NDVwWO28D2

или, после выполнения обратного преобразования Лапласа, собственно аналитические выражения для переходных процессов во времени:

x1(t) = 1 − 0.5t2 + (t − t1)2 ; x2 (t) = −t + 2(t − t1).

Последние выражения позволяют найти как значение момента переключения t1, так и момента времени перевода объекта управления в требуемое состояние T :

0 = 1 − 0.5T 2 + (T − t1)2 , 0 = −T + 2(T − t1)

или

t1 = 1, T = 2.

Второй способ определения моментов переключения – использование поисковых методов.

Для возможности применения при решении задачи оптимального управления алгоритмов поиска минимума задачу максимального быстродействия сформулируем следующим образом.

Допустим, что управляющее воздействие является кусочно-постоянной функцией времени, которая меняет знак в момент времени t1, а перевод объекта управления в конечное состояние происходит в момент времени T . Требуется определить такие значения параметров t1 и T , при которых достигается минимальное значение невязки между фактическими и требуемыми значениями состояний объекта управления в момент T . Значение невязки вычисляется как сумма квадратов разностей между фактическими и заданными значениями состояний объекта управления в момент времени T . Вычисление параметров оптимального управления методом поиска минимума может быть выполнено с помощью следующей MATLABпрограммы:

Файл Main5.m

%Вектор начальных приближений для момента переключения

%и момента завершения интервала управления

ti0=[1.5 1.8];

T=fminsearch('fms5',ti0)

31

Файл fms5.m

function f=fms5(T) global t1

t=[];

x=[];

u=[];

t1=T(1);

%численное решение дифференциальных уравнений объекта

%управления при действии на него прямоугольной волны

%управления

[t,x]=ode45('odefun5',[0 abs(T(2))],[1 0]); %вычисление невязки f=x(length(t),1)^2+x(length(t),2)^2;

%генерация массива значений управления для построения

%графика

for i=1:length(t) if t(i)<t1

u(i)=-1;

else

u(i)=1;

end

end plot(t,x(:,1),t,u) pause(0.5)

Файл odefun5.m

function f=odefun5(t,x) global t1

if t<t1 u=-1;

else

u=1;

end f=[x(2);u];

Третий способ определения моментов переключения – графическое построение линии переключения. Этот способ отличается большой наглядностью, но применим к объектам управления второго порядка, так как поведение только таких объектов полностью описывается фазовым портретом. При использовании этого способа задача оптимального управления решается построением линии переключения, геометрического места точек фазового пространства объекта управления, из которых перевод

32

объекта в конечное состояние возможен без переключения знака управления. В том случае, когда линия переключения найдена, процедура управления объектом заключается в следующем:

∙к объекту прикладывается управление некоторого знака и под действием этого управления объект движется до тех пор, пока его изображающая точка не окажется на линии переключения;

∙при попадании изображающей точки на линию переключения выполняется смена знака управляющего воздействия и его изображающая точка начинает двигаться по линии переключения к целевому состоянию. Таким образом, гарантия попадания изображающей точки в целевое состояние обеспечивается по определению линии переключения.

Очевидным способом построения линии переключения является сканирование всей фазовой плоскости и запоминание тех ее точек, из которых целевое состояние достигается путем применения постоянного по величине и знаку управления.

Однако существует способ построения всей линии переключения за один прием. Дело в том, что фазовая траектория движения объекта в обратном времени из целевой точки под действием постоянного по значению и знаку управления обладает всеми свойствами линии переключения. Следовательно, линия переключения может быть построена с помощью решения дифференциальных уравнений объекта управления, записанных в обратном времени. Математически переход к обратному времени выполняется заменой t на −t в уравнениях объекта. Следует учитывать, что линия переключения имеет две ветви: одна из них соответствует положительному значению управляющего воздействия, а другая – отрицательному.

Программное обеспечение решения задачи максимального быстродействия состоит из двух частей:

∙скрипт, выполняющий построение фазовой траектории объекта численным решением его уравнений записанных в обратном времени, из начальной точки, соответствующей целевому состоянию (построение линии переключения);

∙скрипт, выполняющий построение фазовой траектории объекта численным решением его уравнений, записанных в обычном времени из начальной точки, соответствующей начальному состоянию (знак управляющего воздействия противоположен знаку, использованному при построении линии переключения).

33

Длительность фазовой траектории, порождаемой вторым скриптом, должна быть достаточной для ее пересечения с линией переключения. Момент пересечения и является искомым моментом переключения.

Индивидуальные задания (по бригадам). Для каждого варианта необ-

ходимо оценить сложность решения задачи максимального быстродействия аналитическим методом и получить решение поисковым и графическими методами. Реализация метода поиска должна быть выполнена с помощью функции FMINSEARCH.

управления равен 1, уравнения динамики объекта управления приведены в табл. 5.1.

Список рекомендуемой литературы

Ануфриев И. Е. Самоучитель MatLab 5.3/6.x. СПб.: БХВ-Петербург,

2003. 736 с.: ил.

Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1965. 288 с.: ил.

34

ПРИЛОЖЕНИЕ

Стандартные характеристические полиномы

Общая форма полиномов (нормирование по базовой частоте ω0 ):

An (s) n aiω0n−isi.

= ∑

i=0

Одинамических свойствах систем, имеющих рассматриваемые характеристические полиномы, можно судить по переходным характеристикам:

где L−1 – оператор обратного преобразования Лапласа.

35

Полиномы, минимизирующие функционал I = ∞∫ [1 − h1(t)]2dt

36

1.АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ…..………………………………. 4

37