного финиша x1f .

Для рассматриваемого примера использование скрипта MainP4 позволило получить следующие результаты:

t1 = 1, t2 = 1.81, T = 2.06, x1f = 0.152.

После выполнения описанных экспериментов становится известной комбинация параметров t1t2T , которая позволяет перевести объект управле-

управления в заданную точку [0, 0, 0] целесообразно выполнить серию экспериментов в каждом из которых с помощью MATLAB-функции FMINSEARCH выполняется поиск таких параметров t1t2T , при которых минимизируется расстояние между фактическим положением изображающей

нимум функции

J = (x1(T ) − x1f )2 + (x2 (T ) − 0)2 + (x3 (T ) − 0)2 ,

причем в каждом последующем эксперименте в качестве начальной точки поиска в пространстве t1t2T используется результат предыдущего эксперимента, а положение точки промежуточного финиша систематически приближается к заданной конечной точке [0, 0, 0] .

Описанные эксперименты удобно выполнять с помощью MATLAB-

скрипта MainP5.m.

Файл MainP4_2.m

global x1f t x

x1f=0.152;

%Начальная точка поиска в плоскости параметров управления

16

P0=[1 1.81 2.06]; TT=fminsearch('fmsfunP4_2',[P0]); %Отображение в окне команд результатов поиска

TT

%Отображение заданной точки промежуточного финиша x1f

%Отображение достигнутой точки промежуточного финиша

x(length(t),1)

Файл fmsfunP4_2.m

function f=fmsfunP4_2(TT) global tt x1f t x

tt = TT;

%Построение переходных процессов, соответствующих

%текущей комбинации параметров управления

[t,x]=ode45('odefunP4_3',[0 TT(3)],[1 0 0]); %Вычисление расстояния между фактическим положением

%изображающей точки в момент окончания управления и

%заданной точкой промежуточного финиша

lt=length(t)

f=(x(lt,1)-x1f)^2+(x(lt,2)-0)^2+(x(lt,3)-0)^2;

plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3))

pause(0.1)

Файл odefunP4_3.m

function f=odefunP4_3(t,x) global tt

%Генерация управления, соответствующего текущим параметрам if t<tt(1)

u=-1; elseif t<tt(2)

u=1;

else

u=-1;

end

if t>tt(3) u=0;

end

%Вычисление правых частей уравнений управляемого объекта f=[ x(2);-x(2)+2*x(3)+u;-2*x(3)+u];

При первом запуске скрипта MainP4_2 устанавливаются значения координат начальной точки поиска и точки промежуточного финиша в соответствии с результатами работы со скриптом MainP4, т. е.

17

P0=[1 1.81 2.06]

x1f=0.152

Результат первого запуска скрипта MainP4_2 можно рассматривать как уточнение координат начальной точки

P0=[0.9878 1.8084 2.0574].

При втором запуске скрипта MainP4_2 значение координат начальной точки устанавливается в соответствии с результатом работы первого запуска, а точка промежуточного финиша приближается к заданной конечной точке путем присвоения x1f=0.07.

Результат второго запуска скрипта MainP4_2 можно рассматривать как уточнение координат начальной точки

P0=[1.0384 1.83 2.0685].

При третьем запуске скрипта MainP4_2 значение координат начальной точки устанавливается в соответствии с результатом работы второго запуска, а точка промежуточного финиша приближается к заданной конечной точке путем присвоения x1f=0.0.

Результат третьего запуска скрипта MainP4_2 можно рассматривать как окончательное значение параметров управления

P0=[1.0936 1.9033 2.1243],

поскольку полученная на третьей итерации комбинация параметров управления обеспечивает приход объекта управления в конечное положение с ошиб-

кой 0.8 %

5. Пример решения задачи параметрической оптимизации системы управления

Задан объект управления, описываемый системой дифференциальных уравнений:

Требуется определить параметры Ki закона управления (П5.1) при которых достигается минимальное время затухания переходного процесса. Под временем затухания переходного процесса (T ) понимается соотношение

18

x1(t) < 0.05x1(0) , t > T.

Задачу предполагается решить методом поиска с помощью MATLABфункции FMINSEARCH. Поиск реализован в виде скрипта MainP5.m.

Файл MainP5.m

%Начальное приближение для искомых параметров закона %управления

K0=[1 1];

%Вызов функции, реализующей метод поиска

%Функция fmsfunP5 вычисляет длительность переходного %процесса, соответствующего текущим значениям параметров %закона управления

[K,T]=fminsearch('fmsfunP5',K0);

%Отображение в окне команд найденных значений параметров %закона управления и времени переходного процесса

K

T

%Проверка устойчивости замкнутой системы управления, %соответствующей найденным параметрам закона управления

A=[0 1 0;0 -1 1;0 0 -1]; B=[0;0;1];

K=[K 0]

AA=A-B*K; eig(AA)

Файл fmsfunP5.m

function f=fmsfunP5(k) global K

K=k;

x0=[1 0 0]; TT=50;

%Численное решение уравнений управляемого объекта

[t,x]=ode45('odefunP5',[0 TT],x0); %Вычисление длительности переходного процесса for i=length(t):-1:1

if abs(x(i,1))>0.05*x0(1) f=t(i);

break

end

end

%Построение графиков переходных процессов plot(t,x)

Файл odefunP5.m

function f=odefunP5(t,x) global K u=-K(1)*x(1)-K(2)*x(2); f=[x(2);-x(2)+x(3);-x(3)+u];

19

С помощью приведенного скрипта были получены параметры закона управления

K1 = 0.88; K2 = 0.95;

и время переходного процесса

T= 3.70.

6.Пример решения линейной квадратичной задачи оптимизации

системы управления

Задан объект управления, описываемый системой дифференциальных уравнений:

Требуется определить такое значение весового множителя λ в функционале (П6.2), при котором коэффициенты закона управления (П6.3), рассчитанные на основе минимизации (П6.2) для объекта управления (П6.1), обеспечивают минимум времени переходного процесса в замкнутой системе, состоящей из объекта (П6.1), управляемого по закону (П6.3) с учетом ограничения на управляющее воздействие (П6.1).

Решение задачи реализовано в виде MATLAB-скрипта MainP6.m.

Файл MainP6.m

global K

%Начальное приближение величины весового множителя lb0=0.1;

%Вызов функции, выполняющий поиск весового множителя %fmsfunP6 – функция, вычисляющая время переходного процесса в %замкнутой системе, соответствующей текущему значению %весового множителя

[lb T]=fminsearch('fmsfunP6',lb0)

%Отображение в окне команд найденных значений весового % множителя, времени переходного процесса и параметров

20